9.3 Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике

 

Выше было отмечено, что источниками поля служат не только сторонние, но и связанные заряды, поэтому теорему Гаусса для поля можно записать

, (9.5)

где – алгебраическая сумма сторонних и связанных зарядов, охватываемых поверхностью S.

Формула (9.5) малопригодна для нахождения вектора , т.к. заранее не из­вестно распределение связанных зарядов, которое зависит от поля .

Вычисление полей во многих случаях упрощается введением вспомогатель­ной величины, источниками которой являются только сторонние заряды, и назы­ваемой электрическим смещением или электрической индукцией

. (9.6)

Следует отметить, что вектор представляет собой сумму двух совер­шенно различных величин: и , поэтому он действительно вспомога­тельный вектор, не имеющий какого–либо физического смысла, но во многих случаях введение его упрощает изучение поля в диэлектриках.

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгеб­раической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью,

 

. (9.7)

Это и есть теорема Гаусса для вектора .

Подставив выражение (9.2) для в (9.6), получим

 

или

, (9.8)

где – диэлектрическая проницаемость вещества, являющаяся основ­ной электрической характеристикой диэлектрика.

9.4 Условия на границе двух диэлектриков

 

Поведение векторов и на границе раздела двух однородных изотроп­ных диэлектриков определяется с помощью основных теорем электростатики: теоремы о циркуляции вектора (8.11) и теоремы Гаусса для вектора (9.7)

 

, .

Согласно теореме о циркуляции вектора

, , (9.9)

 

т.е. тангенциальная составляющая вектора одинакова по обе стороны вблизи границы раздела, не претерпевает скачка, тангенциальные составляющие вектора претерпевают скачок при переходе границы раздела.

Из теоремы Гаусса получаются соотношения

 

, . (9.10)

 

Из соотношений (9.10) следует, что при переходе через границу раздела нормальная составляющая не изменяется, а нормальная составляющая претер­певает разрыв.

Полученные условия для составляющих векторов и на границе раздела двух диэлектриков (9.9) и (9.10) означают, что линии этих векторов преломляются, вследствие чего угол между нормалью к поверхности раздела и линией изменяется (рису­нок 9.2).

 

 

 

Рисунок 9.2 – Преломление векторов и на границе двух диэлектриков ()

 

С учетом полученных условий закон преломления линий напряженности электростатического поля на поверхности раздела двух диэлектрических сред при отсутствии на той поверхности свободных зарядов выражается формулой

 

. (9.11)