Добавил:

sergey123 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математическая логика и теория алгоритмов

Файл:

Логика / lect10_m2_vm1_vt_lta_230100.62_niy06

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2017

Размер:

383.49 Кб

Скачать

☆

Лекция 10. Основные понятия теории моделей. Выразимые и невыразимые предикаты. Элиминация кванторов.

Выразимость предикатов

Пусть – модель (где – носитель, – сигнатура), – п-местный предикат на множестве Мы будем говорить, что предикат выразим в данной модели, если существует формула логики первого порядка такая, что

Рассмотрим в качестве примера модель где – множество натуральных чисел, дополненное нулём, равенство “=” понимается как совпадение элементов, а – функция следования, т.е. Как выразить в этой модели предикаты Ответ очевиден: первый предикат можно выразить формулой а второй – формулой Конечно, не все предикаты в этой модели являются выразимыми, хотя бы потому, что всех формул сигнатуры счётное число (если алфавит предметных переменных счётный), а все предикаты на множестве образуют континуальное множество.

Приведём теперь примеры невыразимых предикатов. Простейшим примером служит предикат в модели Действительно, интуитивно ясно, что если в сигнатуре нет арифметических операций, то все элементы множества равноправны и отличить число 0 от других чисел невозможно. Разумеется, эти рассуждения не доказывают невыразимость предиката Приведём строгое доказательство этого факта. Докажем индукцией по длине формулы, что истинность или ложность формулы не изменится, если значения всех предметных переменных увеличить на 1. Это очевидно для атомарных формул, так как они имеют вид или Предположим, что истинность или ложность формул и не изменяется при увеличении значений свободных переменных на 1. Понятно, что то же будет верно для формул и Если формула имеет вид и она истинна на наборе то для любого формула истинна. По предположению индукции истинна. Так как произвольно, то истинна. Аналогично рассматривается случай, когда имеет вид Итак, мы доказали, что истинность или ложность формулы в не изменяется при сдвиге Если бы предикат был выразим, то его истинность совпадала бы с истинностью предиката а это не так. Значит, предикат нельзя выразить формулой в

Приведённый выше метод доказательства невыразимости предиката называется методом автоморфизмов. Автоморфизмом модели называется взаимно однозначное отображение сохраняющее значения истинности всех формул. В предыдущем примере автоморфизмом было отображение

Элиминация кванторов

Две формулы УИП мы будем называть эквивалентными, если они имеют один и тот же набор свободных переменных и значения истинности этих формул будут одинаковы, какие бы значения из множества мы ни придали свободным переменным.

Оказывается, в некоторых моделях для всякой формулы УИП, содержащей кванторы, существует эквивалентная ей формула без кванторов. В этом случае мы будем говорить, что модель допускает элиминацию кванторов.

Теорема.. Модель где = – отношение равенства, – унарная операция и 0 – нульарная операция, допускает элиминацию кванторов.

Напомним, что теория называется разрешимой, если существует алгоритм, который для каждой замкнутой формулы определяет, истинна она или ложна. Выведем из только что доказанной теоремы разрешимость теории целых чисел с отношением равенства =, функцией следования и выделенным нулевым элементом 0, т.е. что истинность или ложность формул модели может быть установлена алгоритмически. Действительно, как видно из доказательства теоремы, процесс избавления от кванторов, т.е. построение формулы по формуле алгоритмизуем. Далее, выяснение, является атомарная формула истинной или ложной, также является механической процедурой. И, наконец, зная значения истинности атомарных формул, установить, истинна или ложна формула, составленная из них с помощью логических связок – также является автоматическим процессом, заключающимся в применении таблиц истинности логических связок. Итак, с помощью машины Тьюринга или реальной ЭВМ можно определить, истинна или ложна формула модели

Примеры решения задач

Пусть – плоскость, = – предикат равенства (понимаемый как совпадение точек), “x и у находятся на расстоянии 1 друг от друга”. Выразить в модели следующие предикаты: “x и у находятся на расстоянии друг от друга”, “расстояние между и равно 2”.

Решение. Понятно, что расстояние между и будет в том и только том случае, если найдётся точка на расстоянии 1 от каждой из них, и расстояние будет равно 2, если эта точка единственная. Поэтому

Выразить в модели предикат

Решение. Понятно, что в том и только в том случае, если и между и целых чисел нет. Поэтому

Выразить в модели предикат равенства.

Решение.

Пусть – расширенное множество натуральных чисел, сложение и умножение понимаются в обычном смысле. Выразить в модели следующие предикаты: делится на “остаток от деления на равен – степень числа 2”.

Решение. Понятно, что в том и только в том случае, если представимо в виде при некотором Следовательно, Предикат можно записать многими способами, например: Далее, делится на если и только если представим в виде т.е. Предпоследний предикат (обозначим его говорит о том, что при некотором причём В свою очередь, означает, что и при некотором Таким образом,

Наконец, степень двойки характеризуется тем, что все её делители, кроме 1, – целые числа. Значит,

– степень 2”

Доказать, что в модели предикат невыразим.

Доказательство. Рассмотрим автоморфизм данной модели. Так как предикаты = и < инвариантны относительно этого автоморфизма, а предикат не инвариантен (он превращается в предикат при применении автоморфизма), то предикат невыразим.

Допускает ли модель элиминацию кванторов?

Решение. Ответ будет отрицательным, если мы докажем, что предикат выразим с помощью формулы с кванторами, но невыразим с помощью бескванторной формулы. Действительно, формулу с кванторами написать несложно:

Далее, бескванторная формула, если бы она для этого предиката существовала, получалась бы из атомарных формул с помощью логических связок. Но ситуация неотличима от ситуации так как в обеих ситуациях значения истинности атомарных формул одни и те же. Значит, в том и только в том случае, когда но это неверно. Значит, предикат невыразим с помощью бескванторной формулы, и модель не допускает элиминацию кванторов.