Логика / lect14_m2_vm1_vt_lta_230100.62_niy06

Лекция 14. Разрешимые и перечислимые множества.

Вычислимые и перечислимые функции и множества

В предыдущем разделе были определены понятия рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга и были изложены соображения в пользу того, что эти классы совпадают. Будем называть такие функции вычислимыми. Рассмотрим более внимательно эти функции и множества натуральных чисел, связанные с ними. Изложение результатов будем вести неформально, чтобы облегчить читателю восприятие материала. Аргументы вычислимой функция – натуральные числа, значение функции – также натуральное число.

Существование невычислимых функций уже отмечалось ранее: оно следует из соображений мощностей: вычислимых функций, так же, как и машин Тьюринга, счётное число, а всех функций на множестве натуральных чисел штук. Интересный пример невычислимой функции придуман в 1962 г. Т.Радо.

Пример. Предположим, что среди некоторых машин Тьюринга проводится “соревнование по трудолюбию”. Участником соревнования является машина Тьюринга с состояниями (причём последнее состояние используется только для остановки), которая, будучи запущена на пустой ленте, останавливается за конечное число шагов. Результат соревнования – количество единиц на ленте после остановки машины. Обозначим это число через Докажем, что – невычислимая функция.

Пусть – произвольная вычислимая функция. Введём функцию Так как функция вычислима, то также вычислима. Пусть – машина Тьюринга, которая вычисляет функцию и – количество состояний машины Пусть – машина Тьюринга, которая пишет единиц на пустой ленте (для этого нужно состояния), а затем работает как Тогда – участник соревнования с состояниями, поэтому Отсюда следует, что и Значит, при мы имеем и Итак, при больших (чётных и нечётных) имеет место неравенство Значит, функция растёт быстрее любой всюду определённой вычислимой функции, поэтому не является вычислимой.

Функция растёт очень быстро. Известно, что (см. Г.Б.Эндертон, Элементы теории рекурсии, в сб. Справочная книга по математической логике, т. 3).

Разрешимые и перечислимые множества

Множество натуральных чисел называется разрешимым, если существует алгоритм, который по каждому натуральному числу определяет, принадлежит множеству или не принадлежит. Другими словами, множество разрешимо в том и только том случае, если его характеристическая функция

вычислима.

Понятно, что если множества и разрешимы, то множества также разрешимы. Любое конечное множество является разрешимым. Неразрешимые множества также существуют, так как разрешимые подмножества образуют счётное множество, а все подмножества множества натуральных чисел образуют множество мощности континуума.

Множество называется перечислимым, если его полухарактеристическая функция

является вычислимой.

Теорема 1. Пусть – подмножество множества натуральных чисел. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) множество перечислимо;

(2) есть область определения некоторой вычислимой функции;

(3) есть множество значений некоторой вычислимой функции.

Теорема 2. Если и – перечислимые множества, то множества и также перечислимы.

Доказательство. Сначала рассмотрим пересечение По условию существуют машины Тьюринга и вычисляющие функции и соответственно. Обозначим через новую машину Тьюринга, которая для каждого натурального числа сначала запоминает это затем работает как и вычисляет а после окончания работы (в случае окончания работы) работает как и вычисляет Эта машина останавливается тогда и только тогда, когда поэтому она вычисляет функцию

Докажем теперь утверждение теоремы для объединения Ввиду теоремы 1 мы можем считать, что и – множества значений вычислимых функций и соответственно. Положим

Тогда – вычислимая функция, множество значений которой равно По теореме 1 множество перечислимо.

Теорема 3. Всякое разрешимое множество натуральных чисел перечислимо. Если множество и его дополнение N перечислимы, то разрешимо.

Пусть и N перечислимы, а и – машины Тьюринга, вычисляющие соответственно функции и Построим новую машину Тьюринга Она, имея на входе число делает вначале 1 шаг работы машины затем 1 шаг работы затем 2 шага (начиная с первого), затем 2 шага и т.д. По завершению работы одной из машин дальнейшие действия таковы: если завершила работу раньше, то заменяем выходное значение 0 на 1 и производим остановку машины, а если ранее завершится программа то производится просто остановка машины. Легко видеть, что на выходе будет 1 при и 0 при N Остановка произойдёт обязательно, так как по условию обе функции и вычислимы.

Замечание. На основании теоремы 3 можно сделать вывод: разрешимые множества – это в точности перечислимые множества, имеющие перечислимые дополнения.

Универсальные функции

Функция двух натуральных аргументов называется универсальной для класса всех вычислимых функций одного аргумента, если для каждого функция вычислима и любая вычислимая функция одного переменного совпадает с одной из функций

Теорема 4. Существует вычислимая функция двух аргументов, являющаяся универсальной функцией для класса всех вычислимых функций одного аргумента.

Теорема 5. Не существует вычислимой всюду определённой функции двух аргументов, универсальной для класса всех вычислимых всюду определённых функций одного аргумента.

3