Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Логика / lect3_m1_vm1_vt_lta_230100.62_niy06

.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
18.02.2017
Размер:
342.02 Кб
Скачать

Лекция 3. Интуиционистская логика

Обнаружившиеся в математике к началу ХХ века противоречия (см. раздел 2.4: антиномии теории множеств) вызвали естественное желание разобраться в причинах этих противоречий и устранить их. Голландский математик Брауэр решил, что причина проблемы в слишком абстрактном подходе к математике и отходе логических связок от их интуитивного понимания. В частности, он считал, что утверждать, что формула истинна, можно только предъявив ее доказательство; причем доказательства неатомарных формул строятся из доказательств подформул следующим образом:

Чтобы доказать необходимо доказать и

Чтобы доказать необходимо либо доказать либо доказать

Чтобы доказать необходимо найти способ превратить любое доказательство в доказательство

Доказательства не существует.

понимается как то есть, чтобы доказать необходимо доказать, что у формулы нет доказательства.

Введем обозначение для множества доказательств Тогда вышесказанное можем перефразировать так:

(множество конструктивных функций, то есть функций, заданных некоторым алгоритмом, из в

Теперь мы можем писать вместо « -- доказательство ».

Примеры. Теперь мы можем рассмотреть несколько формул с интуиционистской точки зрения:

  1. Пусть Тогда Определим следующую функцию В частности, Тогда легко видеть, что то есть – доказательство искомой формулы.

  2. Пусть По определению это функция, преобразующая любое доказательство формулы в доказательство формулы То есть, Нам нужно построить доказательство формулы то есть функцию из в Но такую функцию можно определить как Поэтому формула доказуема.

  3. А вот этого доказать нельзя. Чтобы доказать нужно доказать одну из формул или Таким образом, чтобы убедить интуициониста в доказуемости нужно найти единый способ, позволяющий за конечное время решить любую математическую задачу! Очевидно, такого способа не существует.

Для формализации интуиционистского исчисления высказываний воспользуемся натуральной дедукцией. Из рассуждений, подобных вышеприведённым, мы можем убедиться, что почти все правила НД корректны с интуиционистской точки зрения. Например, рассмотрим правило Если у нас есть доказательство посылки и доказательство посылки то является доказательством заключения

Единственное правило НД, недопустимое с точки зрения интуиционизма, это В самом деле, посылку следует понимать так: «нельзя доказать, что нельзя доказать». Но это никак не позволяет нам найти доказательство формулы

Многие теоремы классической логики верны и в интуиционистской логике. Кроме уже вышеприведённых это, например:

Выводы для них всех без применения легко построить.

Примеры теорем классической логики, невыводимых в ИИВ:

Разумеется, при подстановке вместо переменных неатомарных формул может получиться выводимый результат, например,

Итак, в интуиционистской логике двойное отрицание неэквивалентно отсутствию отрицания. Однако тройное отрицание эквивалентно однократному. Действительно, будет частным случаем а – частным случаем Так как уже доказано, то по modus ponens получим: а отсюда

Докажем теперь невыводимость секвенции (закона исключённого третьего) в интуиционистской логике формально. Рассмотрим трёхзначное множество значений истинности в котором 0 интерпретируется как ложь, 1 – как истина, – как неопределённость. Определим логические операции на следующим образом:

Понятия оценки и интерпретации на вводятся по аналогии с Назовем секвенцию истинной при оценке если и тождественно истинной в трёхзначной логике, если она истинна при всех оценках. Можно проверить, что все правила НД, кроме корректны на (то есть из тождественно истинных в посылок получаются тождественно истинные заключения). Кроме того, аксиомы тождественно истинны. Значит, все выводимые в ИИВ формулы тождественно истинны в Однако, формула тождественно истинной не является, так как при Значит, формула невыводима в ИИВ.

Замечание. Существуют тождественно истинные в трёхзначной логике, но невыводимые в ИИВ формулы. Например, Более того, никакой конечный набор значений истинности не полон для ИИВ.

Задачи для самостоятельного решения

  1. Доказать выводимость в ИИВ формулы

  2. Доказать невыводимость в ИИВ формул:

3