3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

5. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

5.1.Понятие дифракции света. Принцип Гюйгенса – Френеля

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Под резкими неоднородностями обычно подразумеваются края экранов, отверстия или препятствия, размеры которых сравнимы с длиной волны света.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн от нескольких источников, принято называть интерференцией. Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции когерентных волн, возбуждаемых одним источником, принято называть дифракцией.

Различают два вида дифракции. Дифракция параллельных лучей называется дифракцией Фраунгофера, в остальных случаях

– дифракцией Френеля. Изучение дифракции света основано на принципе Гюйгенса – Френеля, математическое обоснование которого было дано Кирхгофом.

Формулировка принципа Гюйгенса – Френеля. Каждый элемент dS волновой поверхности S (рис. 5.1) является источником вторичных когерентных волн, так что элемент dS Индуцирует в произвольной точке Р, напряженность электрического поля, выражаемое как

где ψS – фаза волны на S; r – расстояние от dS до точки Р; dSn – проекция площади dS на плоскость, перпендикулярную к направлению луча, соединяющего dS и Р; A0 – амплитуда колебаний на S, a – постоянный коэффициент пропорциональности.

Обоснование формулы (5.1) производится следующим образом. Представим напряженность электрического поля в комплексной

71

Рис. 5.1. К вопросу о принципе Гюйгенса – Френеля

форме E = A exp(iω t), где A – комплексная амплитуда поля, так что реальное поле определяется вещественной частью Re(E) комплексного поля. Подставляя комплексное поле в волновое уравнение (1.5), получаем уравнение Гельмгольца

A + k2A = 0

Используя фундаментальное решение этого уравнения u = exp(−ikr)/r , где r имеет тот же смысл, что и в (5.1), поле в

произвольной точке Р за экраном можно найти по формуле

Грина

водная вдоль нормали n (см. рис. 5.1).

Будем считать, что за экраном поля нет, то есть на поверхности экрана со стороны области, где находится точка Р, поле обращается в ноль, а на волновой поверхности амплитуда поля

72

Здесь учтено, что производная по нормали связана с производной вдоль направления вектора r соотношением ∂/∂n = cosϕ ∂/ ∂r . Дифференцируя по r, получим

Используя это соотношение, можно ввести понятия ближней и дальней дифракционных зон: в области расстояний kr << 1 дифракционная область называется ближней, kr >> 1 – дальней. В дальней дифракционной области имеем

= −ikA0 e−ikr

dA 4π r dSn

Очевидно iA0 = A0 exp(iψs), где A0, ψs – амплитуда и фаза волны на волновой поверхности S. Теперь, умножая dA на exp(iω t) и беря реальную часть от полученного соотношения, получаем формулу (5.1), в которой a = k/4π .

По существу формулировкой принципа Гюйгенса – Френеля заканчивается общая часть теории дифракции. Расчеты интенсивностей дифракционных полей основываются на использовании формулы (5.1) путем суммирования напряженностей электрических полей от всех элементарных участков поверх-

Если этот интеграл можно вычислить в явном виде, то есть записать выражение для E в виде ПМ-волны E = Acos(ωt −kr +α) ,

интенсивность света в точке Р вычисляется по формуле (1.19): I = СА2 , С = 0.5 ε0 / μ0 . Ниже даются примеры расчета дифракционных полей по изложенной методике.

5.2. Дифракция Френеля от края пластинки

Пусть свет параллельным пучком падает нормально на край непроз-рачного экрана так, как указано на рис. 5.2. Введем систему координат так, как указано на рисунке (начало поместим на краю экрана, а ось x перпендикулярно ).

73

y

Рис. 5.2. Дифракция Френеля от края пластинки

Вычислим интенсивность света в точке Р, считая, что она расположена достаточно близко к оси x:

где xp, zp – координаты точки Р, причем, ради простоты считаем, что точка Р находится на плоскости (x, z). В данном случае

ψs =α0 , r = [y2 + (z − zp )2 + хp2 ]1/ 2

где y, z – координаты точки местоположения элемента поверхности dS на волновой поверхности S, совпадающей с полуплоскостью (y, z | z > 0). Вычисления проведем в предположении, что основной вклад в интенсивность дает часть поверхности S, расположенной вблизи края экрана: |y| < L1 , z < L2 , причем L1 ~ L2 << хp . Тогда, с учетом (5.2), можно считать

dSn = dydz, A0 = const, r = xp + 1/2(y2 + ( z – zp)2)/ xp

Интенсивность в точке Р запишется как

Здесь a = a0 – k xp, а угловые скобки обозначают операцию усреднения по времени. Размеры L1 , L2 слабо влияют на значение этого интеграла, поэтому можно положить L1 = L2 = ∞.

График зависимости I от zp представлен на рис. 5.3, из которого видно: во–первых, свет заходит за край, во–вторых, интенсивность света осциллирует вблизи края экрана.

I

Рис. 5.3. Распределение интенсивности света при дифракции от края

Рассмотренный пример показывает, что расчет интенсивности света по формуле (5.1) представляет довольно сложную математическую задачу. Существует упрощенный способ, называемый методом зон Френеля.

5.3. Метод зон Френеля. Дифракция от круглого отверстия

Этот метод применяется для систем, имеющих ось симметрии. Суть метода рассмотрим на примере дифракции света от круглого отверстия при испускании света точечным источником Q, находящимся на линии симметрии QР ( рис. 5.4, а ).

Вычислим интенсивность в точке Р, лежащей на оси симметрии. Для этого разобьем сферическую волновую поверхность S на участки так, чтобы расстояния bm от внешнего края m–й зоны до точки Р выражалось как

В этом случае колебания, приходящие в точку Р от внешних краев двух соседних зон, отличаются по фазе на π .

Упражнение. Доказать это утверждение.

75

Рис. 5.4. Дифракция Френеля от круглого отверстия: а) метод расчета б) фотография изображения дифракционной картины от экрана с малым круглым отверстием

Участки волновой поверхности S, находящиеся между линиями разбиения, называются зонами Френеля. Площади зон Френеля для не слишком больших m одинаковы и выражаются как

Рассматривая треугольники QBmF и BmPF, находим радиус зон Френеля в виде

Число зон m* , размещающихся на волновой поверхности, определяется из условия радиуса последней зоны Френеля радиусу отверстия R : R =rm* , где m* – номер последней зоны Френеля.

Приближенно можно считать, что напряженности электрического поля в зонах Френеля постоянны, а в силу того, что фазы соседних зон отличаются на π, значения напряжен-ностей поля в соседних зонах имеют противоположные знаки. Поэтому результирующая амплитуда в точке Р будет выражаться как

Для не слишком больших m можно считать A1 ~ Am, поэтому из (5.5) следует:

76

A ~ A1, m* – нечетное; A = 0, m* – четное.

Таким образом, при нечетном числе зон в точке Р будет яркое пятно, при четном числе зон – тень.

Отметим, что отсутствие экрана эквивалентно случаю больших

чисел m. В этом случае с учетом Am= (Am–1 + Am+1)/2 из (5.5) следует, что A ~ A1/2, поэтому яркость пятна при наличии экрана

с отверстием (в случае нечетного числа зон) в ~ 4 раза больше, чем при отсутствии экрана.

5.4. Дифракция от круглого диска

Если вместо темного экрана с отверстием на пути лучей поместить круглый диск радиуса R0, то при R0 ~ λ за диском на экране также возникнет дифракционная картина, состоящая из чередующихся светлых и темных полос. Если диск закрывает m зон Френеля, то амплитуда в точке Р будет выражаться как

A = Am+1 – Am+2 + Am+3 – ..... = Am+1/2,

Отсюда видно, что в центре экрана будет светлое пятно при любом радиусе диска.

5.5. Зонные пластинки

Метод зон Френеля позволяет управлять интенсивностью света посредством изменения фазовых соотношений между вторичными волнами. Так, если в круглом отверстии все четные (или нечетные) зоны непрозрачны (говорят, что на отверстие наложена маска), то в точке Р будет наблюдаться многократное усиление интенсивности света (рис. 5.5, а). Действительно, в этом случае в сумме (5.5) останутся члены одного знака, что и означает увеличение интенсивности в ~ (m*/2)2 раз, где m* – число членов суммы (5.5) или число зон Френеля. В этом случае маску называют амплитудной зонной пластинкой. Для того, чтобы все члены суммы (5.5) имели одинаковый знак, можно поместить в отверстие пластинку с кольцевыми ступенями равной высоты так, как показано на рис. 5.5, б. В этом случае маску называют фазовой зонной пластинкой. Зонные пластинки имеют широкое применение, например, в светофорах. Радиусы зон Френеля в конструкции светофора, изображенным на рис.5.6, выбираются

77

из условия того, чтобы максимальное усиление света было на большом расстоянии b >> а. Устремляя в (5.4) b → ∞, получаем rm = aλ m .

• •

Рис. 5.5. Амплитудная (а) и фазовая (б) зонные пластинки

3 4

света (лампа), 3 линзы, 4 – фазовая зонная пластинка. Светофор обладает замечательным свойством: на достаточно большом расстоянии от него интенсивность света вдоль оси симметрии максимальна и практически не изменяется с изменением b

5.6. Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на достаточно длинную щель (ее длина значительно больше ее ширины) падает плоская монохроматическая волна (рис. 5.7). Будем считать, что между щелью и экраном расположена плоская собирающая линза, при этом ее оптическая ось совпадает с линией симметрии, а экран расположен в фокальной плоскости. В этом случае линза будет собирать плоскопараллельные лучи, находящиеся в плоскости рисунка и распространяющиеся под углом ϕ к оптической оси в одну точку Р. Вычислим интенсивность света в точке Р. Принцип Гюйгенса–

78

Френеля в случае плоскопараллельного пучка лучей записывается следующим образом:

dE = A cos ( ω t – ψ (x)) dx,

где A – амплитуда на волновой поверхности, совпадающей с плоскостью щели, dx – ширина малого участка на волновой поверхности (см. рис. 5.6); ψ (x) – фаза волны в точке x на

волновой поверхности, где расположен малый участок dx.

b x dx

φ

(х)

φ

l

Рис. 5.7. Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть фаза волны в точка O равна α 0. Тогда фаза в точке с коор-

динатой x равна ψ (x) =α0 + (2π / λ)[s0 + (x)], где (x) = xsinϕ , s0 – длина луча, выходящего из левого края щели (см. рис. 5.6). Используя четность косинуса и k = 2π /λ, можно записать

0

= A sinγγb cos(ωt – k s0 –γ b + α 0)

Используя формулу (1.19), из (5.6) для интенсивности света получаем

Зависимость интенсивности I от sinϕ изображена на рис. 5.8, из которого видно, что на экране возникают чередующиеся полосы светлых и темных пятен, причем угловые координаты центров темных полос определяются из условия γ b = πm, или

Так как sin ϕ < 1, то из (5.7) следует, что данная теория спра-

ведлива для полос с номерами m < b/λ. Отсюда следует, что дифракционные полосы возникают только в том случае, если размеры щели больше длины волны света b > λ.

I

–2λ/b –λ/b λ/b 2λ/b sin φ

Рис. 5.8. Интенсивность света на экране при дифракции от щели

Рассмотрим теперь случай, когда роль линзы играет хрусталик человеческого глаза (рис. 5.9), а угол ϕ настолько мал, что можно считать sinϕ ~ tgϕ. Глаз человека воспринимает парал-

лельные лучи как выходящие из бесконечности, и так как на пути лучей находится экран с щелью, то глаз воспринимает параллельный пучок света как источник на экране. Определим расстояние xm от оси симметрии до точки на экране, где будут наблюдаться

Хрусталик

Рис. 5.9. Дифракционная картина от щели обусловленная собирающим действием хрусталика человеческого глаза

80