4 Лекция 4. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях, интеграл Дюамеля

Цель лекции: усвоить расчет переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом и при включении цепи на напряжение произвольной формы.

4.1. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом

Задача решается с помощью уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, которые в последующем и подлежат определению.

Для простоты изложения рассмотрим порядок расчета токов в ветвях разветвленных цепей, который заключается в следующем:

- находим принужденные составляющие тока после коммутации;

- составляем уравнения входного сопротивления Z(p) (в цепи с источником ЭДС) или входной проводимости Y(p) (в цепи с источником тока) для послекоммутационного режима и приравниваем нулю. При этом реактивные сопротивления должны представляться в операторной форме ( или );

- после преобразования получаем характеристическое уравнение, куда

подставляем значения заданных параметров, и находим корни и , которые определяют вид свободных составляющих (). Если корни вещественные, отрицательные и , то для записи свободных составляющих пользуемся уравнением типа (3.4), если = - (3.6), если корни комплексно-сопряженные (), то

, (4.1)

где и - постоянные интегрирования;

- записываем уравнение тока в общем виде:

= ; (4.2)

- для расчета и необходимо еще одно уравнение, для чего возьмем

первую производную тока по времени . Тогда для цепи постоянного тока

; (4.3)

- записываем уравнения тока и его производной при

,

; (4.4)

- по законам коммутации и уравнениям Кирхгофа для цепи после комму-

тации при определяем начальные условия , после чего из (4.4) - постоянные интегрирования и ;

- подставив значения и в (4.2), находим закон изменения тока во времени

в конкретной ветви схемы.

Методика расчета напряжений аналогична вышеизложенному.

Рассмотрим в качестве примера цепь рисунка 4.1.

Рассчитываем принужденную составляющую тока

.

Составляем уравнение входного сопротивление цепи после коммутации и приравниваем его нулю .

После преобразования получаем характеристическое уравнение

. (4.5)

Пусть в результате подстановки заданных параметров в (4.5) и его решения корни и получились комплексно-сопряженными. Тогда свободной составляющей тока соответствует уравнение (4.1).

Записываем уравнение искомого тока в общем виде

= (4.6) и берем первую производную , которая идентична (4.3).

При имеем следующее

, (4.7)

. (4.8)

По законам коммутации определяем начальные значения тока и напряжения на конденсаторе

, (4.9)

. (4.10)

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа при

- для внешнего контура

; (4.11)

- для контура -

.

Находим ток

, т.е. .

С учетом последнего равенства из (4.11) находим

. (4.12)

Из уравнения (4.7) следует

. (4.13)

Поделив правую и левую части (4.8) на , получим:

,

откуда легко рассчитать , а после - значение .

Наконец, из (4.13) находим постоянную интегрирования .

Подставив в (4.6) числовые значения, получим итоговое выражение .

4.2 Включение цепи на напряжение произвольной формы

При включении любой цепи на постоянное напряжение ток в этой цепи во время переходного процесса можно записать в следующем виде

, (4.14)

где – переходная проводимость цепи. Она зависит от времени и от параметров цепи, но не зависит от величины .

Наглядное представление о g(t) можно получить, приняв = 1 В.

Следовательно, равняется току переходного процесса при включении цепи на постоянное напряжение, равное 1 В.

Переходную проводимость можно определить для каждой заданной цепи

или классическим методом, или операторным, который будет рассмотрен позже. Например, ток при включении цепи на постоянное напряжение (см. рисунок 1.1) получился равным . Следовательно, переход-

ная проводимость . Отметим, что если цепь включается под напряжение в момент времени > 0, то . (4.15)

При этом является моментом начала переходного процесса, а начальные условия ставятся для .

Покажем, что, зная переходную проводимость цепи, можно определить ток в этой цепи при включении ее к источнику любого непрерывно меняющегося во времени напряжения . Пусть имеет форму, показанную на рисунке 4.2 и требуется, зная , найти ток .

(если ветвь падающая).

Частичный ток от равен , а частичный ток от , включенного в некоторый момент , будет .

Проведем в точке касательную к кривой . Тангенс угла ее наклона к оси абсцисс равен производной функции в данной точке, т.е. . С учетом того, что , частичный ток от

будет равен . (4.16)

Переходя к бесконечно малым интервалам и суммируя все частичные токи, получим

. (4.17)

Выражение (4.17) – интеграл Дюамеля.

Наряду с указанной существует еще 5 форм записи этого интеграла

, ,

, . (4.18)

Из всех форм записи чаще пользуются одной из первых четырех - той, у которой при решении конкретной задачи подынтегральное выражение будет проще.