44. Метод зеркальных изображений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных изображений.

Это искусственный прием расчета, в котором кроме заданных зарядов вводят еще дополнительные заряды, которые помещают там, где находятся зеркальные (в геометрическом смысле) отображения заданных зарядов.

Рассмотрим поле прямолинейного заряженного провода (линейная плотность заряда +t), расположенного на расстоянии h от плоской поверхности проводящей среды (рис. 1.33).

Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющемся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 1.33). Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию. Поле от такой системы заряженных проводников (рассмотрено в примере 9 раздела 1.14) в области над проводящей средой останется таким же, как и в действительных условиях.В этом и заключается метод зеркальных изображений.Этот метод применим и при любом числе проводов, протянутых параллельно друг другу и параллельно плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду. Каждый провод должен быть зеркально отображен в поверхности проводящей среды с изменением знака заряда, после чего проводящая среда может быть мысленно удалена и рассмотрено поле совокупности действительных проводов и их зеркальных изображений.Рассмотрим теперь поле прямолинейного заряженного провода (линейная плотность заряда t₁), расположенного на расстоянии h от плоской границы раздела двух диэлектриков с разными диэлектрическими проницаемостями (рис. 1.34, а).

Расчет поля в любой точке верхнего полупространства производят от двух заряженных проводников: заданного с линейной плотностью t₁ и дополнительного с линейной плотностью t₂. Причем не только верхнее, но нижнее полупространство заполнено (в расчетном смысле) диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e₁, а дополнительный (фиктивный) проводник является зеркальным отображением действительного (в геометрическом смысле) проводника (рис. 1.34, б). Поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от дополнительного провода, имеющего линейную плотность заряда t₃ и расположенного в той же точке, где находился действительный проводник. В этом случае, не только нижнее, но и верхнее полупространство заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e₃ (рис. 1.34, в).

Линейная плотность t₂ и t₃ зарядов дополнительных проводников определяется с помощью следующих соотношений:

Отметим, что если поле создается не заряженными проводами, а точечными зарядами, то вся методика годится и для точечных зарядов. Но под t, в этом случае, следует понимать величину точечного заряда.

43.Общая характеристика методов расчета электростатического поля. Применение теоремы Гаусса для расчета поля. Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме

Пусть n – единичная нормаль к площадке dS (достаточно малой, чтобы пренебречь изменением электрической напряженности Е в пределах площадки). Поток dФ_э  электрической напряженности через эту площадку  определяется как произведение нормальной компоненты Е и dS:

Знак потока dF_э,  очевидно, зависит от взаимной ориентации нормали и напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен.

Поток dF_э через площадку, наклонную к силовой линии (т.е. к вектору Е), равен также потоку через проекцию этой площадки на плоскость, перпендикулярную силовой линии (см. рис. 1.3.2):

Это равенство (1.3.1) следует из определения (1.3.1) для dF _э   и теоремы об углах с взаимно перпендикулярными сторонами.

Поток F_э электрической напряженности Е через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.3) определяется как сумма элементарных потоков через все площадки поверхности. В пределе, когда количество площадок N стремится к бесконечности, сумма потоков через площадки переходит в поверхностный интеграл от нормальной компоненты напряженности E_n:

.                                                        (1.3.3.)

К. Гауссом в 1844 доказана теорема (теорема Гаусса в интегральной форме), устанавливающая связь источников поля и потока напряженности через произвольную поверхность, окружающую источники.

Для доказательства выведем вспомогательную формулу. Поток от точечного заряда через произвольную окружающую его сферу.

. (1.3.4)

Силовые линии поля точечного заряда перпендикулярны поверхности концентрической сферы (см. рис 1.3.4). С учетом этого факта формула (1.3.4) выводится из выражения для поля точечного заряда (1.2.3). Как видно, в этом случае поток F _э  не зависит от радиуса сферы, а зависит только от Q .

Из (1.3.2) и (1.3.4) следует, что поток поля точечного заряда через любую поверхность, окружающую заряд, равен потоку через сферу произвольного радиуса, концентричную заряду. Действительно, поток поля точечного заряда через любую площадку dS, вырезанную телесным углом dW из произвольной поверхности, получается таким же, как поток через площадку  сферы, вырезанную тем же телесным углом. Поток поля F_э  через сферу, как уже отмечалось, не зависит от ее радиуса. Поэтому поток напряженности поля точечного заряда через поверхность S (см. рис. 1.3.5) задается формулой (1.3.4). Из формулы (1.3.4) и принципа суперпозиции следует теорема Гаусса в интегральной форме: полный поток F_э   напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится как угодно распределенный (объемный, поверхностный и т.д.) заряд Q, вычисляется по формуле

(1.3.5)

При применении теоремы Гаусса для решения задач, необходимо помнить, что в уравнении (1.3.5) Q – сумма всех зарядов внутри мысленной поверхности, через которую вычисляется поток, в том числе зарядов, принадлежащим атомам и молекулам среды (так называемых связанных зарядов, см. ниже Лекция 2).

Поток напряженности поля Е через любую замкнутую поверхность, внутри которой полный заряд равен нулю, также равен нулю.