2.5. Скорость и ускорение затухающих геоморфологических процессов

Рассмотрим затухающие геоморфологические процессы, описываемые экспоненциальной функцией H = H₀ e ^– mt. Вычислим производную = –mH₀ e ^– mt = – mH.Таким образом, скорость движения пропорциональна самой функции и с течением времени монотонно убывает. Вторая производная высоты по времени=m²Hпредставляет собой ускорение перемещения земной поверхности.

2.6. Аналитическое описание изменений очертаний профиля во времени

Функция H(x) описывает очертания неизменного во времени профиля, ничего не сообщая о его развитии. ФункцияH(t) описывает движение во времени, но всего лишь одной точки. Чтобы получить представление о развитии очертаний профиля во времени, высотуHнадо поставить в зависимость сразу от двух переменных: расстоянияxи времениt, т.е.H = H(x;t). Простейшей функцией двух переменных является произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной,H = X(x)T(t). Опишем функцией такого вида простейшую кинематическую модель сводового тектонического поднятия. Будем считать, что сводовое поднятие имеет постоянную ширину и бесконечно большую длину, что распределение интенсивности движений во всех поперечных сечениях поднятия одинаково и что, следовательно, можно ограничиться рассмотрением развития профиля поднятия в одном сечении. Поскольку функцияX(x) должна описывать форму свода, положим, что она симметрична относительно оси высотH, совмещаемой с осью поднятия и обращается в нуль на обеих границах поднятия, приx=lиx= –l.

Для определенности будем считать, что X(x) =cosΩx, гдеΩ=. ФункциюT(t) определим, исходя из существующих представлений о сравнительно быстром вначале, а затем постепенно затухающем росте горных поднятий. Такой ход поднятия может быть описан экспоненциальной функцией видаT(t) =, гдепредставляет собой полную высоту поднятия, достигаемую при– логарифмический декремент затухания поднятия во времени: чембольше, тем меньше времени требуется, чтобы поднятие достигло заданной высотыH, и наоборот. Таким образом, имеем следующую математическую модель роста сводового поднятия:

H = cos Ωx.

В более общем случае, когда поднятие осложнено периодическими колебательными движениями (тектонические колебания представим в виде синусоидальной функции с убывающей экспоненциальной амплитудой) модель тектонических движений примет вид:

H= [– ]cosΩx,

где =, аT– период колебаний.

Рис. 2.5

Исследование функции двух переменных сводят обычно к исследованию функции одной переменной. Этого можно достигнуть, полагая временно один из аргументов постоянным и исследуя функцию при переменном значении другого аргумента. Например, придавая в уравнении H = H(x,t) времениtпостоянные значенияt=t₁,t₂,t₃, … будем получать уравнения очертаний профиля в соответствующие моменты. Вычерчивая графики каждой из функцийH = H(x,t₁), H = H(x,t₂), … получим семейство кривых, изображающих последовательные очертания перемещающегося профиля (семейство косинусоидальных кривых на рис. 2.5). Если последовательно придавать постоянные значения расстояниюx =x₁,x₂,x₃,… получаем функцииH = H(x₁,t), H = H(x₂,t), … которые описывают зависимость высоты от времени для какой-либо точки профиля. Взятые вместе они дают представление о развитии профиля в целом.

Вычислим уклон, определяемый функцией H = H(x,t). Для этого обратимся к функцииH = H(x,t₁). Здесь высотаHоказывается функцией только одной переменнойx. Поэтому уклон профиля, очертания которого изменяются с течением времени, представляет собой частную производную высоты по расстоянию, взятую с обратным знаком:

i =

Рассматривая уравнение H = H(x₁,t) можно определить скорость перемещения профиля как частную производную высотыHпо времениtпри постоянном значении второй переменнойx:

V =

Вычислим скорость роста сводового поднятия, описываемого уравнением H=cosΩx. Дифференцируя поt будем иметь

V = cos Ωx  = cos Ωxp₀  =

= p₀ cos Ωx.

Скорость поднятия является функцией двух переменных t иx, изменяясь в поперечном направлении по косинусоидальному закону, как и величина поднятия, и затухая во времени по экспоненциальному закону.

Для более сложной модели поднятия скорость определяется так:

V =[ – cos Ωx] =

= [p₀  + (p₁ – )] cos Ωx

В физической географии очень часты ситуации, когда на какой-либо фактор среды оказывают влияние несколько других факторов. В этих случаях мы получаем функции, зависящие более чем от одной переменной. Например, тип почвы (y) зависит от климата (x₁), растительности (x₂), жизнедеятельности организмов (x₃), материнской породы (x₄), осадков (x₅) и времени (x₆). Таким образом,

y=f(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆).

Пример. Пусть в рассмотренной выше задаче, ширинаl= 5 км, полная высота поднятия=100 мм, логарифмический декрементТогда функция H = cos Ωx, описывающая кинематическую модель сводового тектонического поднятия принимает вид

H = cos x = cos x.

Приx= 0, получаем наибольшую высоту поднятия, которая определяется из равенстваH =при различных значениях времениt. Так, приt= 1 год,H = 0,5 мм, приt= 10 лет,H = 4,8 мм, примм. Приx= 5 км, высота поднятияH = 0.

Функция скорости роста сводового поднятия V = p₀ cos Ωxпри данных значениях принимает видV = = 0,5 (0,995) ^t cos x. Приx= 0, скорость будет принимать наибольшие значения. Например, приt= 1 год,V = 0,497 мм/год, приt= 10 лет,V = 0,475 мм/год, при.