На сортировку / 2 / вариант 27

Введение

Дисциплина «Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике» является одной из профилирующих при подготовке бакалавров по специальности Электроэнергетика.

         Расчетно-графические работы имеют цель закрепить в памяти студента приобретенные ранее теоретические знания по компьютерному моделированию и решению инженерных задач энергетики. Приступая к непосредственному выполнению работы, студент должен иметь ясное представление о поставленной перед ним задаче и о тех физических явлениях, которые предстоит исследовать.

          В расчетно-графических работах большое внимание обращено на расчеты режимов электрических сетей матричным методом.

-1-

Задание 2

Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с применением компьютерных математических приложений.

Задание на РГР

1. Рассчитать и построить кривые переходных процессов i(t) для схемы, изображенной на рисунке 2,  модифицированным методом Эйлера.

 

 

 

 

 

Рисунок 2

2. Рассчитать и построить кривые переходных процессов i₁(t), i₂(t) для

схемы, изображенной на рисунке 3, методом Рунге-Кутта.

 

Рисунок 3

2. Методические указания

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

Математическая модель объектов электроэнергетики обычно  составляется в форме систем дифференциальных и алгебраических уравнений.

  При формализации математической модели необходимо выбрать метод решения дифференциального уравнения (ДУ) (или системы уравнений), описывающих данный динамический процесс. Символьные (аналитические) способы наиболее точны и предпочтительны, но не всегда осуществимы (сложность и громоздкость, решения или его невозможность). Значительную помощь в проведении символьных расчетов может оказать использование пакетов символьной математики «Maple» или «Mathematica»          Использование современных вычислительных средств значительно повысило точность приближенных численных методов, их быстродействие. Многие  математические компьютерные приложения упрощают применение численных методов расчета и делают их универсальными. В случае, когда модель (или подсистему) можно достаточно просто  описать и решить аналитическими способами, предпочтение следует отдать последним. Наиболее распространенными в настоящее время пакетами математических прикладных программ для инженерных расчетов являются «Mathcad» и «Matlab»

3.1  Решение ДУ модифицированным методом Эйлера

         Простейшим численным методом решения одиночного дифференциального уравнения вида

.                                                (1)

является метод Эйлера. Он реализуется следующей рекуррентной формулой

.                                        (2)

Здесь h— шаг решения. Погрешность этого метода значительна (порядка h), поэтому он на практике почти не применяется. Более точным является модифицированный методом Эйлера, реализуемый формулой

,              (3)

погрешность которого близка к h² (то есть по­рядка 1% при h =0,1), что нередко уже приемлемо для приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Улучшение точности вычислений при использовании этого метода, фактически достигнуто за счет интегрирования методом трапеций вместо метода прямо­угольников, характерного для реализации простого метода Эйлера.

Простейшее звено (рисунок 1), описывается дифференциальным уравнением первого порядка

                                          (4)

В примере, приведенном ниже, дана реализация в приложении «Mathcad» моди­фицированного метода Эйлера.

3.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

При переходе от решения одиночных дифференциальных уравнений к реше­нию систем дифференциальных уравнений сложность решения быстро нараста­ет. Уже при решении системы из двух дифференциальных уравнений значительно усложняются рекуррентные формулы, определяющие коэффициенты в формулах Рунге—Кутта. При этом добавление каждый раз очередного уравнения увеличивает число уравнений в их векторной записи. Естественно, это увеличивает сложность решения, ведет к увеличению числа переменных в функциях, задающих коэффициенты Ki, но принципиально не меняет реализации алгоритма вычислений.

При решении систем дифференциаль­ных уравнений «в лоб» этот путь оказывается тупиковым из-за быстрого нара­стания сложности уравнений и их частного характера.

Встроенные в «Mathcad» функции для решения систем дифференциальных урав­нений обходят эти трудности, поскольку не требуют составления формул для решения систем дифференциальных уравнений и задают такое решение в общем виде. Надо, однако, учитывать, что реальные алгоритмы решения диффе­ренциальных уравнений оказываются заметно сложнее рассмотренных. Так, широкое распространение получили адаптивные алгоритмы, в которых на каж­дом шаге выполняется контроль погрешности решения (функция Rkadapt в «Mathcad»). Если погрешность падает ниже заданной, шаг h уменьшается. И так до тех пор, пока погрешность не станет меньше заданной. Это заметно снижает неустойчивость решения, но одновременно увеличивает время вычислений как на каждом шаге, так и в области возможной неустойчивости решения.

        Последние версии компьютерных математических систем оснащены встроенными функциями численного решения как отдельных дифференциальных уравнений, так и систем ДУ. Для решения задач такого класса введен ряд функций:

rkfixed(y,x1,x2,N,D) – матрица решений методом Рунге – Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе  y  на интервале от x1 до x2 с фиксированным числом шагов N; правые части уравнений записаны в векторе D;

Rkadapt(y,x1,x2,N,D) – матрица решений методом Рунге – Кутта (с переменным шагом) системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе  y  на интервале от x1 до x2 с фиксированным числом шагов N; правые части уравнений записаны в векторе D.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель электрической схемы, изображенной на рисунке 2.

Электрическое равновесие в предложенной схеме определяется системой дифференциальных уравнений

,

.

Варианты задания 

Последняя цифра номера зачетной книжки	7	Предпоследняя цифра номера зачетной книжки	2
Активное сопротивление R, r1, r2, Ом	65 0.2 0.8	Напряжение U, В	12
Индуктивность L, L1, L2, Гн	6 0.7 0.3	Напряжение U1, U2, В	50 80

 

1. Метод Эйлера

2. Метод Рунге - Кутта

Список литературы

1. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетик. Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1981.- 288 с.

2. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. - Минск: Высшая школа, 1978. - 256 с.

3. Тохтибакиев К.К., Мустафин М.А., Туканова Н.А., Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов 050718- Электроэнергетика дистанционной формы обучения.- Алматы: АИЭС, 2007.-38 с.

Заключение

Математическая модель объектов электроэнергетики обычно составляется в форме систем дифференциальных и алгебраических уравнений. При формализации математической модели необходимо выбрать метод решения дифференциального уравнения (ДУ) (или системы уравнений), описывающих данный динамический процесс. Символьные (аналитические) способы наиболее точны и предпочтительны, но не всегда осуществимы (сложность и громоздкость решения или его невозможность). В данной работе мы изучили основные два методы решение ДУ это: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта. С помощью этих методов и программы«Mathcad» мы сделали расчеты к рисункам 4 и 5.