50. Законы Ома, Кирхгофа и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объемом V (рис. 16.1).

Рис. 16.1. Параллелепипед в проводящей среде

Длина ребер параллелепипеда Δl, площадь поперечного сечения Δs.

Расположим его так, чтобы напряженность поля была в нем направлена параллельно ребру. В силу малости объема можно считать, что напряженность поля одна и та же во всем элементарном объеме:

где  – единичный вектор по направлению 

Ток:

(16.2)

Напряжение на элементе объема:

 (16.3)

Сопротивление элемента объема:

, (16.4)

где γ – удельная проводимость среды.

Поставив в (16.3) выражения (16.2) и (16.4) получим:

,

. (16.5)

Выражение (16.5) называют законом Ома в дифференциальной форме. Это уравнение справедливо для областей вне источников ЭДС. В областях, занятых источниками ЭДС, существует также так называемое стороннее электрическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической цепи. Это поле обусловлено химическими, электрохимическими, тепловыми и термоэлектрическими процессами. Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками ЭДС

(16.6)

Уравнение (16.6) называется обобщенным законом Ома. Если от обеих частей взять интеграл по замкнутому контуру, то получим второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме.

Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, входящий в объем, равняется току, выходящему из объема, иначе в этом объеме происходило бы накопление электрических зарядов, что опыт не подтверждает. Математически это записывают так:

 (16.7)

Разделим правую и левую часть уравнения (16.7) на объем и возьмем предел в случае, когда объем стремится к нулю

 (16.8)

Соотношение (16.8) называется первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Он гласит, что в установившемся режиме (при постоянном токе) в любой точке тока нет ни истока, ни стока линий тока проводимости .

Из курса физики известно, что при протекании постоянного тока по проводнику в нём выделяется в виде тепла мощность

.

Найдём мощность, выделяющуюся в единице объема:

.

Таким образом:

. (1.44)

Это и есть закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

В общем случае мощность, выделяющаяся в виде тепла в проводнике, может быть рассчитана согласно выражению:

. (1.45)

51.Уравнение Лапласа

Так же, как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде:

В неизменном во времени поле:

Если среда однородна и изотропна, т.е. γ = const, то можно записать:

или 

 (16.9)

Поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

Это поле является потенциальным, в нем в областях, не занятых источниками .

52.Граничные условия для электрического поля постоянного тока.

На поверхности раздела сред, где γ , Eс и 𝛿 изменяются скачком, справедливы следующие соотношения:

E1t - E2t = E1сt - E2сt

т.е. скачок тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля равен скачку сторонней тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля. Если Eс = 0, то тангенциальная составляющая векторного поля E непрерывна на любой поверхности раздела сред.

т.е. скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости равен скачку нормальной составляющей сторонней плотности тока с противоположным знаком. Если 𝛿 = 0, то нормальная составляющая плотности тока проводимости непрерывна на любой поверхности раздела сред.