1. Алгебра и аналитическая геометрия

В этом разделе рассматриваются некоторые географические задачи, которые решаются методами алгебры и аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия используется при описании строения земной коры, в частности, можно осуществлять аппроксимацию складок земной коры линиями первого и второго порядков (см. [2]). Векторное и тензорное исчисления используются в целях пространственного описания тектонических движений, деформаций и напряжений в земной коре. Векторная и матричная алгебра широко используется для решения задач кристаллографии.

Рассмотрим задачу, которая решается с использованием таких математических понятий, как уравнение прямой и расстояние от точки до прямой.

1.1. Задача о движении эпицентра циклона по прямой

Эпицентр циклона, движущийся прямолинейно, во время первого измерения находился в 16 км к северу и 9 км к западу от метеостанции, а во время второго измерения находился в 12 км к северу и 6 км к западу от метеостанции. Определить наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции.

Введем систему координат: центр О – метеостанция, ось Ox направлена с запада на восток, ось Oy направлена с юга на север (рис.1.1). Циклон движется по прямой, проходящей через точки с координатами (–9;16) и (–6;12).

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) имеет вид: . Подставив в него координаты точек(–9;16) и (–6;12), получим: , откуда. Данная прямая пересекает оси координат в точкахA(0;4) и B(3;0). Кратчайшее расстояние от циклона до метеостанции – высота OH в треугольнике OAB. Находим её длину, используя формулу , где – площадь треугольника OAB. Получаем:

км.

Векторы и матрицы

Векторы применяются в климатологии при рассмотрении ветровых движений и в геоморфологии, где с их помощью оценивают влияние наклона долины на степень размыва речного русла.

1.2. Задача о разложении ветра на компоненты

Рассмотрим ветер, дующий со скоростью  10 м/сек с северо-запада под углом 30⁰к северу или под углом  330⁰, отсчитываемых от севера в направлении по часовой стрелке. Требуется вычислить северную и западную компоненты. Изобразим ветер в виде вектора  , где || = 10 м/сек (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Пусть  и   – соответственно северная и западная компоненты этого ветра, т. е. два взаимно-перпендикулярных вектора, дающих при сложении вектор  . Вычислим длины этих векторов, это и будут искомые величины.

Северная () и западная () компоненты имеют вид:

|| = 10sin30⁰= 5м/сек и || = 10cos30⁰= 58,66м/сек.

В качестве упражнения предлагаем читателю самостоятельно решить следующие задачи.

1. Разложить северо-западный ветер, скорость которого 5,7 м/сек, на западную и северную компоненты.

2. Найти направление и скорость ветра, являющегося результатом взаимного действия морского бриза, дующего на берег со скоростью 14 м/сек, и ветра, дующего с берега на море со скоростью 9 м/сек и под углом 60⁰к береговой линии.

3. Ветер, дующий в горизонтальном направлении со скоростью 2,5 м/сек, обусловливает подъем некоторой массы кучевых облаков со скоростью 5 м/сек. Определите направление и скорость движения облаков.