Электрическое поле заряженной пластины

Пример 2.9.

Область пространства, ограниченная двумя параллельными друг другу бесконечными плоскостями, расположенными на расстоянии 2а друг от друга, заряжена однородно по объему с плотностью . Используя формулировку электростатической теоремы Гаусса, покажите, что

Ось Х перпендикулярна упомянутым бесконечным плоскостям, а точка х = 0 выбрана в центре слоя. Зависимость E_x(x) представьте графически.

Решение.

В силу симметрии распределения заряда, линии напряженности перпендикулярны рассматриваемому слою и направлены от центральной плоскости слоя в обе стороны. Поэтому в качестве замкнутой гауссовой поверхности построим цилиндр, основания которого параллельны и симметричны плоскости, соответствующей положению x=0 заряженного слоя, а ось перпендикулярна ему. Согласно теореме Гаусса:

.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности , то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. А полный поток через гауссову поверхность равен сумме потоков через его основания, то есть равен

.

Используя теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля вне и внутри заряженного слоя.

При заряд, заключенный внутри цилиндрической поверхности, равен, поэтому напряженность электрического поля внутри слоя равна.

При заряд, заключенный внутри цилиндрической поверхности, равен, поэтому напряженность электрического поля снаружи слоя равна.

График напряженности проекциипоказан на Рис.8.

Рис.8

Электрическое поле заряженной нити

Пример 2.10.

Вычислить напряженность электрического поля бесконечно тонкой и бесконечно длинной прямолинейной нити, однородно заряженной электричеством с линейной плотностью l.

Решение.

Найдем напряженность электрического поляс помощью теоремы Гаусса. Наличие осевой симметрии в распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что векторнаправлен радиально к линии заряда или от нее, в зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величинаЕможет зависеть только от расстояния до заряженной нити

Е =Е( r ).

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность следующим образом. Построим цилиндр с боковой поверхностью удаленной от нити на расстояние rи основаниями, перпендикулярными к нити (Рис.9а). Поток векторачерез оба основания цилиндра равен нулю, т.к.. Поток через боковую поверхность равенЕ× S, т.к.,S- площадь боковой поверхности. Поэтому полный поток через выбранную Гауссову поверхность равен.

Заряд нити внутри рассматриваемой поверхности равен заряду отрезка нити длиной l:

Применяя теорему Гаусса, получим соотношение:

,

откуда найдем

.

График зависимости представлен на Рис.9б.

Рис.9а	Рис.9б

Электрическое поле заряженного цилиндра

Пример 2.11.

Поверхность бесконечного длинного кругового цилиндра заряжена однородно с линейной плотностью λ. Определите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике, где- проекция вектора напряженности на осьr, перпендикулярную поверхности цилиндра, с началом отсчета на его оси симметрии.

Решение.

Наличие осевой симметрии в распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что вектор направлен радиально - к линии оси цилиндра или от нее, в зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина напряженности может зависеть только от расстояния до оси цилиндра:

Е = Е ( r ).

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность следующим образом. Построим цилиндр с боковой поверхностью удаленной от оси на расстояние и основаниями, перпендикулярными к оси цилиндра. Поток векторачерез оба основания цилиндра равен нулю, т.к.. Поток через боковую поверхность равенЕ× S, т.к., S- площадь боковой поверхности. Из теоремы Гаусса следует:

Для величины проекции получим:

, еслиr<R,

, если>R.

График этой зависимости, представленный на Рис.10, характеризуется скачком величины напряженности при , что отражает идеализацию распределения заряда на геометрической поверхности.

Рис.10

Пример 2.12.

Область внутри бесконечного длинного кругового прямого цилиндра радиуса Rзаряжена однородно с объемной плотностьюρ. Определите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике, где- проекция вектора напряженности на осьr, перпендикулярную поверхности цилиндра, с началом отсчета на его оси симметрии.

Решение.

Наличие осевой симметрии в распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что вектор направлен радиально - к линии оси распределения заряда или от нее, в зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина Е может зависеть только от расстояния до оси:

Е = Е ( r )

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность следующим образом . Построим цилиндр с боковой поверхностью удаленной от нити на расстояние r и основаниями, перпендикулярными к нити. Высота цилиндра. Поток векторачерез оба основания цилиндра равен нулю, т.к.. Поток через боковую поверхность равенЕ× S, т.к., S- площадь боковой поверхности. Из теоремы Гаусса следует:

Для величины проекции получим:

при

при.

График, представленный на Рис.11 характеризуется отсутствием скачка величины напряженности поля при r=Rв отличие от случая распределения заряда на поверхности цилиндра.

Рис.11

Дифференциальная форма теоремы Гаусса Пример 2.13 В некоторой области вектор напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z прямоугольной системы координат по закону , где - известная постоянная, ,и- орты осей. Определите объемную плотность заряда в данной области. Решение. Плотность распределения заряда определяется выражением. Представляя дивергенцию в координатной форме, получим:

Пример 2.14

Вычислите дивергенцию напряженности электрического поля точечного заряда в произвольной точке пространства в декартовой системе координат.

Решение.

Локальная форма теоремы Гаусса позволяет выразить дивергенцию напряженности электрического поля через локальную плотность распределения заряда по соотношению . Плотность объемного распределения точечного заряда равна нулю в любой точке вне заряда. Следовательно,, при. Конечно же, этот результат можно получить и прямым расчетом:

так как=,=,=

36