16. Решение обыкновенных дифуров.

ДУ – ур-ия, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа неизвестных переменных ДУ делятся на:

1)обыкновенные, содержащие 1 неизвестную переменную и производную по ней. 2)ДУ в частных производных, т.е. содержащие несколько независимых переменных и производных по ним, которые наз. частными. Для решения ОДУ необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производной при некоторых значениях независимой переменной, т.е. необходимы доп. усл. Если доп. усл. задаются при 1 значении независимой переменной, то такая задача наз. задачей Коши, а эти условия наз. начальными усл. Если же условия задаются при 2 и более значениях независимой переменной, то задача наз. краевой, а усл. – граничными. Задача Коши:*

17 Одношаговые методы решения ОДУ.

Предназначены для решения ДУ 1^ого порядка y’=f(x,y), где y’ – производная, заданная при нач. усл. y(x₀)=y₀. Методы позволяют находить последовательные значения зависимой переменной y соответствующие дискретным значениям независимой переменной X.

20 Общая характеристика одношаговых методов решения ОДУ: 1) Св-во самостартования, т.е. для получения инф-ции о следующей точке, нужна инф-ция, только об одной предыдущей точке. Это св-во позволяет легко менять величину шага h. 2) В основу всех методов положено разложение ф-ии в ряд Тейлора. В разложении сохр-ся члены ряда, содержащие h до степени k включительно. При этом число k наз. порядком метода, погрешность на шаге имеет порядок (k+1). 3) Методы не требуют вычисления производной. Вычисляется сама ф-ия. Однако могут потребоваться её значения в нескольких точках интервала.

Однош. м-д- для нахождения след (.) нужна информация только об одном предудущем шаге (Метод Рунге-Кутта, Метод Эйлера).

y’=f(x,y), где y’=dy/dx при н.у. y(x₀)=y₀

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²*y’’(x₀)/2+...

y(x₀+h)=y(x₀)+h*f(x₀,y₀)

y_n+1=y_n+h*f(x_n;y_n); n=0,1,2..

М.Эйлера.*

Модифицированный метод Эйлера.*

Метод Рунге-Кутта 4 порядка.*

Метод Рунге-Кутта для системы дифференциальных уравнений.*

21 Методы прогноза и коррекции. Отличие данных методов от одношаговых заключается в том, что для выч-я знач. координат след. точки нужна инф-ция о нескольких предыдущих точках, т.е. данный метод не имеет св-ва самостартования. Исх. данные при этом получают с помощью какого-либо одношагового метода. Для получения инф-ции о положении новой точки данные методы используют 2 ф-лы, которые наз. ф-ла прогноза(ф П) и ф-ла коррекции(ф К). Блок схемы методов П и К одинаковы и различаются лишь итерационными ф-ми.

y⁽⁰⁾- нулевая точность; y⁽¹⁾- первая точность, более точная.

y_n+1⁽⁰⁾ – индекс (0) означает, что данное прогнозируемое знач. явл. одним из последовательности знач. y_n+1, располагавшихся в порядке возрастания точности, т.е. y_n+1⁽ⁱ⁺¹⁾ точнее, чем y_n+1⁽ⁱ⁾.

2 Общая хар-ка метода П и К: 1)Для реализации методов необходима инф-ция о нескольких точках (отсутствует св-во самостартования). Исх. данные получают с помощью одношаговых методов. 2)Одношаговые методы и методы П и К имеют сопоставимую точность. Однако методы П и К позволяют учитывать погрешность на каждом шаге. Из-за того, что в одношаговых методах величина шага h выбирается меньше, чем требуется, методы П и К оказываются более эффективными. 3)В методе Рунге-Кутта 4^ого порядка нужно вычислять 4 знач. ф-ии на каждом шаге. В методах П и К для обеспечения сходимости достаточно только 2 знач. Вывод: Достоинство одношаговых методов – простота начала счёта и возможность изменения величины шага в процессе вычисления. Основные достоинства методов П и К простота оценки ошибки на шаге. Т.е. при выборе алгоритма необходимо находить компромисс между точностью счёта и быстродействием.

Метод Милна.*

Метод Адамса-Башфорта. *

Метод Хемминга.*