3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Luks2

преломления среды, в которой распространяется луч. На участке АО луч 1 распространяется в воздухе, для которого nВ = 1. В формулу для оптической разности хода введено слагаемое λ0/2, так как вектор E напряженности луча 1 при отражении от

оптически более плотной среды изменяет свою фазу на π или луч 1 теряет полволны. λ0 – длина волны в вакууме. Подставляя параметры пленки и угол падения в формулу (4.3), для оптической разности хода можно окончательно записать:

Для данного примера условия наблюдения максимумов и минимумов будут выглядеть таким образом:

Как видно из формулы (4.4), оптическую разность хода лучей ∆ можно изменять

либо изменением угла падения i, либо изменяя толщину пленки d. Рассмотрим полученные интерференционные картины.

Если на пленку одинаковой толщины d падает монохроматический свет под одним

и тем же углом i и выполняется условие максимума, то пленка в отраженных лучах будет светлой (имеющий цвет падающей длины волны). При выполнении условия минимума отраженных лучей не будет. Свет не отражаясь, проходит через пленку.

Если на пленку с линейно изменяющейся

толщиной d (клин) (рис. 4.7) падает монохроматический свет под одним и тем же

углом i, то в отраженных лучах будут наблюдаться полосы равной толщины. Если на

этот клин направить белый свет, то максимумы превратятся в спектры.

Впределах каждого максимума цвет будет плавно меняться от красного к фиолетовому.

4.4.Практическое применение явления интерференции. Интерферометры

Просветление оптики. На границе раздела воздух – стекло отражается 4% энергии световой волны. Поэтому при наличии в оптическом приборе достаточного количества линз, зеркал, преломляющих тел до наблюдателя доходит малая часть первоначальной энергии световой волны.

31

пластины В и А и попадает в зрительную трубу. Пластинка В необходима для того, чтобы создать одинаковые условия для лучей 1 и 2. Если зеркала 1 и 2 будут взаимно перпендикулярны, то на экране в зрительной трубе будет наблюдаться светлое или темное пятно. Для создания картины интерференции одно из зеркал немного наклоняют, это приводит к изменению оптической разности хода лучей, и на экране будут наблюдаться полосы равной толщины.

Если, например, вместо зеркала 1 поместить деталь, шероховатость которой надо определить, то по искажению линий интерференции можно определить степень шероховатости.

Если надо определить размер h малого предмета, то совместив один из концов этого предмета с зеркалом 2, перемещают это зеркало до другого конца предмета, считая число полос прошедших мимо указателя зрительной трубы. Тогда

h 0 N

2 ,

где N – число темных полос, прошедших мимо указателя.

Лекция 5

5.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля

Под дифракцией света понимают явление непрямолинейного распространения света, проникновение его в область геометрической тени, огибание им препятствий. Основные закономерности явления дифракции можно понять на основе принципа Гюйгенса – Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля каждая точка фронта волны является источником вторичных когерентных волн. Этот принцип сводит явление дифракции к интерференции вторичных когерентных волн. Между явлениями интерференции и дифракции нет принципиального различия: если рассматривать наложение малого числа когерентных волн – это будет интерференция, если большого – дифракция.

Покажем, как можно объяснить явление дифракции с помощью принципа Гюйгенса – Френеля. Пусть на преграду, в которой имеется щель, падает плоская волна. На рис. 5.1 она изображена в тот момент времени t1, когда фронт волны занимает положение в этой щели. Найдем положение фронта волны в следующий момент времени t2 = (t1 + ∆t). Он отстоит от первоначального положения на достаточно малый интервал времени, за который вторичные волны проходят расстояние R, значительно меньшее размеров щели d (R = c∆t << d).

Рис. 5.1

Каждая точка фронта волны в соответствии с принципом Гюйгенса – Френеля является источником вторичных волн, которые за время ∆t проходят расстояние R, и фронт вторичной волы будет представлять собой сферу. Положение фронта волны в момент t2 можно найти как огибающую фронтов вторичных волн (рис.5.1). Учитывая, что скорость волны в каждой точке фронта волны перпендикулярна к ней, можно видеть, что имеются участки фронта волны, которые обеспечивают проникновение света в область геометрической тени. Если размеры этих участков фронта волны будут соизмеримы с

33

размерами щели, то тогда явление дифракции света будет наблюдаться; если же они будут существенно меньше размеров щели, то явление дифракции, хоть и будет существовать, но будет незаметным.

На рис. 5.2 показано в определенный момент времени положение фронта волны, излучаемой точечным источником S монохроматического излучения (λ0). Найдем результирующую амплитуду волн, приходящих от всех точек фронта волны в точку наблюдения Р. В этой точке будет иметь место результат сложения вторичных когерентных волн, испускаемых каждым малым участком фронта волны.

Рис.5.2

Для расчета результирующей амплитуды используем метод разбиения фронта волны на зоны, предложенный Френелем. Для этого из точки наблюдения проводят сферы

зоны Френеля. При этом зоны Френеля обладают следующими свойствами.

1.Волны, приходящие в точку наблюдения от соседних зон Френеля имеют оптическую разность хода равную λ0/2 или разность фаз, равную π.

2.При не слишком больших значениях номера m зоны площади зон примерно одинаковы.

3.Для амплитуды волн, приходящих от разных зон Френеля, в точку наблюдения, справедливы следующие соотношения:

C увеличением номера зоны будет уменьшаться амплитуда волны, приходящей в точку наблюдения, от рассматриваемой зоны.

Введение зон Френеля позволяет найти результирующую амплитуду в точке наблюдения через амплитуду волн от всех зон Френеля.

АР А1 А2 А3 А4 А5 ...

34

В формуле (5.1) учтено, что при значении N, стремящемуся к бесконечности, вкладом зоны Френеля с номером N можно пренебречь, по сравнению с вкладом от первой зоны Френеля.

Итак, в точке наблюдения результирующая амплитуда всех вторичных волн, испущенных от всех точек фронта волны, равна половине амплитуды вторичной волны, приходящей в точку наблюдения от первой зоны.

Метод зон Френеля позволяет предложить способы для получения значений амплитуды в точнее наблюдения, превышающих значение А1/2. Так, если закрыть непрозрачным экраном все зоны Френеля, кроме первой, то тогда можно увеличить амплитуду результирующей волны в два раза (АР = А1), а интенсивность – в четыре раза.

Для дальнейшего увеличения АР можно на пути волны поставить зонную пластинку, которая закрывает все четные зоны Френеля, что приводит к следующему результату:

АР А1 А3 А5 А7 ...

Максимальное увеличение амплитуды АР можно получить с помощью фазовой зонной пластинки, которая изменяет фазу волн, идущих в точку наблюдения от четных зон Френеля на значение, равное π:

АР А1 А2 А3 А4 А5...

5.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Рассмотрим конкретный пример расчета дифракционной картины с использованием метода зон Френеля. Точечный источник монохроматического излучения посылает волну на преграду, в которой имеется круглое отверстие (рис. 5.3а). Необходимо ответить на вопрос, что наблюдается на экране в точке О, расположенной против источника излучения.

Разобьем видимую часть фронта волны на зоны Френеля. Пусть отверстие открывает первые i зон. Суммируя знакопеременный ряд, получим следующее выражение для амплитуды результирующей волны

Рис. 5.3

35

Как видно из полученного выражения, здесь возможны два случая.

1. Если число i мало и нечетное, то тогда в точке О будет наблюдаться светлое пятно, так как Аi ≈ А1 и, следовательно, АО A21 A2i A1.На экране будет наблюдаться

дифракционная картина, состоящая из светлых (окрашенных в один цвет) и темных колец

(рис. 5.3б).

2. Если же число зон будет малым и четным, то тогда в точке будет наблюдаться темное пятно. На экране, как и первом случае, будет наблюдаться дифракционная картина с темным пятном в центре (рис. 5.3в).

Дифракционная картина будет отсутствовать, если отверстие открывает меньше чем одну зону Френеля. В этом случае на экране наблюдается монотонная картина падения интенсивности света от центра к краям (рис. 5.3г). Если же отверстие открывает достаточно большое число зон, то и в этом случае дифракционной картины практически не будет. На экране будет наблюдаться светлое изображение отверстия.

5.3. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Пусть плоская монохроматическая волна (λ0) падает перпендикулярно на поверхность щели шириной а (АВ = а). Между экраном и щелью располагается собирающая линза, которая собирает все параллельные между собой лучи, идущие под углом φ к первоначальному направлению падения лучей на щель, в одну точку на поверхности экрана (рис. 5.4а).

Для расчета дифракционной картины, наблюдаемой на экране, используем метод зон Френеля. Отметим, что на линии АВ оптическая разность хода вторичных волн, испускаемых каждой точкой фронта волны, равна нулю, после линии АС она не изменится.

Рис. 5.4

36

Поэтому оптическая разность хода возникает при переходе от линии АВ к АС, то есть отрезок ВС определяет оптическую разность хода для крайних лучей, идущих под углом φ.

Разделим отрезок ВС на участки длиной λ0/2, затем проведем через границы этих участков прямые, параллельные линии АС. Это приведет к делению фронта волны на прямоугольные полоски одинаковой ширины, которые и представляют собой зоны Френеля. Для соседних зон оптическая разность хода волн будет равна λ0/2, что и является главным свойством зон Френеля.

Если на отрезке АВ укладывается четное число зон Френеля, то на экране в точке М наблюдается темная полоска, то есть условием наблюдения минимумов дифракционной картины является уравнение:

(5.3)

Если на отрезке АВ укладывается нечетное число зон Френеля, то в точку наблюдения приходит свет только от одной зоны, которая и дает на экране светлую полосу. Условия наблюдения максимумов дает уравнение:

На рис. 5.4б приведена дифракционная картина, отражающая зависимость интенсивности I не от координаты точек экрана, а от значения sin φ. В центре картины, для угла φ = 0, наблюдается центральный максимум нулевого порядка. Как показывают

расчеты, интенсивность первых (m = 1) максимумов в 22 раза меньше центрального максимума.

Представляет интерес рассмотреть влияние ширины щели на дифракционную картину. Если ширина щели а меньше длины волны λ0, то картина дифракции не наблюдается (рис. 5.4в), так как λ0/a >1 (условия минимумов не выполняются).

Если ширина щели значительно превышает длину волны падающего излучения, то на экране наблюдается изображение этой щели (рис. 5.4г), а по краям этого изображения наблюдаются чередование близко прилегающих друг к другу полосок малой интенсивности.

5.4. Дифракционная решетка

Рассмотрим плоскую периодическую структуру из параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками. На практике обычно роль щелей выполняют прозрачные участки стеклянных пластинок, разделенных непрозрачными штрихами, наносимыми с помощью алмазных резцов.

Такие структуры и называют дифракционными решетками. Современные технологии позволяют изготовлять решетки, лучшие из которых имеют свыше 1000 штрихов на длине в 1 мм при полном числе штрихов до 200000. Суммарная ширина щели а и непрозрачного промежутка b называется периодом решетки d = (a + b).

Пусть на решетку с N щелями (рис. 5.5) падает плоская монохроматическая

Рис. 5.5

37

волна. За решеткой располагается линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Каждая из щелей дает на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 5.4б. Картины от всех щелей придут на одно и то же место экрана. Если бы колебания, приходящие в точку М от разных щелей, были не когерентными, результирующая картина от N щелей отличалась бы от картины, созданной одной щелью, лишь тем, что интенсивности во всех точках возросли бы в N раз.

В дальнейшем мы будем полагать, что радиус когерентности падающей волны превышает длину решетки, поэтому колебания от всех щелей можно считать когерентными. Волны же идущие от двух соседних щелей будут отличаться по фазе колебаний на величину

2 d sin ,

где λ – длина волны в данной среде, d sin φ – разность хода для лучей, идущих под углом φ, например, от крайних точек соседних щелей (рис. 5.5). При наложении когерентных волн происходит перераспределение световой энергии в фокальной плоскости линзы

(рис. 5.5).

Рис. 5.6

Основная часть световой энергии попадает в главные максимумы. Условие главных максимумов определяет выражение:

d sin n n 0, 1, 2,... .

Интенсивность главных максимумов в N2 раз больше чем интенсивность в этом направлении φ от одной щели. Между главными максимумами наблюдаются вторичные максимумы, разделенные добавочными минимумами. В дифракционной картине для

направлений φ, удовлетворяющих условию asinφ = mλ0, наблюдаются главные минимумы.

На рис. 5.6 приведено распределение интенсивности света решеткой с N = 4 и

d/a = 3. При весьма большом числе щелей картина на экране будет представлена узкими очень яркими полосками, разделенными почти темными промежутками, ибо вторичные максимумы очень слабы по сравнению с главными. Расстояние между главными максимумами возрастает с уменьшением периода решетки d = (a + b).

38