3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

преломления среды изображений. Величина D называется оптической силой линзы. Оптическая сила измеряется в

диоптриях (дптр.), 1 дптр. = 1 м –1.

3.3.2. Формула линзы

Расстояния от идеальной линзы до предмета S, обозначаемое как a, и соответственно до изображения b (см. рис. 3.4, г, д) в

где b берется со знаком “+”, если предмет находится справа отлинзы, и со знаком “– ”, если слева.

Вывод формулы (3.9) дадим в три этапа.

Первый этап. Пусть даны две прозрачные среды с показателями преломления n1, n2, разделенные сферической поверхностью радиуса R = OA (рис. 3.5). Пусть в точке S находится точечный источник света, находящийся на расстоянии a от сферической поверхности. Луч, падающий нормально на сферическую поверхность, не преломляется, а остальные лучи, например FA, будут преломляться.

Рис. 3.5

Можно заметить, что при n2 > n1 существует точка F, из которой выходящие лучи после преломления (луч AB) будут параллельны нормальному лучу FO. Тогда точка S1, находящаяся дальше от сферической поверхности (слева от F), будет иметь действиительное изображение во второй среде (точка S1’ ), а точка S2, находящаяся ближе к сферической поверхности (справа от F), будет иметь мнимое изображение в той же среде (точка S2’ ).

42

Будем считать, что источник S удален на такое расстояние a, что преломленные лучи пересекаются в точке S’, находящейся справа от сферической поверхности (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Найдем положение изображения S’ этого источника, то есть

≈ SB = a, AO ≈ BO = R, AS’ ≈ BS’ = b. В треугольниках SCO и SCA катет SC общий, поэтому SC = SAsinϕ1 = SOsinα, откуда sinϕ1 = (SO/SA)sinα. Аналогично, в треугольниках AOD и ODS’ катет OD общий, поэтому sinϕ2 = (DS’/AO) sinβ ‘. Беря отношение последних равенств, с учетом закона преломления и сделанных ранее приближений получим

Наконец, принимая во внимание SA ≈ a, BS’= b, SO = R – a, OS’ = = b – R, после элементарных преобразований получим соотношение

которое определяет искомое расстояние b. Обратим внивание на то, что в соотношение (3.10) не вошли углы падения и преломления. Это означает, что любые мало уклоняющиеся лучи, исходящие из источника S, после преломления будут сходиться в

43

точке S’, то есть гомоцентрический пучок лучей после преломления вновь будет гомоцентрическим.

Второй этап. Теперь рассмотрим ту же задачу с тем отличием, что преломленные лучи от точечного источника S дают мнимое изображение S’ (рис. 3.7).

Из треугольников OCA и OCS’ имеем OC = R sinϕ2 = OS’sinα’ (OA = R). Далее, из треугольников ODA и ODS следует OD = R sinϕ1 = OS sinα. Из треугольника SAS’ находим связь между

углами α’ = α – (ϕ1 –ϕ2). Считая углы малыми ( sinϕ ≈ ϕ , где ϕ любой из фигурирующих углов ), с учетом OS’= R + b,

OS = R + a, последние соотношения можно записать как

R ϕ2 = (R + b)( α – (ϕ1 –ϕ2)), Rϕ1 = (R + a) α

Исключая α и используя закон преломления ϕ1/ϕ2 = n2/n1, получаем искомый результат

Третий этап. Вывод формулы линзы

Пусть дана линза, ограниченная сферическими поверхностями

центром. Линия симметрии, проходящая через оптический центр, называется главной оптической осью.

Пусть в точке S, находящейся на достаточно большом расстоянии от линзы так, что ее изображение S’ будет действительным и находиться по другую сторону линзы. Найдем

44

Оказывается, что эти формулы стправедливы для линз любой

Линзы являются основными элементами оптических приборов, таких как микроскоп, телескоп, фотоаппарат и др. Например, микроскоп служит для увеличения изображения (рис. 3.9). Обратим внимание на то, что предмет 1 располагается перед фокусом F1 первой линзы (объектива), причем задний фокус объектива и передний фокус F2 второй линзы (окуляра) располегаются так, чтобы первое изображение 2 было между фокусом F2 и окуляром.

3

Рис. 5. Ход лучей в микроскопе

Теория оптических систем достаточно подробно изложена в монографии [3]. Там же можно найти многочисленные примеры применения оптических устройств. Устройство некоторых оптических систем дано в Приложении 3.

46

Контрольные вопросы

1.Сформулировать условие, при котором применяется приближение геометрической оптики.

2.В каком направлении отклоняются лучи в отически неоднородных средах?

3.Дать объяснение миражей в пустыне и на море.

4.Сформулировать законы геометрической оптики в однородных средах.

5.Описать принцип работы теневого метода.

6.Сформулировать основные свойства линзы.

7.Что можно определить с помощью формулы линзы?

8.Какие лучи называются параксиальными?

9.Дать определение гомоцентрического пучка света.

10.Описать принцип работы микроскопа.

11.Какой минимальный размер предмета, который можно увидеть

воптическом микроскопе?

12.Дать определение аберрации линз.

ЗАДАЧИ

Задача 3.1

Доказать, что с точностью до квадрата угла падения параксиальные лучи отражаются от сферичекого вогнутого зеркала в одной и той же точке F, расположенной на расстоянии FО2 = R/2 от центра кривизны О2, R = АО2 (рис. 3.10).

Рис. 3.10

47

Решение. Пусть луч, параллельный оптической оси О1О2 , после отражения в точке А пересекает ось О1О2 в точке F. Из рис. 3.7, а видно, что AF = FO2 , FB = AB tgα. Для параксиальных лучей α << 1, поэтому

FB ≈α R / 2, AF = FO2 = (AB2 + FB2 )1/ 2 ≈ AB(1+α2 )1/ 2 ≈ R / 2 ,

то есть с точностью до квадрата угла отражения α положение точки F не зависит от α. Это означает, что любой мало отклоняющийся луч пересекает оптическую ось О1О2 в фиксированной точке, расположенной на расстоянии R/2 от центра кривизны О2. Таким образом, фокусное расстояние сферического вогнутого зеркала для параксиальных лучей равно О2F = R/2. Из рис. 3.7, б видно, что погрешность расположения фокуса выражается как F = O2F1 −O2F2 = R (α12 −α22 ) / 4.

Задача 3.2

Вывести формулу сферического выгнутого зеркала ( рис. 3.11)

Из последнего соотношения следует формула сферического вогнутого зеркала: 1/a1 + 1/a2 = 1/f.

48

Задача 3.3

Где будет находиться и какой величины будет изображение Солнца в сферическом рефлекторе, радиус кривизны которого равен R = 16 м ?

Решение. Ход лучей изображен на рис.3.8, где y = 695 тыс. км

– радиус Солнца, a2 = 149,5 млн.км – расстояние от Земли до Солнца. Из формулы сферического зеркала получаем a1 ~ R/2, то есть изображение находится вблизи фокуса, а из соотношения

y' = f tgα , tgα = y/a2, получаем y ' = f (y/a1) = 3,7 см. Поэтому размер изображения 2y' = 7,4 см.

Задача 3.4

Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием f1 = 150 см и окуляр с фокусным расстоянием f2 = 10 см. Под каким углом видна полная Луна в этот телескоп, если невооруженным глазом она видна под углом 31' ?

Решение. Используя формулу (3) Приложения 2, получим tgϕ′ = ( f1 / f2 )tgϕ . При малых углах (в радианной мере !) это

соотношение можно представить как ϕ′ =ϕ( f1 / f2 ), что дает

ϕ′ = 7045′.

49

4. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН

4.1. Понятие интерференции световых волн. Задача Юнга

Интерференцией называется явление пространственно– неоднородного распределения интенсивности излучения в области наложения двух или более когерентных волн (электромагнитных, звуковых и т.д.).

Найдем условия, при которых возникает интерференция на примере опыта Юнга (интерференция от двух линейных источников света, рис. 4.1).

Рис.4.1. Интерференция двух световых волн

Постановка задачи. Пусть на экран с двумя узкими щелями О1, О2 падает плоская монохроматическая волна под углом β (рис. 4.1). Так как падающая волна излучается протяженным источником, то предполагаем, что вдоль лучей 1, 2 распространяются волны с несколько отличающимися частотами и амплитудами соответственно ω1, ω2 и А1 А2. В силу дифракции щели О1, О2 рассеивают свет как линейные источники. Вторичные лучи О1Р и О2Р пересекают нормально пластинки, соответственно толщиной l1, l2 и показателями преломления n1, n2 и далее сливаются в произвольной точке Р на экране наблюдения, расположенном на расстоянии l от щелей. Требуется найти интенсивность света в точке Р.

50