Примеры решения задач

1. Доказать, что для любых ординалов справедливо равенство

Доказательство. Будем отождествлять ординал со вполне упорядоченным множеством, соответствующим этому ординалу. Построим отображениеследующим образом. Еслигдето

Очевидно, – взаимно однозначное отображение. Проверим, чтосохраняет порядок. ПустьСчитаем, чтоТогдаМы имеем: либолибоЕслиитоипо определению лексикографического порядка. Аналогично рассматривается случай, когдаиЕсли жеитопоэтомуПусть теперьТогдаоткуда легко следует, что

2. Привести пример ординалов для которых

Решение.– это объединение двух множествследующих друг за другом. Поэтомув то время какОчевидно,(так как– начальный отрезок множества

3. Доказать изоморфизм абелевых групп и

Доказательство. Группуможно рассматривать как линейное пространство над полемВыясним, какую размерность имеет это пространство, т.е. какова мощность его базиса. Пусть– базис пространстванад полемиТак какито мощность множества всех линейных комбинацийгдеравнаИтак,| Ясно, что пространствоимеет такую же мощность базиса, что иВзаимно однозначное соответствие между базисами продолжается до изоморфизма линейных пространств. Значит,как линейные пространства, а значит, и как абелевы группы. Заметим, что как кольца ине изоморфны (это ясно хотя бы потому, что– поле, а – нет).

4. Какому начальному отрезку множества изоморфно множество

Решение.NNТак как сравнение строчекива такжеивосуществляется слева направо, то естественно рассмотреть вподмножествоОно и будет начальным отрезком, изоморфным

5. Какой порядковый тип имеет множество

Решение.N

6. Доказать, что для ординальных чисел имеют место импликации Привести пример такихчтоно

Решение. Так както можно множествосчитать начальным отрезком множестваотличным отОтсюда ясно, что– начальный отрезок множестване совпадающий сТаким образом,Для доказательства второй импликации будем вкладывать множествовт.е. рассматривать изоморфизмыгде– начальные отрезки множествсоответственно. По лемме Цорна существует максимальный (по области определения) из таких изоморфизмов. Понятно, что для этого изоморфизмалиболибоВ первом случае мы имеем:что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь случай, когдаТак кактоотображает элементв элемент изЗначит,вДокажем, чтосуществует для всехи выполняется неравенствоПусть– наименьший элемент изтакой, чтолибо не существует, либоПри всехсуществует иЗначит,Отсюда следует, чтосуществует иа это противоречит выбору элементаТаким образом,определено на всём множествет.е.

Пример, когда ностроится очень просто:

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать для ординалов импликации:

(а)

(б)

(в)

2. Пусть – ординалы иОрдиналназываетсяразностью ии обозначаетсяеслиДоказать, что разностьсуществует и единственна.

3. Пусть – ассоциативное кольцо. Для ординаловопределимследующим образом:иесли– предельный ординал. Доказать, что существует ординалтакой, чтопри

Указание:взять ординалпо мощности большим, чем кольцо

4. Построить множество Какова мощность этого множества?

Ответ:изоморфно множеству последовательностейгде с лексикографическим порядком (сравнение слева направо). Мощность множестваравна

5. Доказать, что абелевы группы и изоморфны.

6