Примеры решения задач

1. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: а) б)в)(функция “сигнум”).

Решение. а) Имеем: о Это схема примитивной рекурсии. Так как функцияпримитивно рекурсивна, то функциятоже.

б) Схема примитивной рекурсии для функции выглядит так:s(o Так как функцияпримитивно рекурсивна, тотоже.

в) Имеем: Следовательно, функцияпримитивно рекурсивна.

2. Доказать, что функция рекурсивна.

Доказательство. Пусть Так как функцияполучается из примитивно рекурсивных функций с помощью оператора минимизации, то функциярекурсивна. Ясно, чтоИзвестно, что функцияпримитивно рекурсивна (см. предыдущее упражнение). Следовательно, функциярекурсивна. Это влечёт рекурсивность функцииа она совпадает с функцией

3. Выяснить, что из себя представляет функция Мгде функция “сигнум” (см. предыдущую задачу).

Решение. Пусть М Тогда Поэтомуа остальные значения функциине определены.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: а)б)в)

Указания: а)

б)

в)

2. Доказать, что функция является рекурсивной.

Указание:

3. Доказать, что если функция примитивно рекурсивна, то функция– тоже. Используя это утверждение и результат задачи

1 в), доказать примитивную рекурсивность функции

Указания:

9