7. Электроемкость проводников и конденсаторов

(примеры решения задач)

Уединенный проводник

Пример 7.1.

Найдите емкость шарового проводника радиуса R₁, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости   и наружного радиуса R₂ .

Решение.

Способ 1. Сообщим проводнику заряд и найдем напряженность электрического поля в окружающем пространстве. Величина поля электрического смещения равна для , поэтому:

.

Напряжение проводника представим следующим выражением:

.

Величину емкости получим по определению из выражения:

.

Способ 2. Проводящий шар, окруженный диэлектриком, рассмотрим как систему последовательно соединенных сферических конденсаторов (см. рисунок). Используя результат упражнения 7.4, для величин емкостей получим: , . Емкость всей системы определится выражением

,

которое, конечно же, совпадает с результатом, полученным в 1 способе.

Плоский конденсатор

Пример 7.2.

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния x до одной из обкладок по закону , где ₁ - постоянная, d - расстояние между обкладками. Площадь каждой обкладки S. Найдите емкость конденсатора.

Решение.

Представим конденсатор, заполненный неоднородным диэлектриком, как бесконечную систему последовательно соединенных элементарных конденсаторов, емкость которых равна . Емкость всей системы определится выражением:

, из которого получим:

.

Сферический конденсатор

Пример 7.3.

Найдите емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как , где .

Решение.

Способ 1.

Как и в предыдущем примере, сферический конденсатор с неоднородным, но сферически симметричным распределением диэлектрика можно представить как систему последовательно соединенных элементарных сферических конденсаторов с емкостями и найти емкость системы как .

Способ 2.

Величина поля электрического смещения при этом будет равна, а напряженность этого поля определится выражением Величина напряжения, при этом, будет равна , а величина емкости .

Цилиндрический конденсатор

Пример 7.4.

Найдите емкость цилиндрического конденсатора длины l, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как , где .

Решение. Представим цилиндрический конденсатор, как последовательно соединенные элементарные конденсаторы с емкостью . Величина емкости всей системы элементарных конденсаторов найдется из соотношения

. Отсюда окончательно получим ответ:

.

Пример 7.5.

Цилиндрический конденсатор имеет диаметр внешней обкладки .Каким должен быть диаметр внутренней обкладки , чтобы при заданном напряжении на конденсаторе напряженность электрического поля на внутренней обкладке была минимальной?

Решение. Величину напряженности электрического поля на внутренней обкладке найдем из следующих соотношений . Подстановка величины емкости цилиндрического конденсатора (см. упражнение 7.5), приводит к выражению:

.

Для нахождения экстремума найдем производную знаменателя (т.к. величина числителя имеет фиксированное значение)

.

Приравнивая ее нулю, найдем . В том, что это соответствует минимуму , можно убедиться, взяв вторую производную и определив ее знак при .

Соединение конденсаторов

Пример 7.6.

Четыре конденсатора с емкостями и соединены так, как показано на рисунке. Какому соотношению должны удовлетворять емкости конденсаторов, чтобы разность потенциалов между точками и была равна нулю?

Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд одинаков, то выполняется соотношение

.

Аналогичное соотношение должно выполняться для конденсаторов 3 и 4:

.

Для того, чтобы между точками и отсутствовала разность потенциалов, необходимо, чтобы осуществлялись равенства и . Разделив почленно соотношения выражающие равенства зарядов и сокращая на равные разности потенциалов, получим

.

Взаимная емкость

Пример 7.7.

Очень далеко друг от друга находятся два проводника. Емкость одного из них C₁, его заряд Q₁. Емкость второго проводника C₂, заряд Q₂. Первоначально незаряженный конденсатор емкостью С подключают тонкими проводами к этим проводникам. Найдите заряд q конденсатора C.

Решение. После подключения конденсатора и установления электростатического равновесия заряды и потенциалы проводников и обкладок конденсатора будут такими как показано на рисунке. Потенциалы удаленных проводников будут связаны с зарядами на них соотношениями: , . Для напряжения на конденсаторе запишем соотношение:

,

из которого величина заряда конденсатора может получена алгебраически и представлена в виде:

.

93