16. Решение обыкновенных дифуров.

ДУ – ур-ия, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа неизвестных переменных ДУ делятся на:

1)обыкновенные, содержащие 1 неизвестную переменную и производную по ней. 2)ДУ в частных производных, т.е. содержащие несколько независимых переменных и производных по ним, которые наз. частными. Для решения ОДУ необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производной при некоторых значениях независимой переменной, т.е. необходимы доп. усл. Если доп. усл. задаются при 1 значении независимой переменной, то такая задача наз. задачей Коши, а эти условия наз. начальными усл. Если же условия задаются при 2 и более значениях независимой переменной, то задача наз. краевой, а усл. – граничными. Задача Коши: Дано: (система) вид производной dy/dx=y’=f(x,y) – правая часть; нез. нач. усл. y(x₀)=y_0. Найти: y=f(x). При этом у(х) должна удовлетворять как ур-ию правых частей, так и нач. усл. Обычно численное решение получают, вычисляя сначала знач. производной в нач. точке, затем задают малое приращение(шаг h) и переходят к новой точке х_n+1= х_n+h. Для вычисления производной в начальной точке используются правые части [f(x,y)], т.е. положение новой точки определяется по наклону касательной, вычисленному по ДУ, т.е. геометрически процесс решения представляет собой послед-ть коротких прямоугольных отрезков, которыми и апраксимируется искомая кривая f(x,y). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.

17 Одношаговые методы решения ОДУ.

Предназначены для решения ДУ 1^ого порядка y’=f(x,y), где y’ – производная, заданная при нач. усл. y(x₀)=y₀. Методы позволяют находить последовательные значения зависимой переменной y соответствующие дискретным значениям независимой переменной X.

20 Общая характеристика одношаговых методов решения ОДУ: 1) Св-во самостартования, т.е. для получения инф-ции о следующей точке, нужна инф-ция, только об одной предыдущей точке. Это св-во позволяет легко менять величину шага h. 2) В основу всех методов положено разложение ф-ии в ряд Тейлора. В разложении сохр-ся члены ряда, содержащие h до степени k включительно. При этом число k наз. порядком метода, погрешность на шаге имеет порядок (k+1). 3) Методы не требуют вычисления производной. Вычисляется сама ф-ия. Однако могут потребоваться её значения в нескольких точках интервала.

Однош. м-д- для нахождения след (.) нужна информация только об одном предудущем шаге (Метод Рунге-Кутта, Метод Эйлера).

y’=f(x,y), где y’=dy/dx при н.у. y(x₀)=y₀

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²*y’’(x₀)/2+...

y(x₀+h)=y(x₀)+h*f(x₀,y₀)

y_n+1=y_n+h*f(x_n;y_n); n=0,1,2..

М.Эйлера.Этот метод решения основан на разложении ф-ии в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, при этом члены, содержащие h² и более, отбрасываются. Каждое последующее значение “y” находится, используя правые части заданного ДУ. Метод 1^ого порядка, ошибка имеет порядок h² (т.к. отбрасываем h² и более). Виды погрешностей:

1)погрешность округления: связанна с округл.чисел; 2)погрешность усечения: все методы полученые путем разложеня в ряд тейлора связаны с усечением рядов и разложением рядов; 3)Погрешность распространения:накопление погрешности на каждом шаге. В следствие погрешностей возникают локальная ошибки и глобальные

Модифицированный метод Эйлера.

Тангенс угла наклона касательной предыдущей и последующей точки не одинаковы, т.е. в вычисления на шаге h вносится погрешность. Точность метода можно существенно повысить, используя среднее значение наклона касательной в нач. и конечной точке интервала h. Это и есть смысл модифицированного метода Эйлера. В модифицированном методе Эйлера сначала оред-ся знач.ф-ии в след. точке по методу Эйлера, т.е. вычисляется y*_n+1= y_n+h*f(x_n; y_n), которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала, т.е. f(x_n+1; y*_n+1). Затем вычисляется среднее знач. между вычисленным значением производной в конце интервала и её значением в начале интервала. Таким образом получаем более точное значение y_n+1.

y_n+1= y_n+h/2(f(x_n; y_n)+f(x_n+1; y*_n+1), n=0,1,2…

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²/2*y’’(x₀)+...

y’’(x₀)=Δy’(x₀)/Δx=[y’(x₀+h)-y’(x₀)]/[(x₀+h)-x₀]

Это метод 2^ого порядка. Ошибка метода пропорциональна h³.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка. Для того чтобы повысить точность необходимо сохранить при разложении в ряд Тейлора большое кол-во членов ряда. Чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений внутри интервала h. Методы Рунге-Кутта дают набор формул для расчета координат внутренних точек интервала h. Наиболее распр. явл. метод Рунге-Кутта 4^ого порядка, т.е. сохраняем в разложении члены ряда до h⁴ включительно, ошибка метода при этом h⁵. Метод обладает более высокой точностью, позволяя увеличивать длину шага h. Величину h следует выбирать исходя из допустимой ошибке на шаге.

ситема:

y_n+1= y_n+(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6, n=0,1,2… k₀=h*f(x_n;y_n); k₁=h*f(x_n+h/2;y_n+k₀/2); k₂=h*f(x_n+h/2;y_n+k₁/2); k₃=h*f(x_n+h;y_n+k₂);

Метод Рунге-Кутта для системы дифференциальных уравнений. Поскольку в мат модели может присутствовать не только 1^ая производная, но и более высокие, необходимо преобразовать ДУ n^ого порядка в СДУ 1^ого, при этом кол-во ур-ий будет n. После этого преобразования можно применить ф-лы Р-К 4 для каждого из полученных ур-ий. Например для ДУ 2^ого порядка.

d²y/dx²=g(x,y,dy/dx); dy/dx=z |=> dz/dx=d²y/dx²; система: dz/dx=g(x,y,z)=z’; dy/dx=f(x,y,z)=z=y’; н.у. y(x₀)=y₀; z(x₀)=z₀

y_n+1=y_n+k; z_n+1=z_n+L, где k=(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6; L=(L₀+Lk₁+Lk₂+L₃)/6;

k₁=h*f(x_n;y_n,z_n); k₂=h*f(x_n+h/2;y_n+k₁/2;z_n+L₁/2); k₃=h*f(x_n+h/2;y_n+k₂/2;z_n+L₂/2); k₄=h*f(x_n+h;y_n+k₃;z_n+L₃), где

L₁=h*g(x_n;y_n,z_n); L₂=h*g(x_n+h/2;y_n+k₁/2;z_n+L₁/2);

L₃=h*g(x_n+h/2;y_n+k₂/2;z_n+L₂/2); L₄=h*g(x_n+h;y_n+k₃;z_n+L₃).

21 Методы прогноза и коррекции. Отличие данных методов от одношаговых заключается в том, что для выч-я знач. координат след. точки нужна инф-ция о нескольких предыдущих точках, т.е. данный метод не имеет св-ва самостартования. Исх. данные при этом получают с помощью какого-либо одношагового метода. Для получения инф-ции о положении новой точки данные методы используют 2 ф-лы, которые наз. ф-ла прогноза(ф П) и ф-ла коррекции(ф К). Блок схемы методов П и К одинаковы и различаются лишь итерационными ф-ми.

y⁽⁰⁾- нулевая точность; y⁽¹⁾- первая точность, более точная.

y_n+1⁽⁰⁾ – индекс (0) означает, что данное прогнозируемое знач. явл. одним из последовательности знач. y_n+1, располагавшихся в порядке возрастания точности, т.е. y_n+1⁽ⁱ⁺¹⁾ точнее, чем y_n+1⁽ⁱ⁾.

2 Общая хар-ка метода П и К: 1)Для реализации методов необходима инф-ция о нескольких точках (отсутствует св-во самостартования). Исх. данные получают с помощью одношаговых методов. 2)Одношаговые методы и методы П и К имеют сопоставимую точность. Однако методы П и К позволяют учитывать погрешность на каждом шаге. Из-за того, что в одношаговых методах величина шага h выбирается меньше, чем требуется, методы П и К оказываются более эффективными. 3)В методе Рунге-Кутта 4^ого порядка нужно вычислять 4 знач. ф-ии на каждом шаге. В методах П и К для обеспечения сходимости достаточно только 2 знач. Вывод: Достоинство одношаговых методов – простота начала счёта и возможность изменения величины шага в процессе вычисления. Основные достоинства методов П и К простота оценки ошибки на шаге. Т.е. при выборе алгоритма необходимо находить компромисс между точностью счёта и быстродействием.

Метод Милна.

ф-ла прогнозов: y_n+1= y_n-3+4/3*h(2y’_n – y’_n-1 + 2y’_n-2)+28/90*h⁵y⁽⁵⁾

ф-ла коррекции: y_n+1= y_n-1+1/3*h(y’_n+1 + 4y’_n + y’_n-1) –1/90*h⁵y⁽⁵⁾

Последние члены в ф-лах в итерац. процессе не используются и служат только для оценки погрешности усечения. Из формул видно что погрешность при коррекции в 28 раз меньше, чем при прогнозе. Метод 4^ого порядка точности. Данный метод используется реже, чем другие, т.к. в нём может присутствовать неустойчивость, связанная с экспоненциальным ростом погрешности распространения при увеличении числа итераций.

Метод Адамса-Башфорта. ф-ла прогнозов: y_n+1= y_n+1/24*h(55y’_n – 59y’_n-1 + 37y’_n-2 – 9y’_n-3) + 251/720*h⁵y⁽⁵⁾; ф-ла коррекции: y_n+1= y_n+1/24*h(9y’_n+1 – 19y’_n – 5y’_n-1 + y’_n-2) + 19/720*h⁵y⁽⁵⁾. Метод 4^ого порядка точности. В отличие от метода Милна ошибка на шаге не имеет экспоненциального роста. Т.к. величина отбрасываемого члена известна, то её использовать для коррекции значений y_n+1, либо использовать метод более высокого порядка точности.

Метод Хемминга.

Имеет 4^ый порядок точности, позволяет корректировать ошибки, устойчив |=> используется чаще остальных.

ф-ла прогнозов: y_n+1= y_n-3+4/3*h(2y’_n – y’_n-1 + 2y’_n-2)+28/90*h⁵y⁽⁵⁾

ф-ла коррекции: y_n+1= 1/8*[9y_n – y_n-2 + 3*h(y’_n+1 + 2y’_n – y’_n-1)] – 1/40*h⁵y⁽⁵⁾