16. Решение обыкновенных дифуров. Задача Коши.

ДУ – ур-ия, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа неизвестных переменных ДУ делятся на:

1)обыкновенные, содержащие 1 неизвестную переменную и производную по ней. 2)ДУ в частных производных, т.е. содержащие несколько независимых переменных и производных по ним, которые наз. частными. Для решения ОДУ необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производной при некоторых значениях независимой переменной, т.е. необходимы доп. усл. Если доп. усл. задаются при 1 значении независимой переменной, то такая задача наз. задачей Коши, а эти условия наз. начальными усл. Если же условия задаются при 2 и более значениях независимой переменной, то задача наз. краевой, а усл. – граничными. Задача Коши: Дано: (система) вид производной dy/dx=y’=f(x,y) – правая часть; нез. нач. усл. y(x₀)=y_0. Найти: y=f(x). При этом у(х) должна удовлетворять как ур-ию правых частей, так и нач. усл. Обычно численное решение получают, вычисляя сначала знач. производной в нач. точке, затем задают малое приращение(шаг h) и переходят к новой точке х_n+1= х_n+h. Для вычисления производной в начальной точке используются правые части [f(x,y)], т.е. положение новой точки определяется по наклону касательной, вычисленному по ДУ, т.е. геометрически процесс решения представляет собой послед-ть коротких прямоугольных отрезков, которыми и апраксимируется искомая кривая f(x,y). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.

17 Одношаговые методы решения ОДУ.М.Эйлера.Ошибки

Однош. м-д- для нахождения след (.) нужна информация только об одном предудущем шаге (Метод Рунге-Кутта, Метод Эйлера).

y’=f(x,y), где y’=dy/dx при н.у. y(x₀)=y₀

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²*y’’(x₀)/2+...

y(x₀+h)=y(x₀)+h*f(x₀,y₀)

y_n+1=y_n+h*f(x_n;y_n); n=0,1,2..

Этот метод решения основан на разложении ф-ии в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, при этом члены, содержащие h² и более, отбрасываются. Каждое последующее значение “y” находится, используя правые части заданного ДУ. Метод 1^ого порядка, ошибка имеет порядок h² (т.к. отбрасываем h² и более). Виды погрешностей:

1)погрешность округления: связанна с округл.чисел; 2)погрешность усечения: все методы полученые путем разложеня в ряд тейлора связаны с усечением рядов и разложением рядов; 3)Погрешность распространения:накопление погрешности на каждом шаге. В следствие погрешностей возникают локальная ошибки и глобальные

18 Одношаговые методы решения оду. Мод. М-д Эйлера.

Однош м-д- для нахождения след (.) нужна информация только об одном предудущем шаге. Модифицированный метод Эйлера.

Тангенс угла наклона касательной предыдущей и последующей точки не одинаковы, т.е. в вычисления на шаге h вносится погрешность. Точность метода можно существенно повысить, используя среднее значение наклона касательной в нач. и конечной точке интервала h. Это и есть смысл модифицированного метода Эйлера. В модифицированном методе Эйлера сначала оред-ся знач.ф-ии в след. точке по методу Эйлера, т.е. вычисляется y*_n+1= y_n+h*f(x_n; y_n), которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала, т.е. f(x_n+1; y*_n+1). Затем вычисляется среднее знач. между вычисленным значением производной в конце интервала и её значением в начале интервала. Таким образом получаем более точное значение y_n+1.

y_n+1= y_n+h/2(f(x_n; y_n)+f(x_n+1; y*_n+1), n=0,1,2…

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²/2*y’’(x₀)+...

y’’(x₀)=Δy’(x₀)/Δx=[y’(x₀+h)-y’(x₀)]/[(x₀+h)-x₀]

Это метод 2^ого порядка. Ошибка метода пропорциональна h³.