3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Luks2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

Часть 2. Волновые процессы. Волновая и квантовая оптика. Квантовая механика. Многоэлектронные атомы

Методические указания для студентов дневной формы обучения машиностроительного факультета

Составитель Р. К. Лукс

Ульяновск

УлГТУ

2013

1

УДК 53 (076) ББК 22.2я7

К32

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Конспекты лекций по физике. В 2 ч. Ч. 2. Волновые процессы. К32 Волновая и квантовая оптика. Квантовая механика.

Многоэлектронные атомы : методические указания для студентов машиностроительного факультета / сост. Р. К. Лукс. – Ульяновск :

УлГТУ, 2013. – 67 с.

Сборник конспектов лекций по физике составлен в соответствии с типовой программой общего курса физики и федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлениям подготовки:

19020165 – Наземные транспортно-технологические комплексы,

19060062 – Автомобили и автомобильное хозяйство,

15070062 – Машины и обработка металлов давлением,

15190062 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств.

Конспекты лекций включают теоретический материал, позволяющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию о физических явлениях и закономерностях, необходимых для развития физического мышления и подготовки научной базы, без которой невозможно успешное решение профессиональных задач.

УДК 53 (076) ББК 22. 2я7

© Лукс Р. К., составление, 2013 © Оформление. УлГТУ, 2013

2

3

4

Лекция 1

1.1.Волны. Плоские и сферические волны

Волновые процессы наблюдаются в упругих средах. Под упругой средой понимают среду, между частицами которой действуют упругие силы. Если какую либо частицу среды заставить совершать колебания, то за счет действия упругих сил в колебательное движение приходят сначала ближайшие к ней частицы, затем соседние с этими частицами и т. д. Так в колебательный процесс вовлекаются все новые и новые частицы, то есть в среде распространяется упругая волна. Этот процесс сопровождается переносом энергии от источника колебаний, причем переноса частиц в направлении движения волны не происходит – они совершают колебания около своих положений равновесия.

Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды совершают колебания вдоль вектора скорости распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно к нему.

Введем характеристики, описывающие волновой процесс, на примере гармонической волны, в которой частицы среды совершают гармонические колебания

около своих положений равновесия с циклической частотой ω.

1.Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошел волновой процесс.

2.Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

3.Период волны – время одного полного колебания частиц среды.

4.Длина волны λ – расстояние, которое проходит волна за один период, или минимальное расстояние между частицами среды, совершающими колебание с разностью фаз ∆φ = 2π.

Форма волновой поверхности и фронта волны зависят от условий возникновения и распространения волны. По виду волновых поверхностей выделяют плоские и сферические волны.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать с помощью метода, называемого принципом Гюйгенса. Согласно Гюйгенсу,

каждая точка среды, до которой дошла волна, становится источником вторичных волн, и фронт каждой вторичной волны представляет собой сферу, огибающая фронтов вторичных волн определяет новое положение фронта волны. На рис. 1.1 фронт волны в некоторый момент времени t занимает положение 1, а через промежуток времени ∆t – положение 2.

Уравнением упругой волны называют функцию ξ(х, у, z, t), которая определяет смещение любой частицы среды с координатами (х, у, z) относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t.

Выведем уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох. Как известно, в плоскости фронта волны – уОz – и параллельных ей плоскостях, все частицы совершают колебания в одинаковых фазе, поэтому в уравнении волны будет отсутствовать зависимость от координат у и z: ξ(х, у, z, t) = ξ(х, t). Пусть в момент времени t = 0 частицы с координатой х = 0, расположенные в плоскости уОz, начинают совершать колебания по закону

5

Частицы с координатой х > 0 начнут совершать колебания только после прихода к

ним волны. Для этого требуется время τ = х/v, и поэтому уравнение колебаний для таких точек примет вид:

Уравнение (1.2) представляет собой уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох. В эту формулу входит

волновое число k, которое связано с циклической частотой ω, скоростью распространения волны v и ее длиной волны соотношением

скорость движения фиксированного значения фазы волны – фазовую скорость. Действительно,

что согласуется с формулой (1.3).

Волновым уравнением называют уравнение, решением которого является уравнение волны ξ(х, у, z, t). Найдем волновое уравнение для волновой функции (1.2). Если взять частные производные по координате хи времени t от ξ(х, у, z, t):

то тогда волновое уравнение принимает вид:

Оказывается, что решением этого уравнения, кроме плоской гармонической волны, бегущей в положительном направлении оси Ох, является также плоская гармоническая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ох

ξ(х, t) = A cos (ωt + kx +φ0).

Для плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, которое можно задать радиусом-вектором r , уравнение волны и волновое

Можно показать, что волновое уравнение (1.6) удовлетворяет также и уравнению сферической волны

6

Это уравнение отличается от уравнения плоской гармонической волны тем, что для сферической волны амплитуда А будет зависеть от расстояния r между точечным источником колебаний и рассматриваемой точкой в пространстве, а именно амплитуда

где А0 – амплитуда волны на расстоянии 1 м от источника сферической волны.

1.2. Поток энергии волны

При распространении волн частицы среды не переносятся вместе с волной. Процесс распространения волны в каком-либо направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Допустим, что S часть фронта плоской волны распространяющейся в направлении оси Ох в некоторый момент времени t

(рис. 1.2). По истечении времени ∆t фронт волны переместится на расстояние ∆l = v∆t, вследствие чего частицы среды в объеме ∆V = S∆l приводятся в

колебательное движение. Они будут обладать энергией

∆W = w∆V = wvS∆t,

Величина dФ есть поток энергии волны через площадку S (S ориентируют перпендикулярно к направлению распространения волны). Плотностью потока энергии называют энергию, проходящую за единицу времени через единицу площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны:

Распространяющиеся волны характеризуют понятием интенсивность волны I, которая

пропорциональна среднему значению плотности потока, а, следовательно, I ~ A2 .

В сферической волне, вызванной точечным источником колебаний, плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника колебаний. Для доказательства допустим, что источник колебаний ежесекундно отдает в

окружающую среду одну и ту же энергию, равную W. Эта энергия равномерно

7

распределяется по шаровой поверхности фронта волны S = 4πr2, поэтому через единицу площади этой поверхности в единицу времени проходит энергия

1.3. Групповая скорость волны

Все реальные волны в той или иной степени отличаются от синусоидальных волн, так как энергия колебательного движения частично превращается в другие виды энергии, что ведет к уменьшению амплитуды колебаний по мере распространения волны.

Уравнение плоской реальной волны можно записать в такой форме:

где A0 е-γх – амплитуда волны, γ – коэффициент затухания. Эту волну можно представить как волну, полученную от наложения двух или большего количества синусоидальных волн с близкими частотами. Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом.

В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси Ох.

Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы φ10 = φ20 = 0, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к дугу:

ξ1 = A0 cos (ω1t – k1x ), ξ2 = A0 cos (ω2t – k2x ).

Для результирующей волны

ξ = ξ1 + ξ2 = 2А0 cos(∆ωt - ∆kx) cos(ωt - kx),

Таким образом, результирующая волна является плоской волной, циклическая

частота ω и волновое число k которой равны полусумме соответственно циклических частот и волновых чисел синусоидальных волн, образующих пакет. Однако амплитуда

этой волны не постоянна, а зависит от координаты хи времени t:

где ∆ωt - ∆kx = φА – фаза амплитуды распространяющейся волны. Дифференцируя выражение для φА в предположении, что φА= const, получим:

u dxdt k ,

Или в пределе, когда ∆ω, а следовательно, и ∆k стремятся к нулю:

8

этом случае в точке С будет наблюдаться максимум интерференции, то есть А = А1 + А2.

геометрическую разность хода волн). Максимумы интерференции наблюдаются в тех точках, для которых геометрическая разность хода равна целому числу длин волн.

Минимумы наблюдаются для точек, в которые волны приходят

2.2. Стоячие волны

Стоячей волной называют волну, образующуюся при наложении двух встречных когерентных волн. Рассмотрим случай наложения двух плоских волн,

распространяющихся вдоль оси Ох в положительном ξ1(х, t) и отрицательном ξ2(х, t) направлениях:

Для уравнения стоячей волны в соответствии с формулой сложения колебаний можно записать:

зависит от координаты х выбранной точки пространства, изменяясь от минимального значения, равного нулю (Аст = 0), до максимального значения, равного 2А (Аст = 2А).

Найдем координаты точек пространства хп, в которых наблюдается максимальная амплитуда колебаний частиц среды, их называют пучностями стоячей волны, и координаты узлов стоячей волны (ху), для них амплитуда колебаний частиц среды равна нулю:

10