3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

Решение. Пусть на фронте АО2 падающей волны фаза постоянна так, что вдоль j–го луча Еj = Аj cosα (j = 1, 2). Обозначим через τ = δ/c время прихода фронта АО2 в щель О1, где δ = d sinβ, d = |О1О2 |. В произвольный момент времени t световые вектора в щелях О1, О2 будут выражаться как

Е1 = А1 cos(ω1t +α),

Е2 = А2 cos[ω2 (τ + t) +α] = А2 cos(ω2t +α +Δα), Δα = ω2τ (4.1)

То есть волна, испускаемая щелью О2 опережает по фазе волну, испускаемую щелью О1 на величину Δα = (ω2/c) d sinβ. Обозначим через tj – время прихода волн, испускаемых из щелей Оj, в точку наблюдения Р ( j = 1, 2 ). Время tj складывается из времени прохождения волны в воздухе, равное (sj – lj)/c и времени прохождения волны в пластинке lj/vj = nj lj/c, так что

Величины Lj, называются оптическими длинами лучей, они складываются из суммы геометрических длин, умноженных на соответствующие показатели преломления.

Считаем для определенности t2 > t1. Волна 2, испущенная

Чтобы волны 1, 2 достигли точки Р в один и тот же момент времени t2, волна 1 должна быть испущена из О1 с запаздыванием, то есть в момент времени t + t, t = t2 – t1. Тогда она достигнет точки Р в тот же момент времени t2 с напряженностью

Результирующее поле в точке Р есть векторная сумма Е= Е1 + Е2, и для квадрата напряженности электрического поля получим

cosψ1 cosψ 2 = 1/2[cosδψ + cos(ψ 1+ψ 2)], δψ = ψ2 – ψ1 ,

51

Величина называется оптической разностью хода двух лучей. Для вычисления необходимо уметь вычислять оптические длины лучей L1, L2. Можно сформулировать правило: оптические длины двух когерентных лучей вычисляются от точек на лучах, где волны имеют одинаковые фазы, до точки их слияния. Начальные точки обычно берутся на волновой поверхности, где фаза волны постоянна.

Выражение (4.6) показывает, что интенсивность I в точке Р может больше или меньше суммарной интенсивности I1 + I2 от каждой щели за счет третьего члена, то есть может наблюдаться интерференция. Найдем условия, при которых наблюдается интерференция. Введем характерное изменение частоты источника Δω = max| ω2 – ω1|, и характерное время изменения частоты

то временной член в (4.7) можно опустить и разность фаз в точке Р на временах 0 < t < t0 не зависит от времени и выражается как

Неравенство (4.8) называется условием выполнения временной когерентности. Временную когерентность можно определить как условие, при котором разность фаз двух волн не зависит от времени.

При выполнении (4.8) выражение для интенсивности (4.6) можно записать в виде

при этом ω1 ≈ ω2 = ω. Величина γ12 называется коэффициентом временной когерентности. Выражение (4.10) показывает, что

52

интерференция будет наблюдаться при не нулевом коэффициенте когерентности

γ12 ≠ 0 (4.11)

Это условие выполняется, например, если обе волны имеют одинаковую поляризацию A1 ↑↑ A2.

Рассмотрим теперь вопрос об интенсивности света в точке Р при выполнении условий (4.8), (4.11). Из (4.10) следует, что максимум интенсивности имеет место при cosδψ = 1, то есть

ω/c = k = 2π/λ0 (λ0 – длина волны света в вакууме) можно записать в виде

где оптическая разность хода двух лучей определяется соглас-

но (4.3), (4.7) как

Принципиальным вопросом является вычисление распределения максимумов и минимумов интенсивности света на экране наблюдения. Будем определять положение точки Р координатой x, направленной так, как указано на рис. 4.1. Из РО1В1 и РО2В2 получаем

положены достаточно близко. Это обеспечивает, во–первых, возможность визуального наблюдения интерференционных полос и, во–вторых, пренебречь изменением интенсивности света вдоль

При этом были отброшены члены порядка (d/l)4. Из последних равенств следует: s2 – s1 = x d/l. Подстановка этого выражения в

53

(4.12) дает координаты точек xm, где будут наблюдаться максимумы интенсивности света:

Номер m называется порядком интерференционного мак-

симума. Например, m = 0 – нулевой прядок, m = ± 1 – первый порядок и т. д.

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсив-

ности света называется расстоянием между интерференцион-

ными полосами, а расстояние между соседними минимумами интенсивности света – шириной интерференционной полосы. В

данном случае расстояние между полосами и ширина полосы совпадают и равны

Так как длины волн весьма малы (λ0 ~ 0,5 мкм), то для визуального наблюдения интерференционных полос необходимо, чтобы выполнялось условие l/d >> 1, то есть источники были бы расположены достаточно близко друг к другу. Формула (4.17) имеет важное прикладное значение: по измеренному значению b и известным значениям l, d можно найти длину волны света λ.

Если интенсивность света обоих источников одинакова и равна Io, то можно получить, что распределение интенсивности света на экране определяется как

Соотношения (4.16), (4.17) дают возможность проанализировать распределение интенсивности света на экране наблюдения в различных случаях.

1. Свет падает нормально и пластинок нет: β = 0, l1 = l2 = 0. Тогда интерференционный максимум нулевого порядка находится на пересечении линии симметрии с экраном (рис. 4.2, а).

54

β

l

Рис. 4.2

2. Свет падает нормально и есть одна пластинка:β = 0, l1 # 0, l2= 0. Интерференционная картина смещается целиком в сторону расположения пластинки на расстояние x0 = (n1 −1)l1 (рис. 4.2, b).

3.Свет падает под углом β и пластинок нет: l1 = l2 = 0. Интерференционная картина смещается по направлению падения лучей на величину x0 = lsinβ (рис. 4.2, с).

Пространственная когерентность. Понятия “плоская моно-

хроматическая волна” (ПМВ) и “точечный” источник света являются математическими приближениями. Аппроксимация ПМВ справедлива, если радиус кривизны фронта волны значительно больше характерных внешних размеров (радиусов линз или отверстий, размеров щелей, предметов и т. д.). Источник света принимают точечным, если его размеры значительно меньше расстояния до предметов (тех же линз, щелей и т.д.). Реальные источники всегда имеют конечный размер, поэтому возникает задача об определении условия наблюдения интерференции от протяженного источника. Пусть размер источника света значительно больше расстояния между щелей, а сам источник находится на достаточно большом расстоянии от экрана с щелями так, что пучки лучей от верхнего или нижнего краев, доходящих до щелей, можно считать параллельными (рис.4.3, а). Тогда лучи от верхнего края сформируют максимум на расстоянии x0 = lα / 2 по направлению падающих лучей (вниз от

оси симметрии), а от нижнего края – на том же расстоянии такой же симметричный максимум. Лучи от остальных участков

55

протяженного источника сформируют максимумы внутри полосы шириной 2x0 . Таким образом, в случае протяженных источ-

ников происходит уширение светлых полос (рис. 4.3, б). Если их ширина меньше расстояния между центрами светлых полос 2x0 = lα < b = λ0l /d, то полосы не сольются и будут наблюдаться

визуально. Последнее неравенство, записанное как

Пространственной когерентности можно добиться, поместив перед щелями дополнительную осветительную щель (рис. 4.3, в).

Таким образом, для формирования интерференционного поля необходимо, чтобы выполнялись три условия: 1) временная (4.8) и 2) пространственная (4.20) когерентности, 3) коэффициент когерентности имел конечное значение γ12 ≠ 0.

56

4.2. Звездный интерферометр

Явление интерференции можно использовать для определения малых углов наблюдения α между звездами. Один из вариантов измерения углов α представлен на рис.4.3, г, который по существу повторяет схему рис. 4.3, а. В этом методе яркость интерференционных максимумов незначительна.

4

φ

5

••

Р F

Рис. 4.4. а - схема телескопа рефрактора: 1, 2 – поворотные зеркала, 3 – экран со щелями, 4 – линза, 5 – экран наблюдения; б – внешний вид бинокулярного телескопа рефлектора, диаметр отражающих зеркал 8,2 м

В схеме, представленной на рис. 4.4 яркость полос усиливается за счет применения линзы. Используя теорию дифракции (см. раздел 5.6. Дифракция Фраунгофера от щели), можно доказать, что распределение интенсивности света на экране наблюдения выражается как

При выводе этого соотношения предполагалось, что расстояние D между зеркалами 1 значительно больше ширины щелей b и расстояния между щелями. В центре экрана наблюдения ( при

φ = 0) интенсивность определяется как I = I0cos2γβ D . Выбирая расстояние D так, чтобы в центре были максимум γβ Dmax = π

57

( или минимум γβ Dmin = π/2 ), находим угол β = λ / Dmax . Если выбрать расстояние D достаточно большим, то угол β можно измерять с очень большой точностью.

4.3. Парадоксы интерференции

В рассмотренной выше задаче Юнга мы рассмотрели интерференционное поле на экране вблизи линии симметрии, то есть при выполнении условий xm << l, d << l. В общем случае условия существования интерференционных максимумов и минимумов в произвольной точке пространства согласно (4.12), (4.13) запишутся как

Интенсивность излучения в произвольной точке пространства согласно (4.10) будет определяться соотношением

Из рисунка 4.1 видно, что s2 – s1 < d, поэтому, если выбрать расстояние между источниками меньше λ/4: d < λ/4, то будет 2π(s2 − s1)/λ <π / 2. Это означает, что во всей области простран-

ства будет наблюдаться интерференционный максимум. В частности при d << λ интенсивность во все области будет больше суммарной интенсивности от каждого источника

I =( I1 + I2 )2 >> I1 + I2

В случае же некогерентных источников интенсивность излучения в этом случае равна сумме интенсивностей от каждого источника I = I1 + I2. Таким образом, в случае когерентных источников суммарная интенсивность излучения больше, чем в случае некогерентных. В этом суть парадокса интерференции. Парадоксальность эффекта усиления излучения заключается в кажущемся впечатлении о нарушении закона сохранения энергии: при одной и той же мощности излучения передающих устройств в зависимости от когерентности излучателей и геометрии их расположения суммарную мощность излучения в среде можно усиливать или ослаблять. Как отмечается в [3],

58

парадокс разрешается тем, что в случае когерентности источников, когда имеет место усиление излучения, возрастает и мощность, подаваемая на излучатели, и таким образом соблюдается закон сохранения энергии. Однако парадоксальность явления интерференции сохраняется и заключается в том, что состояние излучения в пространстве влияют на процессы, проходящие внутри источника излучения.

В заключение отметим, что описанное явление усиления когерентного излучения при выполнении условия d < λ/4 наблюдается в опытах и имеет важное применение в антенных устройствах.

4.4. Способы наблюдения интерференции света

4.4.1. Зеркала Френеля

Рис. 4.5. Интерференция от зеркал Френеля

Схема опыта изображена на рис. 4.5. Зеркала МО и ОN повернуты на малый угол ϕ и облучаются светом из щелевого источ-

ника S. Результат облучения эквивалентен свечению двух мнимых источников S1, S2 . Из рисунка видно, что расстояние между мнимыми источниками приближенно равно d = S1S2 = 2 r φ, где r – расстояние от источника S до зеркала. В результате на экране возникает интерференционная картина, в которой ширина полос согласно (4.17) выражается как b = λ (r+b)/(2rϕ).

59

4.4.2. Бипризма Френеля

Бипризма Френеля представляет собой цилиндрическое стеклянное тело, сечение которого является равнобедренным треугольником с малым углом в основании θ << 1 (рис. 4.6, а).

a

Рис. 4.6

Если бипризму осветить слегка расходящимся пучком лучей, то лучи, выходящие из грани 1, будут иметь начало в мнимом источнике S1, а лучи, выходящие из грани 2 – в мнимом источнике S2. Таким образом, в области наложения лучей будет образовываться интерференционная картина точно такая же, как при интерференции от двух линейных источников света. Из рис. 4.6, а видно, что d = 2 β a, где β – угол поворота луча в вершине

бипризмы (рис. 4.6, б). Используя закон преломления Снеллиуса и малость угла падения α1, получаем α2 = α1/n, где n – показатель преломления стекла (рис. 4.6, б). Угол падения φ2 на наклонную

60