Логика / lect2_m1_vm1_vt_lta_230100.62_niy06

Лекция 2.

Натуральная дедукция. Непротиворечивость ИВ. Теорема о полноте классического ИВ.

Натуральная дедукция

Выше мы рассматривали логику с семантической точки зрения, опираясь на понятие истины. Мы могли бы ограничиться этой точкой зрения и составлять таблицы истинности для всех формул, но у этого подхода есть три недостатка:

1. Он быстро становится непреодолимо трудоемким, даже для компьютера. Сколько времени нужно на заполнение таблицы истинности для формулы с 8-и переменными? А с 15-ю?

2. Очень часто нам интересны рассуждения не в исчислении высказываний, а, например, в исчислении предикатов (см. главу 3) или интуиционистской логике. Понятие таблицы истинности на них не обобщается.

3. Он не соответствует традиционному понятию о логике. Вспомните доказательства теорем, с которыми вы знакомы из пройденных курсов. Они начинаются с некоторых аксиом, к ним применяются правила вывода и достигается заключение (или теорема). При этом могут использоваться вспомогательные гипотезы. Чего там нет – это таблиц истинности. Это связано с предыдущим пунктом, поскольку интересные теоремы обычно нельзя даже формализовать в исчислении высказываний.

Мы рассмотрим вариант исчисления, разработанный Генценом, который называется натуральной дедукцией (сокращенно НД). Его идея – в том, что каждое правило должно описывать наше интуитивное понимание той или иной связки. Например, если из гипотез следует а из гипотез следует (для некоторых и то мы можем заключить, что следует из объединения множеств гипотез. Это правило записывается следующим образом:

и являются посылками правила, – его заключением. – обозначение правила исключения импликации.

Вообще, для каждой связки есть правила введения (introduction, и исключения (elimination, Вот их список:

Исчисление НД

Правила введения	Правила исключения

Правила введения удобно читать снизу вверх. Чтобы доказать нужно доказать и Чтобы доказать необходимо предположить в качестве дополнительной гипотезы и вывести из него Заметим, что полученный вывод не имеет в качестве гипотезы!

Правила исключения можно читать сверху вниз. Из можно заключить, что верно (или Правило известно под названием modus ponens. Правило – это правило разбора случаев.

Аксиомами исчисления НД являются секвенции вида

Выводом секвенции в исчислении НД называется дерево, каждая вершина которого помечена псевдосеквенцией, причем

1. Корень дерева –

2. Все вершины, кроме листьев, являются заключением правила вывода НД, посылками которого служат формулы, лежащие сверху.

3. Все листья дерева содержат аксиомы НД.

Выводом формулы в исчислении НД называется вывод секвенции . Формулы и секвенции, для которых существует вывод, называются выводимыми. Если секвенция выводима, это обозначается

Лемма 1 (примеры). Следующие секвенции выводимы в исчислении НД для всех формул

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Доказательства.

1. Построение этого вывода разберем подробно. Мы хотим доказать секвенцию

Разумно предположить, что последнее правило – Тогда вывод должен выглядеть так:

Формула вида доказывается с помощью введения отрицания:

Остается доказать из гипотез и Но это просто правило В результате получается вывод

Сравните со следующим неформальным рассуждением: «Предположим, что верно Тогда, если верно то имеет место противоречие. Поэтому верно Мы доказали, что из гипотезы следует а это значит, что верно »

2. 

3. 

4. 

5. Снова разберем построение вывода. Нам необходимо построить вывод вида

Заключение строится двукратным введением импликации

Но вполне очевидно, как можно получить из гипотез

6. 

Допустимые правила

Чтобы облегчить и ускорить поиск доказательств, сформулируем ещё несколько правил, каждое из которых является комбинацией правил вывода НД. Будем называть такие правила допустимыми.

Правила и были доказаны в Лемме 1. Покажем правило и оставим остальные читателю в качестве упражнения.

Опять же, этот список ни в коем случае не нужно считать исчерпывающим!

Задачи для самостоятельного решения.

1. Доказать в исчислении НД:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

   7. 

Корректность и полнота исчисления НД

Пора установить связь между нашими семантическим и синтаксическим подходами. У нас есть два понятия следования: отношения и Оказывается, что они совпадают.

Лемма 1 (о корректности НД). То есть, всякая секвенция, доказуемая в НД, тождественно истинна.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по построению вывода в НД.

1. Если вывод состоит только из аксиомы то очевидно, что

2. Нужно показать, что применение правил вывода НД к тождественно истинным секвенциям дает тождественно истинную секвенцию. В качестве примера докажем это для правил и а для остальных оставим читателю в качестве упражнения.

Правило :

Для любой оценки имеем

Если или то и

Если же то а значит, и

Правило

Положим Тогда и для любой оценки

Если то Если же то а значит, или В первом случае и получается и

Множество формул называется противоречивым, если

Лемма 2. Следующие утверждения эквивалентны:

1. противоречиво;

2. существует формула такая, что и

3. для всех формул

Доказательство. Применить правило вывода Очевидно. Применить правило вывода

Лемма 3. Если выполнимо, то непротиворечиво.

Доказательство. Предположим, что противоречиво. По лемме 1 Но поскольку выполнимо, то существует оценка для которой Тогда что невозможно.

Лемма 4. Если противоречиво, то

Доказательство. Достаточно применить правило к выводу

Лемма 5. Любое непротиворечивое является подмножеством некоторого максимального по включению непротиворечивого множества формул

Доказательство. Пусть – все формулы ИВ. Зададим множества индуктивно:

1. 

2. 

Легко убедиться по индукции в том, что множества непротиворечивы для всех Положим теперь Если противоречиво, то по лемме 2 существует вывод Он использует конечное количество гипотез Каждое принадлежит некоторому Пусть Тогда все принадлежат и то есть противоречиво. А это невозможно.

Пусть теперь – непротиворечивое множество формул и Тогда для некоторого и, следовательно, непротиворечиво. Но тогда и Таким образом,

У максимальных непротиворечивых множеств есть полезные свойства замкнутости:

Лемма 6. Пусть – максимальное непротиворечивое множество. Тогда:

1. Если то

2. 

3. Для всех либо либо

4. тогда и только тогда, когда или

5. тогда и только тогда, когда и

6. тогда и только тогда, когда или

Доказательство.

1. Если то противоречиво. По лемме 4 и значит, противоречиво. Пришли к противоречию.

2. Очевидно.

3. Аналогично пункту 1 (детали оставлены читателю).

4. Слева направо: предположим, что и Тогда и по пункту 1 Справа налево: если то по лемме 1.5.1(2) и Если то Поскольку (задача для самостоятельного решения 1.5.3, упражнение 1(1)),

Пункты 5 и 6 оставлены на рассмотрение читателю.

Лемма 7. Если непротиворечиво, то выполнимо.

Доказательство. По лемме 5 существует максимальное непротиворечивое Рассмотрим следующую оценку С помощью предыдущей леммы индукцией по построению формулы легко показать, что Отсюда для всех

Следствие. Если то

Доказательство. По лемме 4 непротиворечиво. По лемме 7 существует оценка такая, что и Но тогда и

Это следствие и лемма о корректности в сумме дают теорему о полноте:

Теорема 8 (о полноте НД). тогда и только тогда, когда

Теорема 9 (о компактности ИВ). Если то существует конечное подмножество такое, что

Доказательство. По теореме о полноте, существует вывод из в исчислении НД. Этот вывод использует конечное множество гипотез, которое и будет