Дискретка / БДЗ / МП-21_БДЗ_1

1МП-21 Бакаринов Алексей

1На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 32 учеников класса читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 16 учеников, книгу В – 15, книгу С – 12. Хотя бы одну из книг А или В читали 24 ученика, А или С – 23, В или С – 22. Все три книги прочли 2 ученика. Хотя бы одну книгу прочел каждый ученик. Поразмыслив, учитель понял, что не все школьники сказали правду. Как учитель понял, что сообщенные ему сведения неверны?

бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а В некотором государстве автомобильные номера состоят из шести различных букв. Сколько таких номеров можно получить, если для образования номеров разрешено использовать 30 букв?

3б Сколькими существует различных треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 5,6,7,8,9?

3в У садовника имеется 10 луковиц красных и 7 луковиц желтых тюльпанов. Сколькими способами он может посадить их в один ряд вдоль дорожки, ведущей от дома к сараю?

3г Аудитория освещается тремя рядами ламп, по 6 одинаковых ламп в ряду. В каждом ряду перегорело ровно по одной лампе. Сколько вариантов освещения при этом могло возникнуть?

4Сколькими способами трое ребят могут разделить между собой 7 конфет «Мишка на севере», 5 конфет «Маска», 11 конфет «Красная шапочка» (никаких ограничений на способ раздела нет)?

5Имеется 12 карточек, на которых записаны цифры от 1 до 9, причем цифра 4 записана на двух карточках, а цифра 5 на трех. Сколько из этих карточек можно составить двенадцатизначных чисел, в десятичной записи которых «четные» цифры идут в порядке неубывания?

6Перед началом экзаменационной сессии между четырьмя преподавателями кафедры происходило распределение нагрузки: 5-и экзаменов по математическому анализу, 4-х экзаменов по алгебре и 6-х экзаменов по дискретной математике. Каждый преподаватель мог принимать любой из этих экзаменов, но обязан был принимать хотя бы один. Сколькими способами преподаватели могут распределить между собой нагрузку, если экзамены по одному предмету для них одинаковы? (Пример распределения нагрузки: Иванов принимает 2 экзамена по математическому анализу, 1 по алгебре и 1 по дискретной математике, Петров – 2 экзамена по математическому анализу, 3 по алгебре и 2 по дискретной математике, Сидоров – 1 экзамен по математическому анализу, Кузнецов – 3 экзамена по дискретной математике.)

2МП-21 Баранов Сергей

1Староста подал в деканат следующие сведения о студентах группы: «Во вторую сессию по математическому анализу получили «тройки» 13 человек, по информатике – 12, по физике – 13. Только по одному предмету имеют «тройки»: по математическому анализу 5 человек, по информатике – 4, по физике – 8. Шесть человек имеют «тройки» и по математическому анализу и по информатике, из них трое также имеют «тройки» по физике. Проанализировав данные, декан попросил старосту переделать отчет, поскольку поданные им сведения оказались противоречивыми. В чем состоит противоречивость данных?

рангу матрицы Aj ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным,

антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Каждый день с понедельника по пятницу на полдник Елена в оздоровительных целях съедает один фрукт (яблоко, грушу, грейпфрут или хурму). Фрукты на всю рабочую неделю она закупает в магазине в воскресенье вечером. Сколько различных вариантов покупки фруктов на одну рабочую неделю она может делать?

3б Сколько различных экзаменационных комиссий из пяти человек можно составить, если на кафедре работают двадцать два преподавателя?

3в Сколькими способами из 11 учебных предметов можно составить расписание из четырех различных пар?

3г В цветочном магазине продаются розы 5 цветов. Сколькими способами студенты-юноши могут подарить девяти одногруппницам по одной розе, закупив цветы в этом магазине, если важно какой девушке какого цвета роза достанется?

4Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 подгруппы, причем в первую подгруппу должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать?

5Сколькими способами можно переставить буквы в слове «социология» так, чтобы никакие две согласные буквы не стояли рядом?

6Сколько существует слов длины 15 из букв «а», «б», «в», «г», в которых нет соседних букв «а»?

1

3МП-21 Башкардин Андрей

1В книжном магазине при выдаче клубной карты покупателям предлагают заполнить анкету. В анкете, в частности, покупателя просят указать, книги по каким темам его интересуют. Были проанализированы 80 анкет, в которых покупатели высказали интерес к хотя бы одной из следующих тем: экономика, психология, маркетинг. Оказалось, что 32 человека интересуются экономикой, 38 – психологией, 29 – маркетингом. Экономикой или психологией интересуются 52 человека, психологией или маркетингом – 56, экономикой или маркетингом – 52. Скольких покупателей интересуют все три темы?

лексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Из 10 человек, занимающихся в секции, тренер должен отобрать четырех человек, для участия в соревновании. Сколькими способами он может это сделать?

3б Сколькими способами можно разместить 15 одинаковых бильярдных шаров в 6 лузах?

3в Сколькими способами шесть туристов могут разместиться в восемнадцати местном автобусе, если других пассажиров в автобусе нет?

3г Четверо ребят собрали с яблони 37 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считать различными?

4Сколько различных девятизначных чисел можно написать, пользуясь лишь цифрами 2, 3, 4, 5, если цифра 2 используется в каждом числе ровно три раза?

5Сколькими способами можно переставить буквы слова «переехали» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?

6У Вани есть восемь карточек, на которых записаны цифры от 1 до 8. Сколькими способами он может, используя эти карточки (не обязательно все) выложить друг под другом три числа?

4МП-21 Букин Юрий

1Староста одной группы дал следующие сведения о студентах группы: «В группе учатся 25 студентов, в том числе 18 юношей. Получают стипендию 14 студентов, в том числе 7 юношей. Спортом занимаются 14 студентов, среди которых 8 юношей и 7 студентов, получающих стипендию. Получают стипендию и в то же время занимаются спортом 3 юношей». Через несколько дней старосту вызвали в деканат и сказали, что в сведениях есть ошибка. Как была обнаружена ошибка?

является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Сколько можно построить различных конусов, у которых высота и радиус основания могут быть равны любому натуральному числу от 4 до 14 включительно?

3б На танцы пришла компания из 6 девушек и 11 юношей. Сколько имеется вариантов составить шесть пар для участия в танце, в котором танцуют все девушки?

3в Андрею на лето задали прочитать драму А.С. Пушкина «Борис Годунов». Когда до начала учебного года осталось меньше двух недель, Андрей решил составить график чтения на 10 дней (с 22 по 31 августа), указав в нем на каждый день количество запланированных для чтения страниц. Сколькими способами он может составить график, если драма напечатана на 68 страницах?

3г На международную конференцию приехали 12 делегатов, не понимающих языков друг друга. Какое минимальное число переводчиков потребуется для обслуживания конференции при условии, что каждый переводчик знает только два языка из нужных?

4В комнате студенческого общежития живут три студентки. У них есть 5 чашек, 6 блюдец и 4 ложки. Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает чашку, блюдце и ложку)?

5Сколькими способами можно расположить в ряд восемь белых и пять черных шаров так, чтобы никакие два черных шара не лежали рядом (все шары различаются по размеру)?

6Имеется 10 различных ящиков и 6 неразличимых белых шаров и 6 неразличимых черных шаров. Сколькими способами можно разложить все шары по ящикам так, чтобы в каждом оказался хотя бы один шар?

2

5МП-21 Зайцева Наталья

1Среди 200 прохожих провели опрос. Был задан вопрос: какое домашнее животное у Вас есть?». По результатам опроса выяснилось, что у 49 человек есть собака, у 65 – кошка, у 32 – птички, у 10 - рыбки. У 9 опрошенных есть собака и кошка, у 12 – кошка и птичка, у 9 – собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного, а те, у кого есть рыбки, не имеют других домашних животных. У скольких человек есть животные ровно двух видов?

ным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а У Маши и Андрея родились трое мальчиков-близняшек. После долгих обсуждений родители составили список из 11 понравившихся им мужских имен. Сколькими способами они смогут отобрать из них три имени для своих мальчиков?

3б В цветочном магазине продаются тюльпаны пяти цветов. Сколько видов букетов из 11 тюльпанов может составить продавец этого магазина?

3в В домашнем детском саду 4 игровые комнаты. Дети могут играть в любой из них. Сколькими способами могут распределиться по игровым комнатам 9 детей, если важно, какой ребенок в какой комнате играет?

3г У людоеда в подвале томятся 24 пленника. Сколькими способами он может составить себе меню на день, выбрав одного человека на завтрак, другого на обед и третьего на ужин?

4Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 25 три числа так, чтобы их сумма была четной?

5Сколькими способами можно расставить 24 разные книги в книжном шкафу с 6 полками, если каждая полка может вместить все 24 книги?

6Сколько способами 3 человека могут разделить между собой 9 одинаковых слив, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 киви, 1 банан, 1 грушу, 1 хурму, 1 айву, 1 абрикос и 1 мандарин так, чтобы каждый получил по 6 плодов?

6МП-21 Звягин Илья

1Компания провела опрос среди своих сотрудников. Был задан вопрос об использовании общественного транспорта при проезде на работу. Оказалось, что среди 48 сотрудников компании, пользующихся общественным транспортом, в метро ездят 28 человек, в электричках – 22, в городском наземном транспорте (автобусах, троллейбусах, трамваях, маршрутных такси) – 23. Используют метро или электричку 39 человек, метро или наземный общественный транспорт – 42, электричку или наземный общественный транспорт – 38, всеми тремя видами транспорта пользуются 3 человека. Сколько сотрудников компании, использующих при проезде на работу общественный транспорт, ездит только на одном виде транспорта?

отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Трое ребят собрали с яблони 37 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считать одинаковыми (т.е. нас интересует сколько яблок получит каждый, а не какие именно)?

3б На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

3в Доценту N предстоит принять коллоквиум у 7 групп в период с первого по четырнадцатое ноября. Он готов принимать коллоквиум в любые дни недели за исключением воскресений. Сколько расписаний приема коллоквиума он может составить, если для каждой группы ему нужно выделить один день, причем для каждой группы свой?

3г Сколькими существует различных многочленов, степень которых не превышает 3, коэффициентами которых являются целые числа от 0 до 10?

4Труппа состоит из 12 певцов. Сколькими способами можно выбирать из нее в течение двух вечеров по 5 человек для участия в концертах так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?

5Сколькими способами можно переставить буквы слова «представление» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?

6В 11-м классе 19 учеников. Каждый из них помимо обязательных ЕГЭ по математике и русскому языку сдает дополнительные ЕГЭ по трем предметам, выбирая эти три предмета из единого для всех набора из девяти предметов. Сколькими способами может быть сделан выбор предметов учениками класса так, чтобы с одной стороны никакие два ученика не сдавали одинаковый набор ЕГЭ, а с другой, чтобы каждый из девяти дополнительных предметов был выбран хотя бы одним учеником?

3

7МП-21 Илюшкин Анатолий

136 студентов приняли участие в социологическом опросе. В ходе опроса им задали три вопроса: «Бывали ли Вы когда-нибудь на море?», «Бывали ли Вы когда-нибудь в горах?», «Бывали ли Вы когда-нибудь в пустыне?». В результате были получены следующие данные: на море и в горах бывали 9 студентов, в горах и в пустыне – 4, в море и в пустыне – 1. Пять человек не бывали ни на море, ни в горах, ни в пустыне. Сколько человек посещали ровно два вида природных объекта указанных видов?

матрицы Aj ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, анти-

симметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а В домашнем детском саду 3 игровые комнаты. Дети могут играть в любой из них. Сколькими способами могут распределиться по игровым комнатам 12 детей, если имеет значение число детей, играющих в каждой из комнат, и не имеет значение, какой ребенок в какой комнате играет?

3б Иван пишет тест, состоящий из 20 задач, для каждой из которых есть 4 варианта ответа. К тесту Иван не готовился и выбирает варианты ответа наугад. Сколькими способами он может заполнить лист ответов?

3в Анна Ивановна уехала на четыре недели на дачу и взяла с собой 28 конфет: 7 «Мишек на севере» и 21 «Красную шапочку». Она решила, что будет съедать по одной конфете в день. Сколькими способами она может распределить конфеты по дням?

3г Сколько различных дробей можно составить из чисел 2, 9, 7, 11, 17, 19, 23 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа?

4В чемпионате некоторой страны участвуют 8 команд. Назовем два исхода этого чемпионата «совпадающими в главном», если в этих исходах совпадают обладатели золотых, серебряных и бронзовых медалей, а также две команды, покидающие премьер-лигу (т.е. занявшие два последних места). Найдите число «различных в главном» исходов.

5Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелограмм» так, чтобы никакие две гласные буквы не стояли рядом?

6Сколько существует шестнадцатизначных чисел, записанных цифрами 2,3 и 4, в которых нет соседних 2?

8МП-21 Кислов Александр

1Туристическая компания по завершению экскурсионного тура провела опрос среди его участников. Целью опроса было выяснить, имеются ли у туристов претензии к транспортному обслуживанию, работе экскурсоводов и организации питания. Оказалось, что из 47 опрошенных 10 человек были всем довольны, у 7 туристов были претензии только к экскурсионному обслуживанию, у 6 – только к транспорту, у 10 – только к организации питания. Кроме того 9 человек из опрошенных высказали недовольство питанием и экскурсионным обслуживанием, 8 – экскурсионным обслуживанием и транспортом, 11 – питанием и транспортом. Сколько туристов были недовольны всем?

4Из 72 различных белых грибов хотят сделать 6 связок по 12 грибов в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

5У учительницы русского языка на столе лежат 4 одинаковых сборника диктантов для 6-го класса, 5 одинаковых сборников для 7- го класса, 9 одинаковых сборников для 8-го класса и 3 одинаковых сборника для 9-го класса. Сколькими способами учительница может расставить эти книги на трех полках книжного шкафа, если допускается, что некоторые из полок останутся пустыми? (На каждую полку можно поставить до 25 книг.)

6Сколько существует телефонных номеров, не содержащих комбинацию 12, если номер состоит из пяти цифр?

4

9МП-21 Круглов Константин

1В студенческой группе учатся 26 человек. В первую сессию студенты сдавали три экзамена: по физике, математическому анализу и алгебре. Физику сдали на «хорошо» 10 человек, математический анализ – 11. Только алгебру сдали на «хорошо» 3 человека. Три студента имеют «хорошо» по двум предметам - по физике и по математическому анализу, двое имеют «хорошо» по всем трем предметам. Сколько человек не получили в сессию ни одной оценки «хорошо»?

отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Оле одноклассники на день рождения подарили набор шоколадок, в котором оказалось 6 плиточек молочного шоколада, 8 плиточек горького шоколада и 6 плиточек шоколада с карамельной начинкой. Дома Ира решила угостить брата и предложила ему выбрать пять любых шоколадок. Сколькими способами брат мог взять угощение?

3б Ире на новогодней елке подарили подарок, в котором оказалось 12 шоколадных конфет, каждая из которых имела свою начинку. Придя домой, Ира решила угостить конфетами домашних (маму, папу, брата и сестру), и каждому дала по конфете. Сколько способами она могла это сделать?

3в Сколькими способами из двадцати пяти деталей можно выбрать партию из пяти штук для контроля качества?

3г Четыре курьера должны разнести 8 разных товаров по 8 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

4Имеется 20 абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить пять пар абонентов?

5Сколькими способами можно переставить буквы слова «одноклеточное» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

6Сколькими способами могут распределиться 14 студентов по трем дисциплинам по выбору, если требуется, чтобы каждую дисциплину изучало не менее трех студентов?

10МП-21 Крылов Александр

1В одном из районов города для пенсионеров были организованы компьютерные курсы: А – «Поиск в интернете», В – «Переписка по электронной почте», С – «Покупки в интернете». Руководство района внесло в отчет следующие сведения: «Из 355 пенсионеров города 219 человек курсами не заинтересовались. Курсы А посетили 75 человек, курсы В – 78, курсы С – 79, два вида курсов посетили 66 пенсионеров, три вида – 11». Проанализировав данные, в руководстве города обнаружили, что поданные сведения противоречивы. В чем состоит их противоречивость?

ется ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Сколькими способами можно окрасить четыре комнаты в квартире, если имеются краски двенадцати цветов и каждая комната должна быть окрашена в свой, отличный от других комнат, цвет?

3б Сколькими способами можно разделить девять различных пирожных между Ваней, Петей, Олегом, Олей и Аней (распределение пирожных может быть совсем несправедливым – кому-то может не достаться ни одного пирожного)?

3в В понедельник Ольга Ивановна принесла на работу 20 конфет «Маска». Сколькими способами она может распределить их по 5 дням недели?

3г В магазине продаются поздравительные открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 7 открыток различного вида?

4Сколькими способами можно составить из 8 согласных и 10 гласных шестибуквенное слово, в которое входят 4 различных согласных и 2 различных гласных?

5Сколькими способами можно расположить в ряд семь одинаковых синих и десять различных красных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?

6Сколько способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых слив, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 киви, 1 банан, 1 грушу и 1 хурму так, чтобы каждый получил по четыре плода?

5

11МП-21 Куцев Александр

1Ста прохожим был задан вопрос: читали ли Вы в этом году научную или научно-популярную литературу по информатике, экономике, естественным наукам и философии?». По результатам опроса выяснилось, что 16 человек читали книги по информатике, 15 – по экономике, 16 – по естественным наукам, 4 – по философии. 7 опрошенных читали книги по информатике и экономике, 6

– по экономике и естественным наукам, 10 – по информатике и естественным наукам. 68 человек вообще не читали книг по этим отраслям знаний, а те, кто читал книги по философии, не читали других научных книг. Сколько человек из опрошенных читали литературу ровно по двум упомянутым отраслям?

нарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Сколькими способами можно разместить 12 перенумерованных бильярдных шаров в 6 перенумерованных лузах?

3б На семинаре присутствует 16 человек. Преподаватель решил вызвать троих студентов одновременно к доске. Сколькими способами он может это сделать?

3в У Елены и Ивана родились три девочки-близняшки. После долгих обсуждений родители составили список из 9 понравившихся им женских имен. Сколькими способами они могут назвать своих девочек, выбрав для них имена из этого списка, если важно, какое имя какой девочке досталось?

3г Садовник собирается высадить тридцать луковиц тюльпанов красного цвета. Сколькими способами он может распределить их между четырьмя клумбами, первая из которых находится перед домом, вторая - позади дома, третья - слева и четвертая - справа от дома?

4Сколько можно составить семибуквенных слов из 6 гласных и 14 согласных букв (буквы могут повторяться), если гласные и согласные буквы должны чередоваться?

5На собрании должны выступить 12 человек: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. Сколькими способами их можно расположить в списке ораторов при условии, что Л должен выступать до А, Б, В?

6В аудитории восемь парт, за каждой из которых сидит по одному студенту. Сколькими способами преподаватель может пересадить их так, чтобы ни один студент не остался на прежней парте?

12МП-21 Михалев Максим

1Среди 90 студентов был проведен опрос. Цель опроса - выяснить, на чем приходится экономить студентам во время учебы. По результатам опроса выяснилось, что 35 человек из опрошенных экономят на еде, 39 – на одежде, 35 на развлечениях, 55 человек время от времени экономят на еде или развлечениях, 39 – на еде или одежде, 60 – на одежде или развлечениях. Двенадцати студентам приходится экономить и на еде, и на одежде, и на развлечениях. Скольким студентам не приходилось экономить ни на чем из вышеперечисленного?

лексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а У малыша есть 10 кубиков красного цвета, 8 – зеленого и 9 – синего. Сколькими способами он моет выстроить из них башню высотой в 7 кубиков?

3б У Анюты есть 7 желтых кубиков, 10 зеленых, 8 синих и 9 красных. Сколькими способами она может отобрать из них 6 кубиков для постройки домика?

3в В учебнике по математическому анализу в параграфе «Правила дифференцирования» приведено 14 номеров. Сколькими способами преподаватель может составить план урока, если он считает необходимым решить вместе с учащимися 8 номеров из этого параграфа?

3г Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы слова «страницы» так, чтобы гласные буквы шли в алфавитном порядке, и согласные буквы шли в алфавитном порядке?

4На первой из двух параллельных прямых лежит пятнадцать точек, на второй – двенадцать. Сколько существует треугольников в вершинах в этих точках?

5Отпраздновать совершеннолетие Ивана собрались 2 бабушки, 4 тетушки и 3 двоюродные сестры. Собравшиеся захотели сфотографироваться, стоя в один ряд, но так, чтобы представители одного поколения стояли рядом (на Ивана ограничение не распространяется, он может занять любое место в ряду). Сколькими способами они смогут это сделать?

6Пятеро ученых решили совместно написать учебник по математическим методам поддержки принятия решений. После длительных консультаций было решено, что учебник будет состоять из 12 глав, и в общих чертах определено содержание каждой главы. Сколькими способами авторы могут распределить между собой работу так, чтобы каждый написал хотя бы одну главу?

6

13МП-21 Павлов Владимир

1В течение недели в кинотеатре демонстрировались фильмы А, В и С. Из 50 студентов, каждый из которых посмотрел либо все три фильма, либо один из трех, фильм А видели 35, фильм В – 18, фильм С – 23. Сколько студентов посмотрели один из трех фильмов?

2На плоскости заданы пять прямых: l1 : 2x 3y 6 0 , l1 : 2x 3y 2 0 , l3 : 4x 6 y 5 0 , l4 : 8x 6 y 6 0 ,

l5 : 7 10x 15y 0 . На множестве M этих прямых определено бинарное отношение : li l j (прямая li параллельна или совпадает с прямой l j ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симмет-

ричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Из отряда в 20 человек ежедневно назначают в караул 4 человека. Сколько раз караул может быть составлен различным образом?

3б Для запирания автоматических камер хранения марки N применяются секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некое «тайное слово». Это слово набирают с помощью шести дисков, на каждом из которых нанесено десять букв. Какое максимальное число попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающим его наудачу, для открытия автоматической камеры?

3в У Васи есть 11 различных конфет, которые он хочет подарить своим друзьям в детском саду. Сколькими способами он может это сделать, если друзей у Васи шесть, и он решил дать каждому другу не более одной конфеты? (Учтите, что для Васи важно, какую именно конфету какому другу он даст).

3г Сколькими способами 14 десятирублевых монет можно разложить по шести различным пакетам, если при раскладке допустимо, что какие-то из пакетов окажутся пустыми?

4Сколькими способами можно упаковать 11 различных книг в 6 бандеролей, если пять бандеролей должны содержать по две книги?

5На собрании должны выступить 8 ораторов: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. Сколько способов составить список выступающих так, чтобы Д выступал позже З, но не сразу после него?

6Сколько способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых слив, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 киви, 1 банан, 1 грушу и 1 хурму так, чтобы каждый получил по четыре плода?

14МП-21 Павлов Роман

1В городе N 15% семей не имеют детей, 6% семей – многодетные. В 60% семей города есть ребенок-мальчик, в 70 % – ребенокдевочка, 41% семей – немногодетные семьи, в которых растут разнополые дети. Сколько процентов семей в этом городе – многодетные семьи, в которых все дети одного пола?

сивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Сколькими вариантов состояний может иметь система из восьми подсистем, если каждая подсистема может находиться в четырех возможных состояниях?

3б Сколько существует вариантов распределить девять автомобилей разных наименований между пятью выставочными площадками (число свободных мест на каждой выставочной площадке больше десяти)?

3в В книжном магазине продается 11 книг из серии «Приключенческая литература». Сколькими способами Петр Сергеевич может выбрать из них четыре книги для подарка племяннику?

3г Студенческое научное сообщество состоит из 20 членов. Надо выбрать президента общества, вице-президента, казначея и секретаря Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать только один пост?

4Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 20 три числа так, чтобы их произведение было четным?

5Сколькими способами можно переставить буквы слова «произведение» так, чтобы буква «и» шла непосредственно после буквы

«р»?

6Сколькими способами можно посадить рядом 4 русских, 4 немцев и 4 англичан так, чтобы никакие четыре соотечественника не сидели рядом?

7

15МП-21 Пятиренко Алексей

1В студенческом театре в течение года поставили три спектакля: А, В и С. Известно, что каждый студент группы за год ровно два раза был в театре, при этом спектакли А, В и С видели соответственно 15, 10 и 17 человек. Сколько студентов группы видели спектакли А и В, А и С, В и С?

отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Автобус, курсирующий между городами А и Б, делает 8 остановок (включая конечный пункт). На автовокзале города А в автобус сели 15 человек. Сколькими способами эти пассажиры могут распределиться между остановками, если учитывать лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке?

3б Общество из 6 членов выбирает открытым голосованием из своего состава одного председателя. Сколькими способами может произойти голосование, если каждый голосует за одного человека, быть может, и за себя? При подсчете имейте в виду, что при открытом голосовании важно не только число голосов, поданных за каждого кандидата, но и кто именно за кого голосовал?

3в На окружности отмечено 10 точек. Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках?

3г На двадцать студентов выделено 4 путевки. Сколькими способами их можно распределить, если все путевки различны?

4Сколькими способами можно выбрать из 8 девушек и 8 юношей группу людей для работы, если в группу могут входить от 2 до 16 человек, причем группа не может состоять только из юношей или только из девушек?

5Садовник хочет высадить вдоль дорожки от калитки до дома 6 петуний белого цвета и 8 петуний различных других окрасок в один ряд, причем сделать это так, чтобы никакие две петуньи белого цвета не оказались рядом. Сколькими способами он может посадить цветы?

6У Ивана 8 друзей. В течение недели он приглашает их к себе по 3 обедать, причем компании не повторяются. Сколькими способами он может составить расписание обедов так, чтобы никто из друзей не остался не приглашенным?

16МП-21 Рудешко Александр

1На семинаре по математике преподаватель решил узнать, кто из 28 студентов решил задачи А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: задачу А решили 18 студентов, В – 16, С – 13. Хотя бы одну из задач А или В решили 24 студента, А или С – 22, В или С – 23. Все три задачи решили 4 студента. Хотя бы одну задачу решил каждый студент. Проанализировав данные опроса, преподаватель понял, что не все студенты были с ним откровенны. Как он смог это понять?

). Найти мощность этого бинарного отношения и определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а На кафедре работают 17 преподавателей. Сколько различных экзаменационных комиссий из пяти человек можно составить из преподавателей кафедры, если в любую комиссию должен входить заведующий кафедрой?

3б На перекрестке имеется 5 светофоров? Сколько может быть различных состояний этой системы светофоров, если каждый светофор (независимо от остальных) имеет три возможных состояния (горит зеленый, горит желтый, горит красный)?

3в Сколько различных дробей можно составить из чисел 2, 9, 7, 11, 17, 19, 23 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа?

3г Сколько можно построить различных прямоугольников, у которых стороны могут быть равны любому натуральному числу от 2 до 15 включительно?

4Сколькими способами можно разделить 15 различных книг между Иваном, Петром и Василием, если они договорились, что Иван возьмет 7 книг, а Петр и Иван возьмут по 4 книги?

5Сколькими способами можно переставить буквы в слове «комбинация» так, чтобы второе, шестое и восьмое места были заняты согласными буквами?

6Сколько способами три девочки могут разделить между собой 8 конфет «Мишка на севере», 3 конфеты «Красная шапочка», 5 конфет «Маска» так, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету?

8

17МП-21 Румянцев Артем

1На ужине в ресторане теплохода присутствовал 41 турист. Каждый турист на десерт заказал вазочку с тремя шариками мороженого. По желанию туриста в вазочку могли положить мороженое одного, двух или трех видов (ванильное, фисташковое, клубничное). Известно, что на десерт 20 человек заказали хотя бы один шарик ванильного мороженого, 23 – фисташкового. Девять человек заказали ванильное и фисташковое мороженое, причем шестеро из них заказали также шарик клубничного мороженого. Часть туристов заказали все три шарика одного вида: в частности 6 человек – ванильного, 10 – фисташкового. Сколько туристов заказали хотя бы один шарик клубничного мороженого?

нарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а У людоеда в повале томятся 20 пленников. Сколькими способами он может выбрать 4-х человек, чтобы отпустить их на свободу?

3б Сколькими способами могут выпасть четыре различные игральные кости?

3в Тайным голосованием двадцать четыре студента группы голосуют по 6 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

3г Имеется 8 видов овощей. Решено приготовить салат из трех видов овощей. Сколькими способами это можно сделать?

4Имеется 5 первокурсников, 4 второкурсника и 6 третьекурсников. Сколькими способами можно выбрать несколько студентов так, чтобы среди выбранных ок азались и первокурсники, и второкурсники, и третьекурсники?

5Для проведения самостоятельной работы преподаватель приготовил 12 задач на тему «Бинарные отношения» и 8 задач на тему «Комбинаторика». В аудитории стоят десять парт, за каждой из которых сидят два студента. Сколькими способами преподаватель может раздать всем студентам по одной заготовленной задаче, если никаким двум студентам, сидящим за одной партой, не должны одновременно достаться задачи по комбинаторике?

6У учительницы математики на столе лежат 8 одинаковых сборников самостоятельных работ по геометрии, 5 одинаковых сборников самостоятельных работ по алгебре, 7 одинаковых сборников самостоятельных работ по началам анализа. Сколькими способами учительница может расставить эти книги на трех полках книжного шкафа так, чтобы на каждой полке стояла хотя бы одна книга, если на каждую полку можно поставить до 25 книг?

18МП-21 Рыжков Антон

1В вузе N студенты в первую сессию сдавали три экзамена. По окончании сессии староста подал в деканат следующие сведения о студентах группы: «В группе учится 28 человек. Каждый студент группы получил пятерку хотя бы по одному предмету. По математике получили пятерки 12 человек, по информатике – 13, по физике – 15, по физике и математике – 6, по двум предметам – 9, по всем трем предметам – 2». Проанализировав данные, декан нашел, что они противоречивы и попросил старосту переделать отчет. В чем состоит противоречивость данных?

2В пространстве на прямой x 1 2t , y 2 4t , z 3 2t , t ( ; ) , заданы точки M1 , M 2 , …, M5 , соответст-

шения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Сколькими способами из двадцати пяти студентов группы можно выбрать шесть человек для проведения выборочного тестирования?

3б Мама, папа и их дочка Зина вечером любят смотреть телевизор. Желания их совпадают редко, поэтому мама смотрит телевизор на кухне, папа - в кабинете, а Зина - в гостиной. Телевизоры принимают 22 канала. Как-то вечером по телефону их попросили принять участие в опросе. Были заданы два вопроса: сколько телевизоров на момент звонка включено в доме, и на каких каналах работают включенные телевизоры (при этом кто из домашних что смотрит, было не важно, т.е. ответ мог быть, например, таким: в доме 3 телевизора, один не включен, два показывают канал «Культура»). Сколько вариантов ответа мог услышать звонивший?

3в Надо срочно доставить 7 пакетов по разным адресатам. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров, и каждое письмо можно дать любому из курьеров? (Порядок, в котором курьер будет доставлять данные ему письма, не важен).

3г Имеется 9 пар носков различных цветов. Сколькими способами можно выбрать один носок на левую ногу и один – на правую ногу так, чтобы эти носки были различных цветов?

4В скольких восьмизначных числовых паролях есть четыре нечетные и четыре четные цифры?

5Воспитательница привела 7 девочек и 5 мальчиков смотреть кукольное представление. Ей нужно рассадить их с 1-е по 12-е место первого ряда. Она хочет сделать это так, чтобы никакие два мальчика не сидели рядом. Сколькими способами она может рассадить детей?

6На первом этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт зашло 9 пассажиров. Известно, что при движении наверх лифт останавливался трижды, и ни на одном этаже не вышло более четырех пассажиров. Сколькими способами пассажиры могли распределиться между этажами, если важно не только число пассажиров, вышедших на том или ином этаже, но и кто на каком этаже вышел?

9

19МП-21 Сулейманова Диана

1За время обучения для получения зачета по физкультуре каждый студент в течение третьего семестра должен посещать занятия хотя бы по одному игровому виду спорта: волейболу, баскетболу, настольному теннису. Известно, что в одной из студенческих групп занятия по волейболу и баскетболу посещало 5 человек, по волейболу и настольному теннису – 3, по баскетболу и настольному теннису – 4. Занятия по волейболу или баскетболу посещало 19 человек, по волейболу или настольному теннису – 21, по баскетболу или настольному теннису – 20. Во все три секции одновременно ходили 2 человека. Сколько всего студентов в группе?

определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а У преподавателя подготовлено пять различных проверочных задач, которые он решил дать 10 пришедшим на занятие студентам, причем так, чтобы каждый студент получил или одну задачу, или ничего. Сколькими способами он может раздать задачи студентам?

3б Сколькими можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, у которых длина каждого ребра является целым числом от 1 до 12 и все ребра различны?

3в Сколькими можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, у которых длина каждого ребра принимает одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

3г Оле на новогодней елке подарили подарок, в котором оказалось 5 лимонных, 5 малиновых, 5 молочных и 5 банановых карамелек. Придя домой, Ира решила угостить конфетами домашних (маму, папу и брата), и каждому дала по конфете. Сколько способами она могла это сделать?

4Сколькими способами 20 человек можно разбить на пары, если разбиения, отличающиеся только порядком элементов внутри пары и порядком расположения пар, считаются одинаковыми?

5Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «комбинация» так, чтобы не менялся порядок согласных букв?

6Николай и Ксения решили составить пароль из 10 символов следующим образом: каждый написал на полоске бумаги свое имя и разрезал полоску на карточки так, чтобы на карточках оказалось записано по одной букве. Николай и Ксения поочередно вытягивают одну из своих карточек и выкладывают карточки одну за другой так, что в итоге образуется пароль, в котором буквы, стоящие на четных местах, взяты из имени Николая, а буквы, стоящие на нечетных местах, взяты из имени Ксении. В скольких таких паролях никакие две одинаковые буквы не стоят рядом?

20МП-21 Титов Михаил

1В самостоятельную работу по алгебре было включено три задачи. Из 50 студентов, писавших контрольную работу, 5 человек не решили ни одной задачи. 27 студентов решили либо все три задачи, либо одну из трех, причем из них первую задачи решили 14 человек, вторую – 16, третью – 13. Сколько студентов решили более одной задачи?

2Пусть М – множество сочетаний из элементов 1,2,6,9 по два. На множестве М определено бинарное отношение :

имеет общие элементы с m ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, отношением эквивалентности, отношением порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.

3а Семен Семенович ходит на работу пешком. У него есть шесть любимых маршрутов. Каждое утро он задается вопросом: «По какому маршруту пойти?». Как-то в воскресенье Семен Семенович решил в ближайшую неделю при выборе маршрутов довериться случаю. Он решил занумеровать маршруты и каждое утро с понедельника по пятницу перед выходом из дома бросать кубик и идти на работу по маршруту, номер которого выпадет. Если действовать по плану Семен Семеновича, то сколько вариантов недельных перемещений на работу можно получить?

3б У Васи в коробке-копилке скопилось около ста монет достоинством один, два, пять и десять рублей (примерно в равных пропорциях). Вася, не глядя, достал из коробки пять монет и положил их в пустой карман. Сколько существует вариантов наборов монет в кармане?

3в Двадцать четыре студента педагогического вуза должны пройти практику, отработав вожатыми одну смену в детском летнем лагере. Им нужно разбиться на три равные группы для работы в первую, вторую и третью смену. Сколькими способами может быть сформирована команда для работы в третью смену?

3г Для команды из 24 спортсменов были забронированы места в первых восьми купе второго вагона поезда (купе четырехместные). Сколькими способами спортсмены могут занять места в первом купе?

4Сколькими способами можно распределить практические занятия в 10 группах между пятью преподавателями, если каждый преподаватель будет вести занятия в двух группах?

5Во время массовых гуляний по случаю дня города на площади поставили 4 палатки. В первой из них угощали кашей, во второй – блинами, в третьей – пирогами, в четвертой – квасом. Сколькими способами 24 человека могут выстроиться в очередях за угощением, если каждый человек может стоять в очереди только в одну палатку и не исключается ситуация, когда в некоторые палатки никто попасть не хочет?

6Автобус, курсирующий между городами А и Б, делает 11 остановок по требованию (включая конечный пункт). На автовокзале города А в автобус сели 10 человек. Известно, что пассажиры высаживались на трех остановках между городами, а также на автовокзале города В, причем одновременно выходили не более пяти человек. Сколькими способами эти пассажиры могли распределиться между остановками, если учитывать не только количество пассажиров, вышедших на каждой остановке, но и какой пассажир на какой остановке вышел?

10