Занятие 3
Интерполяция по Лагранжу и Ньютону. Оценка остаточного члена.
Построить многочлен Лагранжа при n = 3 для следующих случаев:
3.1
1) x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1,
f1 = 3, f2 = 2, f3 = 5;
2) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4,
f1 = 3, f2 = 4, f3 = 6;
Решение.
(x − x2)(x − x3)
(x − x1)(x − x3)
1) P3(x) = f1 (x
1
x2
)(x1
x3
+ f2
) (x2
x1
)(x2
+
− x3)
(x − x1)(x − x2)
(x − 0)(x − 1)
+ f2 (x
3
x1
)(x3
x2
= 3 +
) (−1 − 0)(−1 − 1)
+ 2(x − (−1))(x − 1)
(0 − (−1))(0 − 1)
+ 5(x − (−1))(x − 0)
(1 − (−1))(1 − 0)
= 2x2 + x + 2.
Приближение к числу ln 15,2 вычислено следующим образом. Най- дены точные значения ln 15 и ln 16 и построена линейная интерполя-
3.2
ция между этими числами. Показать, что если a и a∗ — соответствен-
но точное и интерполированное значения ln 15,2, то справедлива оценка
0 < a − a∗ < 4 · 10−4.
Решение. Запишем погрешность R(x) � |M2| |(x − 15)(x − 16)|, где M2 =
2!
max
15�x�16
(ln x)11 = max
15�x�16
| |
1/x2 = 1/225. Нас интересует погрешность в
0, 2 · 0, 8 4
конкретной точке: R(15,2) �
·
225 ·
< 3 10− .
2
Построить интерполяционный многочлен для функции f (x) = |x|
3.3
по узлам −1, 0, 1.
Построить интерполяционный многочлен для функции f (x) = x2
3.4
по узлам 0, 1, 2, 3.
С каким шагом следует составлять таблицу функции sin x на от- резке [0, π/2], чтобы погрешность кусочно-линейной интерполяции не пре-
3.5
восходила величины 0, 5 · 10−6?
Построить многочлен P3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, удовлетворя- ющий условиям:
3.6
1. P3(−1) = 0, P3(1) = 1, P3(2) = 2, a3 = 1.
2. P3(0) = P3(−1) = P3(1) = 0, a2 = 1.
3. P3(−1) = 0, P3(1) = 1, P3(2) = 2, a1 = 1.
4. P3(−2) = P3(−1) = P3(1) = 0, a0 = 1.
Многочлены Чебышева
Вычислить многочлен Чебышёва T6(x) с помощью рекуррентного соотношения:
3.7
T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x), n � 1.
Решение.
T2(x) = 2T1(x) − T0(x) = 2x2 − 1,
T3(x) = 2T2(x) − T1(x) = 4x3 − 3x, T4(x) = 2T3(x) − T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1,
T5(x) = 2T4(x) − T3(x) = 16x5 − 20x3 + 5x, T6(x) = 2T5(x) − T4(x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1.
Найти все нули многочлена Чебышёва Tn(x).
3.8
Решение. Воспользуемся тригонометрической формой записи многочлена Чебышёва: Tn(x) = cos(n · arccos x). Решая уравнение cos(n · arccos x) = 0,
получим
x(n)
=
cos
2k−1
π, k
=
1,
2,
.
.
.
,
n.
k 2n
Найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке
3.9
[a, b], среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1.
Решение. Функция может Tn(x) принимает аргумент из интервала [−1, 1],
а нам нужно подавать аргумент из интервала [a, b]. Найдём линейное пре- образование [a, b] → [−1, 1]. Легко заметить, что преобразование x1 =
b−a обладает нужным свойством. Сначала обратим внимание на глав- ный коэффициент в представлении Tn(x) = 2n−1xn + . . .. Он равен 2n−1. Теперь рассмотрим главный коэффициент при подстановке x1:
2x−(b+2)
n
2x − (b + 2)
n−1 2x − (b + 2)
2 2n−1 n
Tn(x1) = Tn
= 2
b − a
b − a
+. . . =
x
(b − a)n
+. . .
Умножая весь многочлен на коэффициент (b − a)n21−2n, добъёмся, чтобы
главный множитель стал равен 1:
[a,b]
Tn (x) = (b − a) 2 − Tn
n 1 2n
[a,b]
2x − (b + 2)
b − a
= 1 · xn + . . . .
Осталось показать, что Tn (x) — наименее уклоняющийся от нуля на
отрезке [a, b], среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1. До- казательство аналогично случаю T [−1,1](x) (см. лекцию 4).
n
Среди всех многочленов вида a3x3 + 2x2 + a1x + a0 найти наиме- нее уклоняющийся от нуля на отрезке [3, 5] (т.е. многочлен вида const ·
3.10
3 (x)).
T [3,5]
Важное замечание. В задаче зафиксирован не главный коэффициент при x3, а множитель при x2. Теорема о наименее отклоняющемся от нуля многочлене не работает в этом случае. То есть для всех многочленов P3(x) степени 3 с одинаковым
[3,5]
[3,5]
коэффициентом 2 при x2 неравенство max |P3(x)| � max |T-3 (x)|, где T-3 (x) имеет
[3,5]
[3,5]
коэффициент 2 при x2 и корни как у T [3,5](x), в общем случае не выполняется. Но термин «наименее отклоняющийся от нуля» нужно понимать как синоним «многочлен чебышёвского типа», т.е. многочлен с корнями как у T [3,5](x).
3
3
Решение. Построим вначале многочлен Чебышёва T [−1,1](x) = 4x3 − 3x.
3
В условии задан отрезок [3, 5]. Линейное преобразование 2x−(5+3)
5−3
= x − 4
[3,5]
[−1,1]
осуществляет перевод [3, 5] → [−1, 1]. Получаем T3 (x) = T3 (x−4) =
4x3 − 48x2 + 189x − 244. Нам задан коэффициент при x2. Это значит, что
3
многочлен
нужно
разделить
на
−24:
−x
+ 2x2 − 63 + 61 .
6 8 6
Функция f (x) = sin 2x приближается многочленом Лагранжа на
3.11
[0, 2] по n чебышёвским узлам: xi = 1 + cos 2i−1 π, i = 1, . . . , n. Найти
2n
наибольшее целое p в оценке погрешности вида εn = 110−p, если n = 6.
3
Решение. Для интерполяции используется 6 чебышёвских узлов, следо- вательно, степень многочлена Лагранжа на единицу меньше: P5(x). По- грешность многочлена Лагранжа:
R5(x) = f (x) − P5(x) =
(sin x)VI|x=ξ
(5
+
1)! ·
ω6(x),
где ξ ∈ [0, 2] — неизвестная точка из интервала и
ω6(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − x6), xi — чебышёвские узлы.
Оценим сверху модуль производной M6 = max (sin x)VI = 26. Имеем
| |
[0,2]
[0,2]
ω6(x) = T 6 (x) — многочлен чебышёвского типа, у которого все 6 корней
принадлежат [0, 2] и старший коэффициент равен 1. Найдём max ω6(x) =
| |
[0,2]
[0,2]
max T 6 (x)
| |
[0,2]
см. лекц. 4
= (2 − 0) · 2 − · = 2− . В итоге
6 1 2 6 5
|R6(x)| �
Ответ: p = 2.
M6
max ω6(x) =
6! · | |
[0,2]
26
720
· 2−5 =
1 360 �
1 2
3
·
10−
.