Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Метрология 1 последняя

.docx
Скачиваний:
36
Добавлен:
11.02.2017
Размер:
105.64 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ»

Шифр КР :_________ Контрольную работу выполнил(а)

студент(ка)_______________________

_________________________________

группа___________________________

_________________________________

Иркутск – 2014 г.

Тема контрольного задания:

Обработка опытных данных по результатам многократных измерений.

Вариант 1

При сверлении 80 отверстий одним и тем же сверлом и последующим измерением диаметров отверстий получены данные (в мм), приведены частоты контрольных измерений диаметров отверстий.

Таблица 1

Данные измерений (мм)

Частоты контрольных измерений

40,29

2

40,33

7

40,30

6

40,36

7

40,39

3

40,28

3

40,31

5

40,26

2

40,37

6

40,41

3

40,42

2

40,27

2

40,34

10

40,40

3

40,35

8

40,32

6

40,38

3

40,44

1

40,43

1

Требуется:

  1. Результаты измерений записать в виде вариационного ряда.

  2. Составить интервальный статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот) измеренных значений диаметров отверстий.

  3. Построить гистограмму и полигон частостей, сделать вывод о предполагаемом законе распределения измеренных диаметров отверстий.

  4. Вычислить среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.

  5. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать плотность вероятности и функцию распределения измеренных значений.

  6. Найти теоретические частоты нормального закона распределения, проверить согласие эмпирической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α = 0,05.

  7. Найти интервальные оценки для среднего арифметического при α = 0,10; 0,05.

1. Результаты измерений запишем в виде вариационного ряда.

Таблица 2

п/п.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

х(мм)

40,26

40,26

40,27

40,27

40,28

40,28

40,28

40,29

40,29

40,30

40,30

Продолжение таблицы 2

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

40,30

40,30

40,30

40,30

40,31

40,31

40,31

40,31

40,31

40,32

40,32

40,32

Продолжение таблицы 2

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

40,32

40,32

40,32

40,33

40,33

40,33

40,33

40,33

40,33

40,33

40,34

40,34

Продолжение таблицы 2

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

40,34

40,34

40,34

40,34

40,34

40,34

40,34

40,34

40,35

40,35

40,35

40,35

Продолжение таблицы 2

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

40,35

40,35

40,35

40,35

40,36

40,36

40,36

40,36

40,36

40,36

40,36

40,37

Продолжение таблицы 2

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

40,37

40,37

40,37

40,37

40,37

40,38

40,38

40,38

40,39

40,39

40,39

40,40

Продолжение таблицы 2

72

73

74

75

76

77

78

79

80

40,40

40,40

40,41

40,41

40,41

40,42

40,42

40,43

40,44

2. Составим интервальный статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот) измеренных значений диаметров отверстий.

В учебных целях можно принять k = 6.

Ширину интервала определяем по формуле

мм

Рассчитаем границы интервалов:

x0= xmin = 40,26 ;

x1 = x0 +h = 40,26 + 0,03 = 40,29 ;

x2 = x1 +h = 40,29 + 0,03 = 40,32 ;

x3 = x2 +h = 40,32 + 0,03 = 40,35 ;

x4 = x3 +h = 40,35 + 0,03 = 40,38 ;

x5 = x4 +h = 40,38 + 0,03 = 40,41 ;

x6 = xmах = 40,44 .

m1= 2 + 2 + 3+ 2 = 9;

m 2 = 6 + 5 + 6 = 17;

m 3 = 7 + 10 + 8 = 25;

m 4 = 7 + 6 + 3 = 16;

m 5= 3 + 3 + 3 = 9;

m 6 = 2 + 1 + 1 = 4;

m1 / n = 9/80 = 0,1125;

m2 / n = 17/80 = 0,2125;

m3 / n = 25/80 = 0,3125;

m4 / n = 16/80 = 0,2;

m5 / n = 9/80 = 0,1125;

m6 / n = 4/80 = 0,05;

n = 80– количество измеренных отверстий.

Таблица 3

Интервалы

ki

Середина интервала

ki

Частоты

mi

Частости

[40,26-40,29]

40,275

9

0,1125

]40,29-40,32]

40,305

17

0,2125

]40,32-40,35]

40,335

25

0,3125

]40,35-40,38]

40,365

16

0,2

]40,38-40,41]

40,395

9

0,1125

]40,41-40,44]

40,425

4

0,05

Итого

80

3. Построим гистограмму и полигон частостей.

Площадь прямоугольника равна частости данного частичного интервала. Высота прямоугольника равна mi/nh, где h – ширина интервала.

Рис. 1. Гистограмма частостей

Рис. 2. Полигон частостей

Вывод: По виду гистограммы и полигону частостей делаем предположение о нормальном законе распределения измеренных диаметров отверстий, так как центр распределения один и находится в интервале ]40,32-40,35], кривая распределения сначала возрастает, затем убывает.

4. Вычислим среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.

Среднее арифметическое определяем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

5. Найдём точечные оценки параметров нормального закона распределения, запишем плотность вероятности и функцию распределения измеренных значений.

Точечные оценки параметров нормального закона распределения находим методом моментов. Они равны:

= 40,3391

= 0,0398

Запишем функцию плотности вероятности и функцию распределения измеренных значений

6. Найдём теоретические частоты нормального закона распределения, проверить согласие эмпирической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α = 0,05.

Для определения теоретических частот нормируем интервалы, т.е. выражаем их в единицах среднего квадратического отклонения. При этом минимальное значение U1 заменяем на -, а максимальное значение U6 – на +

Вероятность попадания случайной величины х с параметрами а и σ в частичные интервалы находим по формуле и таблице приложения 1:

P1= Ф(-1,23) - Ф(-) = - 0,3907 + 0,5 = 0,1093

P2= Ф(-0,48) - Ф(-1,23) = - 0,1844 + 0,3907= 0,2063

P3= Ф(0,27) - Ф(-0,48) = 0,1064 + 0,1844 = 0,2908

P4= Ф(1,03) - Ф(0,27) = 0,3485 - 0,1064= 0,2421

P5= Ф(+) - Ф(1,03) = 0,5 - 0,3485 = 0,1515

Вычисляем теоретические частоты npi и наблюдаемое значение статистики по формуле

Таблица 4

Интервалы

ki

Частоты

mi

Нормирован.

интервалы

pi

npi

(mi -npi

[40,26-40,29]

9

[-,-1,23]

0,1093

8,744

0,0655

0,0075

]40,29-40,32]

17

]-1,23,-0,48]

0,2063

16,504

0,246

0,0149

]40,32-40,35]

25

]-0,48, 0,27]

0,2908

23,264

3,0137

0,1295

]40,35-40,38]

16

]0,27, 1,03]

0,2421

19,368

11,3434

0,5857

]40,38-40,44]

13

]1,03, +]

0,1515

12,12

0,7744

0,0639

Итого

80

0,8015

По таблице квантилей - распределения (Приложение 2 [1]) по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы ν = k – r –1 = 5 – 2 – 1 = 2, где k = 5; r = 2 – число параметров функции распределения, находим критическое значение = 5,991.

Вывод: Так как = 0,8015 <= 5,991, то эмпирической функция распределения согласуется с нормальным законом распределения.

7. Найдём интервальные оценки для среднего арифметического при α = 0,10; 0,05.

Найдём доверительный интервал для оценки среднего арифметического

<<

где = 40,3391, σ = 0,0398; n = 80.

Значения квантилей Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы ν = n1 = 79 и уровня значимости α/2 = 0,05 и 0,025 находим в Приложении 3 [1] t =1,645 и 1,96.

Получаем доверительные интервалы:

<< ;

40,3318 << 40,3464 при α = 0,10

С вероятностью 0,9 можно ожидать, что средний диаметр отверстий в генеральной совокупности будет находиться в интервале от 40,3318 мм до 40,3464 мм.

<< ;

40,3304 << 40,3478 при α = 0,05.

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний диаметр отверстий в генеральной совокупности будет находиться в интервале от 40,3304 мм до 40,3478 мм.

Вывод по работе: величина диаметр отверстий распределена по нормальному закону со средним значением 40,3391 мм и средним квадратическим отклонением 0,0396 мм.

Список литературы

1. Логвин А.И., Иванов В.В. Метрология, стандартизация и сертификация. Пособие к изучению дисциплины и выполнению контрольного задания. – М.: МГТУ ГА, 2004. – 32 с.

2. Логвин А.И., Епифанцева Д.А. Метрология, стандартизация и сертификация: Пособие по проведению практических занятий для студентов всех специальностей всех форм обучения. – М.: МГТУ ГА, 2006. – 28 с.