Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Контрольная работа №3. Вариант 9

..docx
Скачиваний:
28
Добавлен:
03.02.2017
Размер:
314.68 Кб
Скачать

Высшая математика.

Контрольная работа №3. Вариант 9.

Задание I.

Решить уравнение колебаний струны методом Фурье.

9. .

Решение.

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны может быть представлено как сумма бесконечного ряда:

,

где , .

Находим :

.

Интеграл берем по частям. В результате получаем:

.

Отсюда следует:

.

Находим :

.

Интеграл берем по частям. В результате получаем:

.

Вычисляем:

.

Раскрывая скобки, получаем:

.

Окончательно:

, где

,

.

Задание II.

Для данной функции комплексной переменной :

1) найти действительную и мнимую части,

2) указать область дифференцируемости функции и найти ее производную,

3) вычислить интеграл по заданной кривой .

Решение.

1). Находим действительную и мнимую части функции .

Подставляем в функцию :

.

Для данной функции получили:

– действительная часть;

– мнимая часть.

2). Определяем область дифференцируемости функции и находим ее производную.

Для данной функции проверяем условия Коши-Римана , :

; ;

; .

Условия Коши-Римана выполняются при любых значениях , . Следовательно, функция дифференцируема в любой точке комплексной плоскости .

Находим производную функции:

.

3). Вычисляем интеграл функции по заданной кривой : отрезок прямой, , .

Функция является аналитической на всей комплексной плоскости , поэтому воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница .

Получаем:

.

Задание III.

Средствами операционного исчисления решить задачу Коши.

Решение.

Пусть . По теореме о дифференцировании оригинала имеем:

;

;

.

Получаем операторное уравнение:

;

;

;

.

Находим изображение:

.

Методом неопределенных коэффициентов находим разложение полученного операторного решения уравнения в сумму простейших дробей:

;

.

Получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов:

;

;

;

.

Решение системы можно получить по формулам Крамера:

; ; ; .

Получаем:

.

Отсюда имеем частное решение:

Задание IV.

Решение.

1). Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Минске, 8 – в Гомеле и 7 – в Витебске. Какова вероятность того, что 2 студента попадут на практику в один город?

Решение.

Два любых места практики можно выбрать из общего их числа, равного 30, количеством способов, вычисляемым как число сочетаний из тридцати элементов по два: .

Пусть событие A – двум определенным студентам достались места для прохождения практики в Минске. Так как мест в Минск предоставлено 15, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию A, вычисляется как число сочетаний из 15 элементов по 2: .

Пусть событие B – двум определенным студентам достались места для прохождения практики в Гомеле. Так как мест в Гомель предоставлено 8, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию B, вычисляется как число сочетаний из 8 элементов по 2: .

Пусть событие C – двум определенным студентам достались места для прохождения практики в Витебске. Так как мест в Витебск предоставлено 7, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию C, вычисляется как число сочетаний из 7 элементов по 2: .

Следовательно, искомая вероятность:

.

2). Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдет не менее 20 раз и не более 30 раз.

При решении задачи о вероятности того, что в n испытаниях события А появилось не менее m1 раз и не более m2 раза, используют интегральную функцию Лапласа , где .

Формулу Лапласа используют, если n – велико, а р – значительное, то есть .

Имеем:

; ; ; ; .

Условие применения формулы Лапласа выполняется.

Вычисляем:

;

;

.

3). Найти числовые характеристики дискретной случайной величины, заданной законом распределения вероятностей

xi

30

42

50

61

65

pi

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Расчетная таблица:

i

xi

pi

xi·pi

(xi)2

(xi)2·pi

1

30

0,1

3,0

900

90

2

42

0,2

8,4

1764

352,8

3

50

0,3

15,0

2500

750

4

61

0,3

18,3

3721

1116,3

5

65

0,1

6,5

4225

422,5

M(X) =

51,2

M(X2) =

2731,6

Имеем:

количество значений дискретной случайной величины ;

математическое ожидание ;

дисперсия ;

; ;

среднее квадратическое отклонение .