1.3. Основные операции над матрицами

С помощью алгебры матриц многомерные географические описания переводятся на формализованный язык, доступный для математической обработки.

Рассмотрим случай, когда для какой-либо местности известно среднее количество дней с дождем для осени, зимы и весны, причем это количество равно соответственно 64, 57 и 46 дням. Мы можем представить эти данные в виде вектора – строки A, где записьA= [64 57 46] является матрицей, содержащей 13 элемента. Если мы хотим оценить возможное количество таких дней за 5 последовательных лет, мы должны найти произведение матрицыAна число пять: 5A= [320 285 230].

Предположим, что для той же местности имеются данные о числе дней со снегом, и сосредоточим свое внимание на рассмотрение сезона, который характеризуется выпадением осадков как в виде дождя, так и снега, то мы можем составить две матрицы размером 23 для иллюстрации операции сложения матриц. Если в годуxза три соответствующих сезона было 70, 64 и 39 дней с дождем и 4, 10 и 8 дней со снегом, а в годуy71, 38 и 32 дней с дождем и 0, 35 и 10 дней со снегом, то можно задать матрицуA, отражающую выпадение осадков в виде дождя, и матрицуB, отражающую выпадение осадков в виде снега:

A = и B = .

В каждой матрице строки представляют собой данные для соответствующего года, а столбцы – выпадение осадков по сезонам. Год x(верхняя строка), очевидно был относительно дождливым и мягким, в то время как годyбыл особенно снежным зимой. Складывая обе матрицы, получим третью матрицуС, характеризующую совместное выпадение осадков как в виде дождя, так и снега в каждом году:

С== .

Для иллюстрации закона умножения матриц используем наши данные об осадках ( с дополнением сведений о тумане в течении года xиy) при решении простой экономической задачи. Местной транспортной компании необходимо подсчитать стоимость убытков из-за задержек, вызванных дождем, снегом и туманом, в районе, для которого получены указанные выше данные. Пусть количество дней с туманом в годуxбыло 12, а в годуy– 15. Если мы суммируем количество дней, когда выпадают осадки каждого вида для учитываемого года, мы получим матрицуDразмером 23, в которой первый столбец показывает количество дней с дождем, второй – со снегом, третий – с туманом. Таким образом, D_i1 = A _i1 + A _i2 + A _i3 , D_i2 = B _i1 + B _i2 + B _i3, i =1, 2. Матрица имеет вид:

D= .

Теперь обозначим стоимость задержек транспорта, вызванных дождем (F₁₁), снегом (F₂₁) и туманом (F₃₁) как столбец матрицыF:

F= .

Умножаем матрицу Dна матрицуF, при этом вычисляем сумму произведений элементов каждой строки матрицыDна соответствующие элементы матрицыF:

DF = ==.

Общая стоимость убытков за год xсоставила 3070 единиц, а за годy– 3960 единиц.

1.4. Пример речной сети c использованием матриц и элементов теории графов

В физической географии матрицы в основном используются как вспомогательные средства при проведении вычислений и в анализе главных компонент, при изучении географических сетей. Рассмотрим пример речной сети. Её участок простого вида представлен в виде ориентированного графа на рис. 1.3 (основные понятия теории графов можно найти в [10]).

Рис. 1.3

Можно представить участок речной сети также в матричной форме согласно количеству притоков (рёбра графа), сходящихся в каждой точке их слияния (вершины графа). Для изображения речной сети такая матрица может быть составлена как с использованием ребер, так и вершин.

Ребра представлены числами от 1 до 5, а вершины буквами от aдоf. Матрицы, изображающие данную речную сеть через ребра и вершины, имеют вид:

В матрице ребер 0 означает, что соответствующие притоки непосредственно не соединяются, а 1 — означает их соединение. Из матриц, видно, что приток 2 непосредственно сливается с притоками 3 и 4, а не с 1 и 5. В матрице вершин использованы аналогичные обозначения. Например, вершинаdнепосредственно связана с вершинойe, но не связан с другими вершинами, а вершинаbсвязана с вершинамиa,cиe.

Каждая из этих матриц симметрична, однако, этой симметрии для речной сети не может быть в случае, если мы попытаемся отразить то простейшее свойство воды, что она не может течь вверх по склону. В таких ситуациях необходимо указывать, что связь в одном из направлений невозможна. Условие, отражающее этот момент и делающее матрицу несимметричной, состоит в том, что строки представляют собой течение «из» a,b,cи т.д., а столбцы — течение «в»a,b,cи т.д. Поскольку возможны связи только «из» 1 в 5 или изf вe, то в каждой матрице не­которые связи утрачиваются. В результате матрицы будут иметь вид:

Сумма по каждому столбцу дает общее количество притоков, впадающих в каждую реку. В нашем случае: по два притока в ребра 4 и 5 и по два в вершины bиe. Изменения речной сети легко представить путем сложения и вычитания матриц. Изложенный метод можно распространить и на другие характеристики речной сети, такие, например, как расход воды, размер русла и т. п.