3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

d

φ ∆

Линза

φ

Для вычисления суммарной амплитуды необходимо найти сумму

j=0

которая вычисляется следующим образом. Введем вспомогательную сумму

j=0

Умножим (5.11) на мнимую единицу i и сложим с суммой (5.10). Используя формулу Эйлера cosψ + i sinψ = exp(iψ) и формулу для суммы геометрической прогрессии, получим

Запишем комплексную дробь в тригонометрическом виде:

Здесь Z – модуль дроби, квадрат которого выражается как

Таким образом, результирующая напряженность (5.9) записывается как

Используя это выражение и формулу (1.19), получаем следующее выражение для интенсивности света в точке Р:

I0 = CA2b2 , γ = (π / λ) sinϕ, δ = (2π / λ) d sinϕ

Первый множитель обращается в нуль при значениях углов ϕ , удовлетворяющих условию b sin ϕ = λn ( n = 1, 2, 3,..., nmax ). Второй множитель принимает максимальное значения N , при углах, удовлетворяющих условию

Для этих направлений угла ϕ амплитуды колебаний световых векторов выражаются как

= sinγb ,

A A1 γb N

где А1 – амплитуда колебаний в точке Р, возбуждаемых одной щелью. Таким образом, интенсивность света при наличии N

щелей увеличивается в N 2 раз по отношению к интенсивности дифракционного максимума от одной щели. Условия (5.12) называются главными, а сами максимумы I называются главными максимумами. Номера m, определяющие угловые направления максимального усиления света, называются порядком главных интенсивностей.

Дифракционная картина распределения интенсивности света на экране при пропускании монохроматического света через дифракционную решетку и собирающую линзу представлена на

83

рис.5.11. Как следует из предыдущих рассуждений, интенсивность света в точках максимумов в N 2 раз больше, чем соответствующая интенсивность от одной щели. По этой причине дифракционная решетка обладает высокой разрешающей способностью, то есть можно наблюдать дифракционные максимумы от очень слабых источников.

I

–2λ/b –λ/b λ/b 2λ/b sinφ m = –2 m = –1 m = 0 m = 1 m = 2

Рис. 5.11. Распределение интенсивности при прохождении света через дифракционную решетку и собирающую линзу на экране наблюдения

Рассмотрим случай, когда роль линзы играет хрусталик человеческого глаза при малых ϕ, так что sinϕ ~ tgϕ =

= xm / (l + l1) ~ xm / l, l >> l1 (рис. 5.12). Подставляя это соотношение в (5.13), для длины волны получаем

Рис. 5.12. Определение длины волны свет визуальным методом. Случай l >> l1, l >> xm. Обозначения: 1 – осветительная щель, 2 – экран наблюдения, 3 – дифракционная решетка

84

При пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный – наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Схематическая картина спектров разных порядков на экране наблюдения при пропускании белого света через дифракционную решетку представлена на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Дифракционная картина, образующаяся после прохождения белого света через дифракционную решетку

В заключении отметим, что интерференция от дифракционной решетки будет наблюдаться только при выполнении условия

в противном случае уравнение (5.13) не имеет решения.

5.8. Дисперсия и разрешающая сила дифракционной

решетки

Характеристиками любого спектрального прибора являются дисперсия и разрешающая сила.

Угловой дисперсией называется величина

Df = dϕ / dλ,

где ϕ =ϕ(λ) – угловая координата спектральной линии ( красной, желтой и т.д.). Используя соотношение d sinϕ = mλ, получим

Из определения следует: чем больше угловая дисперсия, тем больше угловое расстояние между соседними спектральными линиями, то есть тем выше разрешающая сила прибора.

Линейной дисперсией называется величина

D = dx /dλ,

где x – координата спектральной линии на экране, отсчитываемая от оптической оси. Можно показать, что при малых углах

85

ϕ имеет место D = l Df, где l – расстояние от дифракционной решетки до собирающей линзы ( до глаза наблюдателя ). Разрешающей силой спектрального прибора называют величину

где δλ – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно. Считается, что два близких максимума воспринимаются раздельно, если середина одного максимума совпадает с краем другого (критерий Рэлея – см. рис. 5.14).

λ1 λ2

Рис. 5.14. К критерию Рэлея по определению разрешающей силы спектрального прибора.

Вычислим величину R, исходя из критерия Рэлея. Пусть имеются две волны с длинами λ1, λ2 . Угловые координаты сосед-

них максимумов m–го порядка определяются из условий

С другой стороны, для волны с длиной λ1 между максимумами m и m+1 порядков существует N – 1 минимумов. Угловые координаты этих минимумов определяются из условий sin (Nδ1 /2) = 0, sin (δ1/2) ≠ 0, откуда

δ1/2 = (k/N)π + mπ , k = 1, 2, 3,..., N – 1

Полагая k = 1, находим угловую координату ϕ1кр, определяющую край m–го максимума

Введем δϕm = ϕ1кр – ϕ1m и будем считать углы малыми. Тогда из

(5.18) следует ϕ1m = (λ1/d)m, ϕ2m = (λ2/d)m, а из (5.19) получаем

(δϕm = (λ1 /d)/N. Согласно предположению Рэлея,ϕ2m = ϕ1кр =

86

5.9. Фазовые решетки

Основным недостатком амплитудной дифракционной решетки является концентрация световой энергии в спектре нулевого порядка. Критерий (5.20) показывает, что разрешающая сила R максимальна в спектре высших порядков, которых интенсивность света I сильно ослабевает. Максимальные значения R и I в спектрах высших порядков можно получить с помощью фазовых решеток, в которых щели заменены профилированными отражающим (рис. 5.15, а), либо прозрачным профилями (рис. 5.15, б) .

m = – 1

m = – 1

Рис. 5.15. Фазовые решетки: а – отражающая, б – прозрачная; Профиль подбирается таким образом, чтобы интенсивность света была максимальна в спектрах высших порядков

5.10.Приложение теории дифракции света к

рентгеноструктурному анализу и голографии 5.10.1. Рентгеноструктурный анализ

Как известно, кристаллы представляют собой упорядочено расположенные атомные или молекулярные системы. Плоскости, проходящие через центры атомов, называются атомными плоскостями. Оказывается, что падающие электромагнитные волны могут отражаться от атомных плоскостей и для определенных длин волн и направлений падения образуют максимумы интенсивностей. Впервые это явление наблюдалась в 1913 г. в

87

опытах Бреггов, Лауэ, Фридриха и Книппинга. Существуют два подхода: дифракционная теория Лауэ и интерференционный подход Бреггов.

Дифракционная теория основывается на рассеянии эл.-м. волн

o

на атомах. Если d – межатомные расстояния ( обычно d ~ 1 A), λ

– длина электромагнитной волны, то в силу известного условия появление дифракционной картины d > λ [ см. (5.15)] можно сделать вывод о том, что дифракция от кристаллов может наблюдаться только для излучения с достаточно малой длиной волны, например, рентгеновских лучей, длины волн которых

o

составляют 0,01 – 100A. Получим условие наблюдения дифракционных максимумов.

Рис. 5.16. Дифракция фотонов на атомах

Пусть φ, φ’ – углы падения и наблюдения (рис. 5.16). Из рисунка видно, что оптическая разность хода лучей 1, 2, рассеянных на соседних атомах и попавших в один и тот же момент времени в приемник (фотопластинку), выражается как = d cos φ + d cos φ’, поэтому условие максимума интенсивности на малом участке фотопластинки запишется как

где m – номер дифракционного максимума (m = 0, 1, 2, …, mmax). В этом подходе считается, что схождения лучей в точку нет, поэтому для наблюдения дифракционных максимумов необходимо использовать узкие пучки.

Интерференционная теория Бреггов и Вульфа осно-

вывается на предположении о том, что эл.-м. волны отражаются

88

от атомных плоскостей (рис. 5.17). Из рисунка видно, что ход рентгеновских лучей

Рис. 5.17. Дифракция рентгеновских лучей на атомных плоскостях

практически совпадает с картиной движения лучей при интерференции света от тонких пленок. Поэтому для дифракционных максимумов можно использовать соотношение (4.27) в виде

которое называется дифракционным условием Бреггов –Вульфа. Нетрудно видеть, что дифракционные условия (5.21) и (5.22)

совпадают при φ = φ’, поэтому эти теории считаются равноправными.

Рентгеноструктурный анализ используется для определения межатомных расстояний, а тем самым и определения кристалллической структуры. Существуют два метода рентгеноструктурного анализа: метод Лауэ, в котором используется цельный образец кристалла (рис. 5.18, а), и метод порошка (рис. 5.18, б).

Рассмотрим подробнее метод порошка. Исследуемый кристалл измельчается так, чтобы отдельные частицы сохраняли свойства кристалла и были настолько мелкими, чтобы ориентация их поверхностей относительно направления падающих рентгеновских лучей была равновероятной. Тогда среди частиц кристалла обязательно найдутся такие, атомные плоскости которых удовлетворят условиям (5.22). Лучи максимальной интенсивности от мелкой кристаллической частицы (кристаллита) будут образовывать локальное почернение на фотопластинке, и так как ориентация частиц равновероятна, то почернения сольются в концентрические окружности. Углы φj между направлением падения лучей и линий, соединяющие окружности и поверхности частиц связаны с углами скольжения αj соотно-

шениями αj = φj /2 ( j = 1, 2, 3,…) (рис. 5.18, в).

89

Для определения кристаллической структуры используют так называемый метод Эвальда, посредством которого можно найти положения узлов так называемой обратной решетки и межплоскостные расстояния (рис. 5.19). Строится отрезок АВ длиной 1/λ и заканчивающийся в каком–либо узле обратной решетки. Далее, строится окружность радиуса 1/λ с центром в точке В. Если точка С, находящаяся на окружности, совпадает с узлом обратной решетки, то АС является вектором обратной решетки и его длина равна 1/d. Действительно, из ∆ АВС силу (5.22) следует АС = 2 AB sin α = 2 (1/λ) sin α = 1/d. Меняя длины волн λ и углы α, можно определить все вектора обратной решетки, а тем самым структуру кристалла.

= U

1

С2

~9 В

=U

С2

Рис. 5.18. Методы регистрации дифракционных углов. Обозначения:

1– рентгеновская трубка (А – анод, К – катод, С – спираль накала),

2– коллиматоры, 3 – кристалл, 4 – ионизационная камера, 5 – мелко– кристаллический порошок, 6 – фотопластинка

90