Метрология 1 последняя
.docx
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ»
Шифр КР :_________ Контрольную работу выполнил(а)
студент(ка)_______________________
_________________________________
группа___________________________
_________________________________
Иркутск – 2014 г.
Тема контрольного задания:
Обработка опытных данных по результатам многократных измерений.
Вариант 1
При сверлении 80 отверстий одним и тем же сверлом и последующим измерением диаметров отверстий получены данные (в мм), приведены частоты контрольных измерений диаметров отверстий.
Таблица 1
Данные измерений (мм) |
Частоты контрольных измерений |
40,29 |
2 |
40,33 |
7 |
40,30 |
6 |
40,36 |
7 |
40,39 |
3 |
40,28 |
3 |
40,31 |
5 |
40,26 |
2 |
40,37 |
6 |
40,41 |
3 |
40,42 |
2 |
40,27 |
2 |
40,34 |
10 |
40,40 |
3 |
40,35 |
8 |
40,32 |
6 |
40,38 |
3 |
40,44 |
1 |
40,43 |
1 |
Требуется:
-
Результаты измерений записать в виде вариационного ряда.
-
Составить интервальный статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот) измеренных значений диаметров отверстий.
-
Построить гистограмму и полигон частостей, сделать вывод о предполагаемом законе распределения измеренных диаметров отверстий.
-
Вычислить среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.
-
Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать плотность вероятности и функцию распределения измеренных значений.
-
Найти теоретические частоты нормального закона распределения, проверить согласие эмпирической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α = 0,05.
-
Найти интервальные оценки для среднего арифметического при α = 0,10; 0,05.
1. Результаты измерений запишем в виде вариационного ряда.
Таблица 2
№п/п. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
х(мм) |
40,26 |
40,26 |
40,27 |
40,27 |
40,28 |
40,28 |
40,28 |
40,29 |
40,29 |
40,30 |
40,30 |
Продолжение таблицы 2
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
40,30 |
40,30 |
40,30 |
40,30 |
40,31 |
40,31 |
40,31 |
40,31 |
40,31 |
40,32 |
40,32 |
40,32 |
Продолжение таблицы 2
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
40,32 |
40,32 |
40,32 |
40,33 |
40,33 |
40,33 |
40,33 |
40,33 |
40,33 |
40,33 |
40,34 |
40,34 |
Продолжение таблицы 2
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
40,34 |
40,34 |
40,34 |
40,34 |
40,34 |
40,34 |
40,34 |
40,34 |
40,35 |
40,35 |
40,35 |
40,35 |
Продолжение таблицы 2
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
40,35 |
40,35 |
40,35 |
40,35 |
40,36 |
40,36 |
40,36 |
40,36 |
40,36 |
40,36 |
40,36 |
40,37 |
Продолжение таблицы 2
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
40,37 |
40,37 |
40,37 |
40,37 |
40,37 |
40,38 |
40,38 |
40,38 |
40,39 |
40,39 |
40,39 |
40,40 |
Продолжение таблицы 2
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
40,40 |
40,40 |
40,41 |
40,41 |
40,41 |
40,42 |
40,42 |
40,43 |
40,44 |
2. Составим интервальный статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот) измеренных значений диаметров отверстий.
В учебных целях можно принять k = 6.
Ширину интервала определяем по формуле
мм
Рассчитаем границы интервалов:
x0= xmin = 40,26 ;
x1 = x0 +h = 40,26 + 0,03 = 40,29 ;
x2 = x1 +h = 40,29 + 0,03 = 40,32 ;
x3 = x2 +h = 40,32 + 0,03 = 40,35 ;
x4 = x3 +h = 40,35 + 0,03 = 40,38 ;
x5 = x4 +h = 40,38 + 0,03 = 40,41 ;
x6 = xmах = 40,44 .
m1= 2 + 2 + 3+ 2 = 9;
m 2 = 6 + 5 + 6 = 17;
m 3 = 7 + 10 + 8 = 25;
m 4 = 7 + 6 + 3 = 16;
m 5= 3 + 3 + 3 = 9;
m 6 = 2 + 1 + 1 = 4;
m1 / n = 9/80 = 0,1125;
m2 / n = 17/80 = 0,2125;
m3 / n = 25/80 = 0,3125;
m4 / n = 16/80 = 0,2;
m5 / n = 9/80 = 0,1125;
m6 / n = 4/80 = 0,05;
n = 80– количество измеренных отверстий.
Таблица 3
Интервалы ki |
Середина интервала ki |
Частоты mi |
Частости |
[40,26-40,29] |
40,275 |
9 |
0,1125 |
]40,29-40,32] |
40,305 |
17 |
0,2125 |
]40,32-40,35] |
40,335 |
25 |
0,3125 |
]40,35-40,38] |
40,365 |
16 |
0,2 |
]40,38-40,41] |
40,395 |
9 |
0,1125 |
]40,41-40,44] |
40,425 |
4 |
0,05 |
Итого |
|
80 |
|
3. Построим гистограмму и полигон частостей.
Площадь прямоугольника равна частости данного частичного интервала. Высота прямоугольника равна mi/nh, где h – ширина интервала.
Рис. 1. Гистограмма частостей
Рис. 2. Полигон частостей
Вывод: По виду гистограммы и полигону частостей делаем предположение о нормальном законе распределения измеренных диаметров отверстий, так как центр распределения один и находится в интервале ]40,32-40,35], кривая распределения сначала возрастает, затем убывает.
4. Вычислим среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.
Среднее арифметическое определяем по формуле:
Среднее квадратическое отклонение равно:
5. Найдём точечные оценки параметров нормального закона распределения, запишем плотность вероятности и функцию распределения измеренных значений.
Точечные оценки параметров нормального закона распределения находим методом моментов. Они равны:
= 40,3391
= 0,0398
Запишем функцию плотности вероятности и функцию распределения измеренных значений
6. Найдём теоретические частоты нормального закона распределения, проверить согласие эмпирической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α = 0,05.
Для определения теоретических частот нормируем интервалы, т.е. выражаем их в единицах среднего квадратического отклонения. При этом минимальное значение U1 заменяем на -, а максимальное значение U6 – на +
Вероятность попадания случайной величины х с параметрами а и σ в частичные интервалы находим по формуле и таблице приложения 1:
P1= Ф(-1,23) - Ф(-) = - 0,3907 + 0,5 = 0,1093
P2= Ф(-0,48) - Ф(-1,23) = - 0,1844 + 0,3907= 0,2063
P3= Ф(0,27) - Ф(-0,48) = 0,1064 + 0,1844 = 0,2908
P4= Ф(1,03) - Ф(0,27) = 0,3485 - 0,1064= 0,2421
P5= Ф(+) - Ф(1,03) = 0,5 - 0,3485 = 0,1515
Вычисляем теоретические частоты npi и наблюдаемое значение статистики по формуле
Таблица 4
Интервалы ki |
Частоты mi |
Нормирован. интервалы |
pi |
npi |
(mi -npi)² |
|
[40,26-40,29] |
9 |
[-,-1,23] |
0,1093 |
8,744 |
0,0655 |
0,0075 |
]40,29-40,32] |
17 |
]-1,23,-0,48] |
0,2063 |
16,504 |
0,246 |
0,0149 |
]40,32-40,35] |
25 |
]-0,48, 0,27] |
0,2908 |
23,264 |
3,0137 |
0,1295 |
]40,35-40,38] |
16 |
]0,27, 1,03] |
0,2421 |
19,368 |
11,3434 |
0,5857 |
]40,38-40,44] |
13 |
]1,03, +] |
0,1515 |
12,12 |
0,7744 |
0,0639 |
Итого |
80 |
|
|
|
|
0,8015 |
По таблице квантилей - распределения (Приложение 2 [1]) по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы ν = k – r –1 = 5 – 2 – 1 = 2, где k = 5; r = 2 – число параметров функции распределения, находим критическое значение = 5,991.
Вывод: Так как = 0,8015 <= 5,991, то эмпирической функция распределения согласуется с нормальным законом распределения.
7. Найдём интервальные оценки для среднего арифметического при α = 0,10; 0,05.
Найдём доверительный интервал для оценки среднего арифметического
<<
где = 40,3391, σ = 0,0398; n = 80.
Значения квантилей Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы ν = n – 1 = 79 и уровня значимости α/2 = 0,05 и 0,025 находим в Приложении 3 [1] t =1,645 и 1,96.
Получаем доверительные интервалы:
<< ;
40,3318 << 40,3464 при α = 0,10
С вероятностью 0,9 можно ожидать, что средний диаметр отверстий в генеральной совокупности будет находиться в интервале от 40,3318 мм до 40,3464 мм.
<< ;
40,3304 << 40,3478 при α = 0,05.
С вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний диаметр отверстий в генеральной совокупности будет находиться в интервале от 40,3304 мм до 40,3478 мм.
Вывод по работе: величина диаметр отверстий распределена по нормальному закону со средним значением 40,3391 мм и средним квадратическим отклонением 0,0396 мм.
Список литературы
1. Логвин А.И., Иванов В.В. Метрология, стандартизация и сертификация. Пособие к изучению дисциплины и выполнению контрольного задания. – М.: МГТУ ГА, 2004. – 32 с.
2. Логвин А.И., Епифанцева Д.А. Метрология, стандартизация и сертификация: Пособие по проведению практических занятий для студентов всех специальностей всех форм обучения. – М.: МГТУ ГА, 2006. – 28 с.