10. Момент импульса системы частиц. Закон сохранения Момента Импульса

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произ­ведением:

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv — импульс мате­риальной точки (рис. 28); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Модуль вектора момента импульса

где  — угол между векторами r и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдель­ная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоро­стью v_i . Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т. с. радиус является плечом вектора m_iv_i . Поэтому можем записать, что момент импульса отдель­ной частицы равени направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу v_i = r_i, получимт. е.

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твер­дого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

В замкнутой системе момент внешних сил откуда

Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от­счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

15. Кинетическая энергия частицы и системы частиц. Связь кинетической энергии с работой. Кинетическая энергия и работа при вращательном движении твердого тела. Кинетическая энергия тв. тела в случае плоского движения.

Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ - Джоуль.

Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем уравнение движения:

, F — есть результирующая всех сил, действующих на тело. Умножим уравнение наперемещениечастицы. Учитывая, Получим:Еслисистема замкнута, то естьF=0, то , а величинаостаётся постоянной. Эта величина называетсякинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого телаполную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

где: m — масса тела, v — скорость центра масстела,—момент инерциитела,—угловая скоростьтела.

Рассмотрим тверд тело,вращ вокруг оси мысленно разобьем его на маленк объе-мы с элементар массами, наход на раст r1,r2…rn от оси.кинетич энергию вращ тела найдем как сумму кинетич энергий его элемент объемов. T=сум от 1 до n mv²/2(все i-тое).но w=v/r=>T=сум от1до n mw²r²/2(m,r- i-тое)= J_zω²/2 -кинетич энерг вращающегося тела.

Работа dA силы F на пути, которой тело прошщло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кон. энергии dT: dA=dT. Испольщуя второй закон ньютона Fdr=m(dv/dt)dr=dA.

Для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (T=mv²/2), следует что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движеии. Формула T_вр=J_zω²/2 справедлива для тела вращ. Вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: Т=mv²/2+Jω²/2.

Где m=масса катящегося тела; v_c – скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относит.оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела.

16. Полная механическая энергия частицы и системы частиц. Закон изменения полной механической энергии. Общефизич. закон сохранения и превращения энергии

В инерциальной системе отсчета механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет непотенциальных сил, сохраняется в процессе движения, т. E: E=Eк+U=const

Такую систему называют консервативной. С достаточно хорошим приближением замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему.

Полной механической энергией системы тел называется сумма кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной. Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии встречается в различных разделах физики и проявляется в сохранении различных видов энергии. Например, в классической механике закон проявляется в сохранении механической энергии (суммы потенциальной и кинетической энергий). В термодинамике закон сохранения энергии называется первым началом термодинамики и говорит о сохранении энергии в сумме с тепловой энергией. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то правильнее называть его не законом, а принципом сохранения энергии.

Закон сохранения энергии — основной закон природы, заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) системы сохраняется во времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую.

Для замкнутой системы физических тел, например, справедливо равенство E_k1 + E_p1 = E_k2 + E_p2, где E_k1, E_p1 — кинетическая и потенциальная энергии системы какого-либо взаимодействия, E_k2, E_p2 — соответствующие энергии после.

Частный случай — Закон сохранения механической энергии — механическая энергия консервативной механической системы сохраняется во времени. Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может никуда исчезнуть.

При исчезновении одного вида энергии всегда одновременно возникает по меньшей мере один новый вид энергии; в большинстве случаев возникает несколько новых видов энергии. Таким образом, энергия не исчезла, а превратилась в один или несколько других видов энергии. Кинетическая энергия кирпича в основном перешла в потенциальную и в меньшей степени – в звуковую и тепловую; кинетическая энергия затормозившего поезда – в тепловую; химическая энергия, содержащаяся в батарее карманного фонаря, при его работе превращается в световую и тепловую энергии; в радиоприемнике электрическая энергия – в звуковую, тепловую и световую энергии.

Переход одного вида энергии в другой может совершаться различными способами.

17. Законы сохранения и свойства симметрии пространства и времени.

Законы сохранения оказались столь универсальными, что после надлежащего обобщения стали применяться не только в классической механике, но и в теории относительности и даже в квантовой физике. Причины этой универсальности были неясны до тех пор, пока не установили их связь со свойствами симметрии пространства и времени.

Для замкн сист оказ неизмен(сохр) три физич велич: энерг, импульс и момент импульса. В соотв с этим имеют место три зак сохр: зак сохр энерг, зак сохр импульса и зак сохр момента имп. Эти законы тесно связ с осн св-вами простр и врем. В осн сохранения энерг леж однородность врем,т.е. равнозначн всех моментов врем. В осн сохран имп леж однородн простр-ва, т.е. одинаковость свойств простр во всех точк. В осн сохр момента имп леж изотропия простр-ва, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направл.

Установлено, что каждый закон сохранения связан с какой-либо симметрией в окружающем нас мире (теорема Нетер). Так законы сохранения энергии и импульса связанны с однородностью времени и пространства. Закон сохранения момента количества движения связан с симметрией пространства относительно вращений. Законы сохранения зарядов связаны с симметрией физических законов относительно специальных преобразований, описывающих частицы.

1. Симметрии законов физики по отношению к параллельному переносу в пространстве соответствует сохранение импульса изолированной системы.

В рамках представлений ньютоновской механики это объясняется тем, что при параллельном переносе изолированной системы как целого из одного места в другое никаких изменений в характере взаимодействий частиц системы произойти не должно (все места в однородном пространстве физически эквивалентны). Следовательно, при параллельном переносе потенциальная энергия системы останется неизменной. А если так, то работа действующих в системе сил, совершаемая при рассматриваемом перемещении, будет равна нулю. Но при произвольном перемещении такое возможно, лишь когда эти силы в сумме дают нуль. Последнее является условием сохранения импульса.

2. Симметрии законов физики по отношению к сдвигу во времени соответствует сохранение полной механической энергии изолированной потенциальной системы.

Действительно, в результате сдвига во времени свойства изолированной системы должны оставаться неизменными (все моменты времени физически эквивалентны). Поэтому потенциальная энергия взаимодействия частиц системы не должна зависеть от времени. Её изменение Л£п может быть обусловлено лишь перемещениями частиц внутри системы. Однако в таком случае оно будет совпадать с совершаемой работой, взятой с обратным знаком (по теореме о потенциальной энергии). Сама же эта работа равна изменению кинетической энергии системы ЛЕк (по теореме о кинетической энергии). Таким образом, ЛЕк=-Л£п, откуда А(Ек+Ец)=0 и, следовательно, EK-Eu=comt.

3. Симметрии законов физики по отношению к пространственным вращениям соответствует сохранение момента импульса изолированной системы.

В самом деле, повернув изолированную систему на некоторый угол, мы не обнаружим в её свойствах никаких изменений (все направления в изотропном пространстве физически эквивалентны). Значит, изменение её потенциальной энергии и, следовательно, работа сил, действующих в системе, окажутся равными нулю. Но работа сил А, совершаемая при повороте, определяется произведением угла поворота на суммарный момент сил М~*. Поскольку А=0, то, следовательно, и М~*=0. Последнее является условием сохранения момента импульса.

Итак, мы рассмотрели три фундаментальных закона — закон сохранения импульса, закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса. Однако ими не исчерпываются законы сохранения, существующие в природе. Особенно ими богата физика элементарных частиц, имеющая в своём распоряжении законы сохранения чётности, странности и даже очарования. В данной области физики подобные законы часто являются основными источниками информации о свойствах изучаемых объектов. Поэтому поиски симметрии, из которой они вытекают, являются важнейшей задачей

современной физики.