analis15

Таким образом, производная степенно-показательной функции равна сумме производных этой функции, если ее рассматривать ее сначала как показательную, а затем как степенную.

§11 Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция y = y(x) задана параметрически:

Предположим, что ϕ(t),ψ(t) дифференцируемы для любого t T и ϕ′(t) ≠ 0 . Кроме того будем считать, что функция x =ϕ(t) имеет обратную функцию t =ϕ−1 (t), которая также дифференцируема. Тогда функцию y = y(x) , заданную параметрически уравнениями (1), можно рассматривать как сложную функцию y =ψ(t), t =ϕ−1 (x) , по правилу дифференцирования сложной функции получим yx′ =ψ ′(t)tx′. Производную tx′ найдем по правилу дифференцирования обратной функции:

Итак, применяя для удобства записей обозначения ϕ′(t) = xt′,ψ ′(t) = yt′ окончательно имеем:

82

§12 Производные высших порядков

Общие сведения

Производная от функции y = f (x) является также функцией от х и может быть

дифференцируема.

Производная от производной функции y = f (x) называется производной второ-

Вторая производная имеет простой механический смысл. Пусть s = s(t)-закон

движения материальной точки , тогда первая производная определяет скорость движения v = s′(t). Вторая же производная есть скорость изменения скорости движения

т.е. ускорение

a = dvdt = s′′(t)

Аналогично вводятся производные третьего, четвертого и других порядков. Примеры Найти производные n-го порядков от функций

1) 2) y = sin x .

Производные высших порядков от функций, заданных неявно

В §9 найдено было правило для нахождения производной функции, заданной неявно. Для нахождения второй производной необходимо продифференцировать результат еще раз. Для получения производной высших порядков необходимо процесс дифференцирования провести нужное количество раз.

Пример Найти производную третьего порядка функции, заданной уравнением x 2 + y 2 = a2 .

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.

Пусть функция y = y(x) задана параметрически:

Поскольку вторая производная от y по x есть первая производная от yx′ по x

то задача нахождения второй производной сводится к нахождению производной от функций, заданной параметрически :

y′

yx′ = xt′ .

x=ϕ(t)t

Следовательно, по определению первой производной для функции, заданной параметрически, имеем

85

Из полученных формул следует, что при вычислении дифференциалов более высоких порядков от сложной функции происходит нарушение инвариантности формы.

§ 14 Теоремы о среднем

Теорема Ролля Пусть функция f (x)удовлетворяет следующим условиям на отрезке [a;b]

1)f (x)определена и непрерывна на [a;b].

2)f (x)дифференцируема на [a;b].

3)f (a) = f (b).

Тогда существует по крайней мере одна точка ξ [a; b], такая что f ′(ξ)= 0 .

>Известно, что если f (x) непрерывна на [a;b], то она на отрезке принимает свое наибольшее М и наименьшее m значения. Возможны два случая:

x

Покажем, что f ′(ξ)= 0 . Согласно условию 2 теоремы для функции суще-

ствуют конечные производные f ′(ξ) x (a;b). Это условие равносильно существованию односторонних пределов :

довательно,

86

Геометрически, теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если непрерывная на отрезке [a;b] и дифференцируемая в интервале (a;b) функция f (x) при-

нимает на концах этого отрезка равные значения , то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка С с абсциссой x = ξ, в которой касательная параллель-

на оси ОХ.

Биографическая справка

Ролль Мишель (Rolle Michel) 21.4.1652 -8.11.1719 французский математик,

член Парижской АН (1685) В "Трактате по алгебре" 1690г. развил метод отделения действительных корней алгебраических уравнений, основанный на частном случае теоремы Ролля. Автор исследований, относящихся к решению в целых числах неопределенных линейных уравнений с двумя неизвестными. В 18 веке выступал с критикой исчисления бесконечно - малых Г. Лейбница.

Биографическая справка

Лагранж Жозеф Луи (Lagrange Joseph Louis) 25.1.1736 - 10.4.1813 - французский математик и механик, иностранный почетный член Петербургской АН (1776),член Парижской АН, Самостоятельно изучал математику. В 19 лет стал профессором в артиллерийской школе Турина, В 1759 избран членом Берлинской АН, а в 1766-87 директором его математического класса. В 1787г переехал в Париж, с 1797 года професор Политехнической школы.

Наиболее важные труды по вариационному исчислению. Лагранжу принадлежат выдающиеся исследования по различным вопросам математического анализа ( построение анализа на базе представлений функций в виде степенных рядов, формула остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных прира-

щений - формула конечных приращений Лагранжа, теории экстремумов (метод мно-

жителей Л.), метод приведения квадратичной формы к каноническому виду в алгебре, в теории дифференциальных уравнений, теория особых решений, метод вариации постоянных и др.