3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Luks2

Подставляя в формулу (8.4) выражение радиуса (8.5), получим

По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любого стационарного состояния. Так, например, для состояния с n = 1 W1 ≈ 21,68 · 10- 19 Дж = - 13, 55 эВ.

Рис. 8.1

В состоянии с n = 1 атом может находиться сколь угодно долго без воздействия извне. Это состояние называют основным состоянием. Все другие состояния атома (n > 1) - возбужденные. Для перевода атома из основного состояния в возбужденное состояние необходимо затратить энергию извне, т. е. возбудить атом.

Из формулы (8.6) следует, что энергетический спектр электрона в атоме водорода является дискретным и сходящимся (рис. 8.1а). Энергия электрона на стационарном

уровне со значением главного квантового числа n, равного ∞, равна нулю (W∞ = 0). Электрон, обладающий положительным значением энергии, покидает ядро, происходит ионизация атома.

В возбужденном состоянии атом может находиться ограниченное время. Из возбужденного состояния атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, излучая квант энергии с частотой

используют значение R' = R/c = 1,097 · 107 м-1).

Спектр излучения атома водорода можно разбить на ряд групп (серий) спектральных переходов (рис. 8.1а и б). Совокупность переходов на состояния с энергией

51

Если nк = 2, то возникает серия Бальмера:

Если nк = 3, то возникает серия Пашена:

Учитывая, что длина волны спектрального перехода λ = с/v, нетрудно убедится, что серия Лаймана находится в ультрафиолетовой области спектра, линии серии Бальмера

– в видимой области, а серии Пашена – в инфракрасной области спектра.

Теория Бора дала формулу, позволяющую объяснить спектр атомов водорода видимой области, известный к тому времени, предсказала существование спектров в ультрафиолетовой и инфракрасной областях, которые вскоре были обнаружены.

8.2. Волны де Бройля.

Опыты, подтверждающие волновые свойства частиц

Успешно объясняя спектры атома водорода, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить спектры многоэлектронных атомов, так как она была внутренне противоречива.

В 1927 г. Луи де Бройль высказал предположение, что не только электромагнитное излучение, но и частицы материи с массой покоя m0 ≠ 0 , движущие со скоростью v ,

обладают корпускулярно-волновым дуализмом. Длина волны, соответствующая движущей частице, рассчитывается по формуле

где р – импульс частицы. Это предположение в то время выглядело слишком смелым, так как тела большой массы не проявляли волновых свойств.

В связи с высказанной де Бройлем идеей был проведен ряд экспериментов по обнаружению волновых свойств у микрочастиц.

Девиссоном и Джермером эксперименты проводились по схеме, аналогичной опытам по дифракции рентгеновских лучей от поверхности кристалла. С помощью

электронной пушки формировался пучок электронов с постоянной скоростью v, который

посылался под углом скольжения на поверхность кристалла. Интенсивность отраженного пучка электронов I измерялась приемником (рис. 8.2а).

Рис. 8.2

52

При фиксированном угле скольжения непрерывно изменяли напряжение U на электронной пушке. При этом оказалось, что зависимость интенсивности I от U носит

не монотонный характер (рис. 8.2б). Максимумы интенсивности наблюдались на одинаковом расстоянии друг от друга, что можно объяснить с помощью формулы де Бройля (8.8):

Как и для рентгеновских лучей, положение максимумов и минимумов интенсивности зависит от длины волны.

Томсоном и Тартаковским пучок электронов, имеющих постоянную скорость, посылался на тонкий лист металла, который можно рассматривать как трёхмерную дифракционную решетку. Электроны, пройдя через фольгу, давали на экране дифракционную картину.

Аналогичные опыты, проведенные с другими микрочастицами (протонами, атомами, молекулами), подтвердили наличие волновых свойств у потока микрочастиц.

8.3.Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Вотличие от классических частиц, микрочастицы обладают волновыми свойствами, поэтому для них не всегда применимы такие классические понятия, как координата, импульс, время, энергия, траектория движения и т. д. В связи с этим возникают ограничения на применимость этих понятий при описании движения микрочастиц. Эти ограничения устанавливаются соотношениями неопределенностей Гейзенберга, согласно которым произведение неопределенностей (∆А, ∆В) двух сопряженных величин (А, В) не может быть меньше постоянной Планка :

A B

Сопряженными называют величины, которые не могут иметь одновременно точных значений. Сопряженными, например, являются координата микрочастиц и ее импульс, энергия частиц в квантовом состоянии и время жизни этой частицы в рассматриваемом состоянии. Для этих сопряженных величин соотношения неопределенностей Гейзенберга можно записать в виде:

x px ,

квантовом состоянии; ∆t – время жизни частицы в данном квантовом состоянии.

Чтобы убедиться в справедливости формул (8.9), рассмотрим пример прохождения

электронов через щель шириной а (рис. 8.3). Если пропустить через щель большее число электронов, из-за наличия у них волновых свойств, на экране можно обнаружить дифракционную картину, состоящую, как и для света, из центрального максимума и очень слабых максимумов более высокого порядка.

53

Лекция 9

9. 1. Вероятностный смысл волны де Бройля. Волновая функция

волновые свойства, мы можем рассчитать, как будет меняться интенсивность света на экране с изменением координаты х.

Если рассматривать свет как поток частиц (фотонов), то для фотона мы не можем определить, в какую точку на экране он попадет. Для фотона можно рассчитать только

вероятность попадания его в ту или иную точку (w). И эта вероятность w ~ I ~ A2. Чтобы реализовать эту вероятность попадания фотонов в ту или иную точку на экране, необходимо пропустить большое число фотонов через щель. То есть получается, что волновые свойства света проявляются через статистические закономерности.

К такому же выводу мы придем, если в рассматриваемом эксперименте будем использовать поток частиц (волн де Бройля).

Чтобы описать распределение вероятности нахождения частиц в пространстве в

квантовой механике используют волновую функцию ψ(х,у,z,t) (пси функцию). Пси функцию определяют следующим образом:

dw x, y, z,t 2 dV ,

dw – вероятность того, что частица находится в некотором элементарном объеме dV, пропорциональна x, y, z,t 2 .

Физический смысл имеет не ψ-функция, а ее квадрат модуля, который определяет вероятность обнаружения частицы в данном объеме (точка):

x, y, z, t 2 ddwV .

9.2. Уравнение Шредингера

Мы уже отмечали, что если частица обладает волновыми свойствами, которыми нельзя пренебречь в рассматриваемой задаче, то поведение такой частицы нельзя описывать уравнениями классической физики. Нужны новые уравнения, которые бы учитывали наличие волновых свойств. Одно из таких уравнений было получено Шредингером в 1926 г.

Оно имеет следующий вид:

55

где i 1 - мнимая единица; m – масса частицы; U(x,y,z,t) – потенциальная энергия

Лапласа, его действие на волновую функцию сводится к взятию вторых частных производных по координатам. В левой части уравнения берется частная производная от

волновой функции по времени t.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными. Его значение в квантовой механике сравнимо с уравнением Ньютона в классической механике и Максвелла в электродинамике.

Обычно рассматриваются силовые поля, которые явно не зависят от времени t. Их называют стационарными полями. В таких полях потенциальная энергия частицы не

зависит от времени U = U(x,y,z), а полная энергия частицы остается постоянной (W = U + Wк = const). Волновую функцию в этом случае можно представить в вида произведения координатной ее части на временную:

Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) принимает вид

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шредингера имеют решения, удовлетворяющие требованиям конечности, непрерывности и однозначности не при любых значениях полной энергии W, а лишь при определенных. Эти значения энергии называют собственными значениями, а соответствующие им волновые функции – собственные функции задачи.

Решая задачу, с использованием уравнения Шредингера, находят собственные значения энергии рассматриваемой частицы и соответствующие им волновые функции, которые и позволяют определить вероятность нахождения частицы с определенной энергией в интересующей области пространства.

9.3.Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме

сбесконечно высокими стенками

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси

х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы

стенками: х = 0 и х = l.

Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис.

9.2а): она равна нулю при 0 ≤ х ≤ l и обращается в бесконечность

Рис. 9.2

56

при х < 0 и х > l.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

Поскольку пси-функция зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом:

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а следовательно, и функция ψ за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψдолжна быть равна нулю и на границы ямы, т. е.

В области, где ψтождественно не равна нулю уравнение (9.3), имеет вид:

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:

ψ'' + ω2ψ = 0.

Решение такого уравнения имеет вид:

Из условия Ψ(0) = 0 получаем

Ψ(0) = А sin α = 0,

откуда следует, что αдолжна быть равна нулю. Далее должно выполняться условие:

Ψ(l) = А sin ωl = 0,

что возможно лишь в случае, если

Из уравнений (9.6) и (9.8) найдем собственные значения энергии частицы:

57

Спектр энергии оказался дискретным. На рис. 9.2б изображена схема энергетических уровней.

Оценим расстояние между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы l. Разность энергии двух соседних уровней равна

Если взять m порядка массы электрона (9,1· 10-31 кг), а l порядка 0,1 м (электрон в сосуде), получим Wn 10 16 n эВ. Столь густо расположенные энергетические уровни будут

восприниматься как сплошной спектр энергии. Однако совсем иной результат получится для электрона, если область, в которой он движется, будет порядка атомных размеров

(~ 10-10 м). В этом случае Wn 102 n эВ, так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Подставив в (9.7) значение ω, найдем собственные функции задачи:

n х Asin nl x .

Для нахождения Авоспользуемся условием нормировки, которое в данном случае запишется следующим образом:

A2 l sin2 n xdx 1.

0 l

В результате получим, что А = 2 / l . Таким образом, собственные функции имеют вид:

Графики собственных функций изображены на рис. 9.3а.

На рис.9.3б приведена плотность вероятности обнаружения частицы на различных

расстояниях от стенок ямы, равная 2 . Из

графика видно, что, например, в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Отметим, что

согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Лекция 10

10.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ширины l (рис. 10.1). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (W .> U0), частица беспрепятственно проходит над барьером. Если же W меньше U0, то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы Рис. 10.1 согласно квантовой механике. В квантовой механике с помощью уравнения Шредингера

58

определяется коэффициент прозрачности потенциального барьера D, который равен отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Для рассматриваемой задачи находят следующее выражение:

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, находящаяся в туннеле, должна обладать отрицательной кинетической энергией. Однако туннельный эффект – явление квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс. Аналогично, тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. А координата и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. Таким образом, хотя полная энергия частицы W имеет вполне определенные значения, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Wк и U. Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности кинетической энергии внутри туннеля становится беспочвенным.

10.2. Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона в классической и квантовой механике

Представим себе, что электрон в атоме движется

со скоростью v по орбите радиуса r (рис. 10.3). Как любая движущая частица, электрон обладает

Движущийся по орбите электрон создает электрический ток, сила которого

59

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, характеризуется магнитным моментом. Направление вектора связано с направлением тока правилом правого винта (рис.

10.3). Модуль магнитного момента равен произведению силы тока на площадь контура S :IS. Так как S = πr2, получаем 12 evr .

Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту L , т. е. к ее моменту импульса, называют гиромагнитным отношением. Для электрона на

В квантовой механике (из-за наличия волновых свойств) модуль орбитального момента импульса принимает дискретные значения. Используя уравнение Щредингера можно показать, что

L ( 1) ,

где l – орбитальное квантовое число, которое может принимать следующие значения:

l = 0, 1, 2, … , n – 1.

Проекция этой физической величины на направление поля в пространстве определяется формулой:

L z m ,

где магнитное квантовое число ml принимает значения:

ml = 0, ±1, ±2 … , ± l .

Равенство L z и L запрещено соотношениями неопределенностей. Действительно, если бы выполнилось равенство отмеченных величин, произведение неопределенностей

координаты и импульса в направлении поля (оси z) было бы равно 0.

В квантовой механике определенные значения имеют L z и L . Проекции L на другие направления остаются неопределенными. Учитывая сказанное, вектор орбитального момента импульса L можно представить как вектор, который равномерно

вращается вокруг оси z, образуя с этой осью угол θ (рис. 10.4а), определяемый соотношением

При заданном значении l ml может принимать (2l + 1) значение.

60