4. Электрический диполь (примеры решения задач)

Пример 4.1.

Покажите, что дипольный момент системы зарядов не зависит от выбора начала отсчета, если полный заряд системы равен нулю.

Решение.

Если сместить начало отсчета на вектор, то положения зарядов относительно нового начала будут:

,

а величина нового дипольного момента , т.к. полный заряд системы.

Пример 4.2.

Покажите, что потенциал диполя в дипольном приближении описывается выражением:

.

Решение.

Для элементарного диполя, показанного на рис.1, запишем выражение для электрического потенциала:

Рис.1

При направления векторов и очень близки и , а.

Для потенциала получим в этом приближении:

.

Если диполь не элементарный, то его дипольный момент всегда можно представить как результирующий момент системы элементарных диполей, т.е. и, используя полученное выражение для потенциала элементарного диполя, а также свойство аддитивности потенциала, получим:

.

Пример 4.3.

Получите формулу, описывающую электрическое поле точечного диполя.

Решение.

Найдем выражение для поля, используя выражение для потенциала диполя и соотношение . Учитывая, что оператор- дифференциальный, получим:

=

Для градиентов в этом выражении найдем:

,

и после подстановки в выражение для поля получим

.

Пример 4.4.

Найдите потенциальную энергию диполя во внешнем электрическом поле .

Решение.

Рассмотрим элементарный диполь во внешнем поле. Энергия диполя равна суммарной энергии зарядов, образующих диполь, в этом внешнем поле:

.

Пример 4.5.

Получите выражения для момента сил, действующих на точечный диполь.

Решение.

Рассмотрим точечный элементарный диполь во внешнем поле (рис.2).

Рис.2

В силу малости размеров диполя, полев области диполя можно считать однородным и со стороны внешнего поля на заряды диполя действует пара сил с плечом . Момент этой пары сил по величине равен и направлен перпендикулярно плоскости рисунка. Эти свойства момента сил описываются векторным соотношением:

.

Пример 4.6.

Получите выражение для силы, действующей на диполь в неоднородном электрическом поле.

Решение.

Результирующая сила, действующая на заряды элементарного диполя равна :, где - разность векторов напряженности поля, действующих на положительный и отрицательный заряды диполя (рис.3). Выражение для силы представим в виде:

.

Рис.3

Пример 4.7.

Точечный электрический диполь с моментом находится во внешнем, однородном электрическом поле, напряженность которого равна , причем . В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей результирующего поля, охватывающих диполь, является сферой. Найдите ее радиус.

Решение.

Точечный диполь представим на рис.4 вектором , напряженность внешнего однородного поля вектором . Ось , начало которой совпадает с положением диполя, направим вдоль этих векторов.

Рис.4

Пусть сферическая поверхность радиуса r, охватывающая диполь является эквипотенциальной. Потенциал в точках сферы складывается из потенциала, создаваемого диполем и потенциала создаваемого внешним однородным полем .

.

Для вычисления потенциала произвольной точки сферы, введем угол между диполем и направлением на точку . Тогда потенциал точечного диполя в точке равен:

.

Для вычисления потенциала внешнего поля , используем связь между потенциалом и напряженностью поля:

.

Заметим, что потенциал убывает в направлении вектора и эквипотенциальными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные вектору .

Тогда потенциал в точках сферы имеет вид:

.

Выражение для потенциала в точках сферы радиуса сферы в общем случае зависит от угла , а это противоречит предположению, что сфера - эквипотенциальная поверхность. Для эквипотенциальности точек сферы необходимо, чтобы в выражении для потенциала коэффициент при обращался в ноль:

,

Решая полученное уравнение относительно , получим:

.