1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Принцип суперпозиции

(примеры решения задач)

Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных зарядов

Пример 1.1

В однородном электрическом поле напряженностью закреплен точечный отрицательный заряд. В точкеA, положение которой определяется расстояниеми углом(см. рис.), модуль вектора напряженности результирующего электрического поля. Определите угол.

Решениe.

Напряженность результирующего поля согласно принципу суперпозиции равна

,

гденапряженность поля, создаваемого точечным зарядомqв точкеА(рис.)

.

По теореме косинусов

.

Учитывая, что по условию задачи, получим для искомого угла:

.

Пример 1.2

Два одинаковых небольших металлических шарика с зарядами и, находящихся на расстоянии l = 0,2 м друг от друга притягиваются с силой H. После того как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояниеl, они стали отталкиваться с силой Н. Найдитеи.

Решение.

Так как в начале шарики притягивались, то их заряды противоположны по знаку и по закону Кулона

(1)

После того, как шарики были приведены в соприкосновение, заряды перераспределяются, и на каждом из шариков заряд, согласно закону сохранения заряда, становится равным Поэтому они стали взаимодействовать с силой

(2)

Уравнения (1) и (2), дают систему уравнений для неизвестных и

решив которую, находим искомые заряды

Кл,

Кл.

Заметим, что в соответствии с симметрией задачи возможны и такие значения зарядов: Кл,  Кл.

Пример 1.3

В вершинах квадрата, со стороной а,помещены четыре зарядаq(см. рис.).

Найдите напряженность электрического поля на перпендикуляре, восстановленном из центра квадрата, как функцию его длины x.

Решение.

Из принципа суперпозиции полей, результирующее поле, создаваемое зарядами, равно:

=, где.

Задача сводится к суммированию четырех равных по величине, но разных по направлению векторов .Найдем векторную сумму полей положительного и отрицательного зарядов 1 и 3. Из подобия треугольников на рисунке получим:

, т.е..

Аналогично, складывая поля 2-го и 4-го зарядов найдем . Для сложения векторовиучтем их равенство по величине и взаимную перпендикулярность. По теореме Пифагора, получим

.

Пример 1.4

На рисунке изображена одна из линий напряженности электрического поля двух неподвижных точечных зарядов и. Известно, что нКл. Определите.

Решение.

Введем систему координат, выбрав ее, как показано на рисунке, т.е. ось xпроходит через заряды, а осьyпроходит через «вершину» линии поля. Так как вектор поля направлен по касательной к линии поля, то в точке «вершины»Е_y= 0. По принципу суперпозиции для поля в этой точке имеем:

, где

,

.

После подстановки и преобразований, найдем, взяв значения геометрических параметров из рисунка в условии задачи a₁ =2, a₂ = 8, b = 4:

нКл.

Электростатическое поле заряженных тел (непрерывное распределение зарядов)

Пример 1.5

На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ,имеющего форму дуги окружностирадиуса R с центром в точке О, приходится заряд . Найдите модуль напряженности электрического поля в точкеО, если угол АОВ равен .

Решение.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а осьубыла симметрично расположена относительно концов дугиАВ(рис.).

Разобьем стержень на элементарные участки длины dl с зарядом, который можно рассматривать как точечный.

Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом этого элементарного участка стержня в точке 0:

,

где - радиус вектор, направленный от элементаdlк точке, напряженность которой вычисляется. Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль осиу(рис.). Запишем выражение для проекции:

.

Приведем правую часть последнего уравнения к одной переменной интегрирования – углу (учитывая, что)

.

Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от доE, а правую отдо, найдем модуль напряженности электрического поля, создаваемого в точкеОдугойАВ:

.

Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета поля, создаваемого частью дуги окружности в ее центре :

а) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого 1/4 части дуги окружности радиуса Rв ее центре:

.

б) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким полукольцом радиуса Rв его центре:

.

в) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким кольцом радиуса Rв его центре:

.

г) Модуль напряженности электрического поля в центре тонкого кольца радиуса R, если половины этого кольца заряжены разноименными зарядами с линейными плотностями зарядаи.

Напряженность электрического поля, создаваемого каждой из половинок равна:

,

.

Согласно принципу суперпозиции найдем результирующее поле в центре

.

Из рисунка видно, что направления векторов исовпадают, поэтому результирующее поле в центре такого кольца равно

.