Лекция 6. Вполне упорядоченные множества

Одной из аксиом аксиоматической системы Цермело – Френкеля является аксиома выбора. Фактически мы ею уже пользовались: например, когда доказывали, что всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество. Дадим точную формулировку этой аксиомы.

Аксиома выбора. Если – непустое множество, то в каждом его непустом подмножестве можно выбрать по одному элементу. Иными словами, существует функция выбора такая, что при любом непустом

Замечание. Хотя аксиома выбора кажется интуитивно очевидной, не все математики её принимают. В частности, интуиционисты и конструктивисты её отвергают за её неконструктивный характер (в самом деле, аксиома утверждает, что можно выбрать по одному элементу, но как это сделать, она не говорит).

Вполне упорядоченные множества

Определение. Множество называется вполне упорядоченным, если оно линейно упорядочено и любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.

Утверждение. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным, если и только если оно не содержит бесконечных убывающих последовательностей элементов

Пример 1. Множество натуральных чисел с обычным отношением порядка является вполне упорядоченным.

Пример 2. Множество с отношением лексикографического порядка или является вполне упорядоченным.

Пример 3. Множество с лексикографическим порядком

Свойства вполне упорядоченных множеств

1. любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено;

2. если и – два непересекающихся вполне упорядоченных множества, то порядок на множестве определённый следующим образом:

превращает во вполне упорядоченное множество.

Определение. Пусть – линейно упорядоченное множество. Начальным отрезком множества назовём такое подмножество что

Лемма 1. Для любых двух начальных отрезков линейно упорядоченного множества либо либо

Доказательство. Пусть Тогда существует Возьмём любой элемент Если бы то что невозможно. Значит, Отсюда следует, что Итак, любой элемент лежит в Следовательно,

Определение. Два линейно упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.

Теорема 1. Для любых двух вполне упорядоченных множеств одно из них изоморфно начальному отрезку другого.

Лемма 2. Пусть – вполне упорядоченные множества и множество изоморфно начальному отрезку множества Тогда этот изоморфизм определяется единственным образом.

Следствие. Вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему начальному отрезку, отличному от

2