2 семестр ЭКТ / Примеры решений / 2.12Примерырешения

12. Колебательный контур

(Примеры решения задач)

Пример 1. Определите величины и в общем решении (5) уравнения свободных гармонических колебаний, если в начальный момент времени заряд и ток определяются величинами и .

Р е ш е н и е. Из выражения (5) для тока следует:

.

Тогда, полагая , получаем уравнения:

,

из которых находим:

.

Пример 2. Покажите, что в отсутствие омического сопротивления в контуре полная энергия колебаний постоянна.

Р е ш е н и е. Для энергии электрического поля, локализованного в конденсаторе, и энергии магнитного поля, локализованного в катушке, имеем:

,

откуда:

.

Пример 3. Рассмотрите апериодический режим работы контура.

Р е ш е н и е. а) случай . Общее решение уравнения (2) имеет вид:

,

где a и b – постоянные, зависящие от начальных условий. Графики для разных a и b приведены на рис.8.

Рис. 8

б) случай . Общее решение уравнения (2) имеет вид:

.

Пример 4. Определите зависимость энергии от частоты в случае затухающих колебаний и получите выражение для добротности.

Р е ш е н и е. Рассмотрим зависимость колебаний заряда от времени в виде:

,

тогда ток от времени зависит как:

.

Для энергии колебаний:

.

После преобразований получаем:

,

где в последнем выражении - начальная энергия, кроме того, оставлены члены первого порядка по малой величине .

Изменение энергии за период, начиная с момента времени t, есть:

,

где - энергия колебаний к моменту времени t. Обратим внимание, что это выражение равно потере энергии на омическом сопротивлении

.

Воспользовавшись определением (13), получим:

.

Этому выражению при малом затухании также можно придать следующий вид:

,

где - так называемое характеристическое сопротивление контура. При нахождении добротности в зависимости от данных можно пользоваться любым из приведенных выражений. Однако сопротивление обычно неизвестно, поэтому на практике пользуются специальными приборами - метрами.

Пример 5. Определите зависимость энергии от частоты в случае вынужденных колебаний.

Р е ш е н и е. Принимая во внимание, что

и

,

для полной энергии

после преобразований находим:

.

Первое слагаемое в последнем выражении зависит от времени и определяет среднее значение энергии контура:

.

Эта зависимость характеризуется максимумом при (рис.9).

Рис. 9

Мерой ширины (и остроты) максимума принято считать диапазон частот , на границах и которого энергия вдвое меньше максимальной (амплитуда колебаний меньше максимальной ). Это дает

,

а, принимая во внимание определение добротности, получаем:

.

Таким образом, резонансная кривая тем острее, чем больше добротность контура. Эта особенность колебательного контура избирательно откликаться на частоту внешнего воздействия (или, как говорят, фильтрующие свойства) лежат в основе его многочисленных применений в радиоэлектронике.

Контрольные вопросы

1. Зависит ли от частоты активное сопротивление электрической цепи?

2. Как зависят от частоты сопротивление катушки индуктивности и сопротивление конденсатора?

3. Нарисуйте эквивалентную схему конденсатора, учитывающую неидеальность диэлектрика.

4. Нарисуйте эквивалентную схему катушки индуктивности, учитывающую её активное сопротивление.

5. На сколько процентов отличается частота свободных колебаний в контуре с добротностью Q = 10 от собственной частоты контура?

6. Каково время установления вынужденных колебаний в колебательном контуре с добротностью Q = 50 ? Частота вынужденных колебаний равна резонансной частоте контура _р=300 кГц.

167