63
Рис. 6.8
Рис. 6.9
Часто при изображении амплитудных спектров откладывают не амплитуды гармоник, а их относительные значения, равные отношению амплитуд соответствующих гармоник к постоянной составляющей или первой гармонике. Это позволяет сохранить масштаб по оси ординат одинаковым при изменении периода Т.
3. Мощности в цепях несинусоидального тока. Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции
Активная мощность, равная среднему значению мгновенной мощности за период, определяется выражением
P = |
1 |
Tòu(t)i(t)dt . |
(6.10) |
|
|||
|
T 0 |
|
|
Представим несинусоидальные ток и напряжение в виде комплексного ряда Фурье:
64
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
i(t) = |
|
åIn e jnω1t |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
jnω t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u(t) = |
|
|
|
åU n e . |
|||
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
||
Здесь |
|
|
- комплексные действующие значения напряжения и |
|||||||
I n , |
U n |
|||||||||
тока n-й гармоники. Подставляя эти равенства в формулу (6.10) получим бесконечную сумму интегралов, содержащих произведения гармоник напряжений и токов различных порядков. Отличными от нуля будут только интегралы, содержащие произведение комплексов гармоник с порядковыми
номерами k |
и − k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
1 k =∞ |
∙ |
|
k =∞ |
∙ |
k =∞ |
k =∞ |
(6.11) |
|
åU k Ik |
= Re åU k Ik |
= åU k Ik cos ϕk = åPk . |
||||||
|
|
2 k =−∞ |
|
|
k =0 |
|
k =0 |
k =0 |
|
Таким |
|
образом, |
активная |
мощность |
периодического |
||||
несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник плюс мощность постоянной составляющей. Заметим, что формула (6.11) включает и слагаемые, обусловленные постоянными составляющими напряжения и тока.
По аналогии с цепями синусоидального тока для цепей с несинусоидальными токами и напряжениями используют понятие реактивной мощности, равной сумме реактивных мощностей отдельных гармоник:
k =∞ |
k =∞ |
Q = åUk Ik sinϕk = åQk . |
|
k =1 |
k =1 |
Полную мощность цепи с несинусоидальными токами и напряжениями определяют как произведение действующих значений этих величин:
S=UI .
Вотличие от синусоидального режима сумма квадратов активной и реактивной мощностей в несинусоидальном режиме не равна квадрату полной мощности. Связь между этими величинами представляют в виде
S 2 = P2 + Q2 −T 2 .
Величину T , характеризующую степень различия в форме кривых токов и напряжений, называют мощностью искажения.
Коэффициент мощности цепи несинусоидального тока
65
χ =UIP .
Предположим, что напряжение на входе цепи синусоидально, а ток несинусоидален. В этом случае активная мощность определяется активной мощностью первой гармоники, поскольку высшие гармоники напряжения отсутствуют: P =U1 I1 cos ϕ1 . Коэффициент мощности
χ = U1 I1 cos ϕ1 |
= kи cos ϕ1 = kи kсдв |
(6.12) |
UI |
|
|
Множитель kи = I1 I называют коэффициентом |
искажения. Он |
|
показывает, как влияет на коэффициент мощности отклонение формы кривой тока от синусоидальной. Множитель kсдв =cos ϕ1 называют коэффициентом сдвига. Его величина зависит от фазового сдвига между напряжением и током первой гармоники. Из (6.12) следует, что при несинусоидальном
режиме коэффициент мощности меньше cos ϕ
1
Для количественной оценки отклонения формы напряжения или тока от синусоидальной используют величину, называемую коэффициентом гармоник
åI 2
kг = I1 k . (6.13)
Взарубежной литературе коэффициент гармоник принято называть THD (total harmonic distortion – суммарное гармоническое искажение).
Определим связь между коэффициентом искажений и коэффициентом гармоник. В соответствии с формулой (6.13)i¹1
kг2 = |
I |
2 |
−1. |
|
|
2 |
|
|
I1 |
|
|
Из последнего выражения следует, что коэффициент искажений
kи = II1 = 
1 +1kг2 .
4. Выводы
1. Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дирихле, она может быть представлена гармоническим рядом Фурье.
66
2.Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называют дискретным частотным спектром. Совокупность амплитуд гармоник называют амплитудным спектром, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром.
3.Поскольку основным методом расчета цепей синусоидального тока является символический метод, ряд Фурье удобно представлять в комплексной форме.
4.Активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник плюс мощность постоянной составляющей.
5.Коэффициент мощности цепи несинусоидального тока равен произведению коэффициента искажения и коэффициента сдвига χ =kи kсдв . Коэффициент искажений kи = I1 
I .