Лекция 13. Машина Тьюринга. Вычислимые (рекурсивные) функции. Универсальные рекурсивные функции.

Попытки формализовать понятие алгоритма привели к созданию машины Тьюринга, как некоего воображаемого устройства, реализующего алгоритм. Будем считать, что алгоритм имеет дело со счётным множеством объектов и состоит в выборе одного из них, удовлетворяющего заданным условиям. Таким образом, алгоритм можно отождествить с функцией (вообще говоря, частичной)Напомним, что частичной функцией называется “функция”которая может быть определена не для всех значений аргументов. Множествомы предполагаем счётным, так как на конечном множестве всегда есть алгоритм решения любой математической задачи (например, она может быть решена полным перебором всех возможных вариантов), а для несчётного множества трудно придумать механическое устройство, преобразующее исходные данные и работающее в дискретном режиме времени (современные вычислительные машины, производящие действия над действительными числами, на самом деле оперируют с их машинными приближениями). Яркими примерами, иллюстрирующими эти рассуждения, являютсяалгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, алгоритм умножения чисел “в столбик”, деления “уголком”, вычисления п-го простого числа и т.д. – все эти задачи решаются на машинах Тьюринга, которым будет посвящён следующий раздел.

Ещё одним шагом в разрабатываемой теории стало появление рекурсивных функций, как функций, формализующих понятие алгоритма и реализующих интуитивное понятие вычислимости. Вскоре было установлено, что множество рекурсивных функций совпадает с множеством функций, вычислимых на машинах Тьюринга. Появлявшиеся затем новые понятия, претендующие на объяснение понятия алгоритма, оказывались эквивалентными функциям, вычислимым на машинах Тьюринга, а значит, и рекурсивным функциям. Итогом развернувшейся дискуссии о том, что такое алгоритм, стало утверждение, называемое сейчас тезисом Чёрча.

Тезис Чёрча. Понятие алгоритма, или вычислимости некоторым механическим устройством, совпадает с понятием вычислимости на машинах Тьюринга (а значит, с понятием рекурсивной функции).

Это утверждение нельзя считать математической теоремой. Это есть некоторый естественнонаучный тезис, принятый большинством исследователей.

Машина Тьюринга

Машина Тьюринга так же, как и конечный автомат, является дискретным устройством преобразования информации. Приведём её точное определение, а затем интерпретацию её работы.

Машиной Тьюринга называется частичное отображение

Здесь обозначает “лево”, “право”. Тот факт, что отображениечастичное, означает, чтоможет быть определено не для всех наборов аргументов. Машина Тьюрингаработает с бесконечной в обе стороны лентой, разбитой на ячейки, в каждой из которых написан один из символов 0, 1. Считывающая головка машины обозревает в каждый момент времени одну из ячеек и за один такт, сменяющий два последовательных момента времени, может перемещаться влево или вправо. Машина Тьюринга в каждый момент времени находится в одном из состоянийа в следующий момент времени переходит в другое состояние или остаётся в том же. Кроме того, машина может изменять символ, стоящий в обозреваемой ячейке. Все эти преобразования – изменение состояния, информация на ленте, направление движения полностью определяются отображениемА именно, еслито в случае, когда машина находится в состоянииа на обозреваемой в данный момент ячейке написан символмашина должна записать в эту ячейкувместоперейти в состояниеи сдвинуться на одну ячейкувлево. В случае, когда те же действия будут сопровождаться сдвигомвправо. Например, равенство означает, что, находясь в состояниии обозревая ячейку, в которой написан символ 1, машина должна сохранить в этой ячейке символ 1, сдвинуться вправо и перейти в состояниеЕсли жене определено, то машина, находясь в состояниии обозревая ячейку с символомпрекращает свою работу, не изменяя своего состояния, информации на ленте и никуда не сдвигаясь.

Замечания.

1. Существуют различные модификации машины Тьюринга (машина Поста, машина Минского и т.д.). Некоторые модификации предусматривают на ленте не символы 0 или 1, а буквы некоторого конечного алфавита В некоторых определениях разрешается не только сдвиг головки машины влево или вправо, но и оставление на прежней позиции. Однако, различные модификации машины Тьюринга эквивалентны между собой в том смысле, что классы функций, вычислимых на этих машинах, совпадают.

2. Понятно, что никакое физическое устройство не может иметь бесконечной ленты. Поэтому лучше мыслить себе ленту машины Тьюринга как потенциально бесконечную, т.е. как конечную, к которой при необходимости можно “подклеивать” с одной и с другой стороны куски сколько угодно раз.

Определение машины Тьюринга, данное в начале раздела, неудобно для использования. Более удобным будет запись программы, которая заключает в себе всю информацию о работе машины (таким образом, задания машины с помощью отображения и с помощью программы эквивалентны между собой). Опишем составление программы. Для каждого равенства вида гденомера состояний,направление движения, асимволы на ленте, запишем строкуи назовём еёкомандой. Совокупность всех команд – это и есть программа. Если не определено, то в программе нет ни одной команды, начинающейся сКроме того, для любыхв программе есть не более одной команды, начинающейся с

Пример. Построим машину Тьюринга, которая, имея на ленте два массива из единиц, разделённые нулями, заполняет эти нули единицами и останавливается у последней единицы второго массива.

Алгоритм действий можно записать словами:

1-й шаг: пройти первый массив единиц, найти массив из нулей, идущий после него и заменить первый нуль единицей;

2-й шаг: идти через массив нулей, заменяя их единицами, до тех пор, пока не появится второй массив единиц;

3-й шаг: пройти второй массив единиц и остановиться в его конце.

Машина Тьюринга, реализующая этот алгоритм, имеет следующую программу:

	1-й шаг
	2-й шаг
	3-й шаг

Ввиду наличия у машины Тьюринга бесконечной ленты её вычислительные возможности значительно превосходят возможности конечного автомата. В частности, так как автомат имеет конечную память, то выходная последовательность его всегда периодическая, если входная периодична. В противоположность этому нетрудно придумать машину Тьюринга, которая, начиная работать на пустой ленте (т.е. на ленте, во всех ячейках которой записаны нули), будет формировать последовательность (массивы из единиц имеют длины 1, 2, 3, ...), а эта последовательность периодической не является.

Будем называть в этой главе натуральными числами целые неотрицательные числа, т.е. разрешим числу 0 называться натуральным числом. Таким образом, N множество натуральных чисел. Как на ленте обозначить натуральное число Один из способов (и мы будем здесь его использовать) состоит в том, что числокодируется последовательностью изединиц (именноа нечтобы не путать число 0 с отсутствием информации). Такую информацию на ленте будем обозначатьНапример,Упорядоченный наборнатуральных чисел будем кодировать так:Определим теперь, что означает вычислимость функциимашиной Тьюринга

Будем говорить, что машина Тьюринга вычисляет функцию если для любого наборанатуральных чисел машинанаходясь в состояниии обозревая крайнюю левую единицу востанавливается в том и только том случае, когда значениеопределено, и в конце работы на ленте должно быть записано ...00..., а считывающая головка машины должна стоять напротив крайней левой единицы.

Таким образом, если, например, то мы должны иметь

а если не существует, то машина, запущенная на лентедолжна работать бесконечно долго (при условии, что начальное состояниеа обозреваемая в начальный момент времени ячейка – крайняя левая единица.

Если информация на ленте не имеет вид или начальное состояние неили обозреваемая ячейка – не крайняя левая единица, то поведение машины может быть каким угодно.

Пример. Машина, заданная следующей программой, вычисляет функцию

Машина Тьюринга была придумана Аланом Тьюрингом и описана в его статье в 1936 г. Конечно, она уступает современным вычислительным машинам в удобстве использования для решения конкретных задач. Тем не менее она сыграла большую роль в создании вычислительной техники. К настоящему времени она сохранила своё теоретическое значение для решения вопроса об алгоритмической разрешимости задач.