3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

Задача 2.6

Вычислить средний коэффициент отражения естественого света, падающего под углом Брюстера.

Решение . Введем угол ориентации α светового вектора относительно направления, перпендикулярного лучу и находящегося в плоскости падения луча. Тогда соотношения E0 = E0sinα,

Задача 2.7

Вычислить средний коэффициент отражения поляризованного луча при падении неполяризованного луча в воздухе на поверхность стекла с показателем преломления n = 1,5.

Решение. Используя формулу (2.20), получим <R> = 0,07. Обратим внимание на то, что интенсивность отраженного поляризованного луча в 1,7 раза больше интенсивности отраженного луча при нормальном падении (см. задачу 2.1).

31

Задача 2.8

Вычислить интенсивность отраженного и прошедшего света при падении белого пучка под углом ϕ1 к нормали поверхности

раздела.

Решение. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям в задаче 2.6, получим для интенсивности отраженного света

женного луча с поляризацией перпендикулярной ( параллельной ) плоскости падения.

Задача 2.9

Найти степень поляризации преломленного луча при падении

I2|| + I1|| = I2|| = I0 / 2 , откуда I2|| − I2 = I1 = I1. Таким образом, для степени поляризации получим P = I1(I0 − I1), где согласно

32

Задача 2.10

Найти структуру ПМ – волны при нормальном падении на металлическую поверхность.

Решение. В металле с проводимостью σ волновое уравнение

имеет вид ∂2 E ∂t2 − v2m E = −(σ / εε0 ) ∂E ∂t . В геометрии рис.2.1 поле в металле выражается как

E2 = E20e−βx cos(ωt − k2 x +α),

где β – дектемент затухания. Введем время релаксации заряда τe = εε0 /σ . Подставляя E2 в волновое уравнение, находим

1) при малых проводимях τeω >>1: k2 =ω / vm , β = k2 /(2τeω); 2) при больших проводимях τeω <<1: β = k2 =ω /(vm 2τeω ) .

Таким образом, при наличии проводимости эл.-м. волна затухает в проводящей среде. В случае больших проводимостей декремент затухания β можно записать как β = (2π / λ0 )η,

η = n2 / 2τeω . Для металлов в оптическом диапазоне η изменяется от 1 до 5, поэтому на глубине порядка длины волны в

большой степенью точности можно считать, что интенсивность отраженной волны равна интесивности падающей волны. Наконец, фазовая скорость эл.-м. волны в металле

Задача 2.11

Доказать, что при равномерном освещении гладкой поверхности из оптически менее плотной среды n2 < n1 ( см. рис. 2.12, а ) лучи входят в оптически болнее плотную среду конусом.

Решение. На основании явления полного внутреннего отражения лучи, падающие из оптически более плотной среды и находящиеся внутри конуса с углом при вершине равном φпр, равномерно расходятся в оптически менее плотной среде так,

33

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 3.1. Основные положения геометрической оптики

Если длина волны излучения λ значительно меньше некоторого характерного размера a (диаметра отверстия, толщины пластины и т.д.)

то распространение света можно описывать некоторыми линиями, называемыми лучами. В электродинамике доказывается, что в предельном случае (3.1) световой вектор монохроматической волны имеет вид

E = Acos(ωt − kψ ) , ω = v k, v = c/n,

где ψ является функцией пространственных координат и удовлетворяет уравнению

где n(x, y, z) – показатель преломления среды, который в общем случае является функцией пространственных ( декартовых x, y, z ) координат точки. Доказывается, что световые лучи перпендикулярны поверхностям равных фаз:

Решив уравнение (3.2) и построив множество поверхностей согласно (3.3), можно построить множество лучей и тем самым изучить закономерности распространения света в, вообще говоря, неоднородной среде. Этот метод исследования распространения света составляет суть приближения геометрической оптики.

Световые лучи можно построить на основании уравнения для световых лучей , которое выводится следующим образом. По определению единичный вектор τ, касательный к линии луча, записывается как

где r = r(s) – уравнение луча в естественной параметризации,

то есть параметром s является его длина. Из (3.4) имеем

35

n(dr/ds) = ψ и, дифференцируя это соотношение по s, получим

уравнение луча

Упражнение. Доказать формулу dsd ψ = n. Указание. Исполь-

зовать соотношение dsd ψ = ( ψ τ) = (A )A / n, где A = ψ и далее использовать формулу (A )A = A2 / 2 + A×rotA .

3.2.Распространение света в неоднородных и однородных средах

3.2.1. Неоднородные среды

Рассмотрим основные закономерности распространения света в неоднородной среде на примере прохождения его среде со слабо и линейно изменяющимся показателем преломления

Рис. 3.1

В данном случае векторное уравнение (3.5) в проекциях на оси координат примет вид

силу слабой искривленности лучей с точностью до О(α2) получим s ≈ x. Тогда первое уравнение выполнится тождественно, в второе примет вид y’’= α, откуда находим уравнение для лучей y(x) = y0 + α x2/2. Таким образом, лучи имеют форму парабол, причем они отклоняются вверх, если α > 0, и вниз

36

а)

Рис. 3.3. Визуализация изображения теневым методом

3.2.3. Однородные среды

Геометрическая оптика в однородных средах основана на четырех законах.

1. Закон прямолинейного распространения света. Этот закон является следствием уравнения (3.5).

2. Закон независимости световых лучей. Этот закон является следствием единственности решения уравнения (3.5) при начальных условиях :

Эти соотношения определяют положения начала луча ( первое условие ) и его наклона (которое условие ). Меняя их, получаем независимые решения, то есть лучи никаким образом не влияют друг на друга.

3.Закон отражения света: угол падения равен углу отражения.

4.Закон преломления – закон Снеллиуса (2.5).

Воснову геометрической оптики может быть положен принцип Ферма, который гласит, что при распространении света между двумя фиксированными точками луч распространяется по такому пути, для прохождения которого ему понадобится минимальное время.

3.3.Оптические системы

3.3.1.Типы и свойства линз

Оптической системой называется совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделенных друг от друга оптически однородной средой. Обычно эти поверхности являются сферическими либо плоскими.

Оптическая система, образованная сферическими поверхностями (включая плоские), называется центрированной , если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы. Очевидно, оптическая ось является линией симметрии системы.

Важнейшим элементом оптической системы является линза, которая представляет собой прозрачное ( обычно стеклянное ) тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (в частном случае одна из поверхностей может быть плоской ).

Типы линз: 1– двояковыпуклая, 2 – плосковыпуклая, 3 – выпукло– вогнутая, 4 – двояковогнутая, 5 – плосковогнутая, 6 – внешний вид; 1, 2, 3 – собирающие, 4, 5 – рассеивающие линзы

39

Линзы, толщина которых значительно меньше радиусов ограничивающих сферических поверхностей называются идеальными. В этом случае лучи, проходящие через линзу, мало отклонятся от оптической оси. Такие лучи в оптике называют параксиальными. Основное свойство идеальной линзы заключается в том, что гомоцентрический пучок лучей ( выходящих из одной точки ) после прохождения через линзу вновь собирается в пучок, то есть также является гомоцентрическим (рис. 3.4, а).

Если предметная точка S находится на бесконечности и лежит на оптической оси, то падающие лучи будут параллельны оптической оси и после прохождения через линзу будут сходиться в точку на оптической оси, называемую фокусом (рис.3.4, б).

если фокусы лежат справа от соответствующих главных точек, и отрицательными в противном случае.

Линза обладает замечательным свойством увеличивать или уменьшать изображения предметов. Из рис.3.4, г, д видно, что отрезок длиной y будет иметь изображением отрезок длины y′ . В том случае, когда предмет находится между линзой и фокусом, то изображение является увеличенным и получается продолжением лучей в обратную сторону от их направления распространения; такое изображение называют мнимым (рис. 3.4, г). Если предмет находится между фокусом и точкой двойного фокусного расстояния, то изображение получается увеличенным и действительным ( рис. 3.4, д). Наконец, если предмет находится за точкой двойного фокусного расстояния, то изображение всегда уменьшенное. Доказательсво этого свойства линзы рекомендуем провести самостоятельно в качестве упражнения.

Если направленные отрезки y′, y параллельны, то

изображение называют прямым и обратным в противном случае.

Поперечным увеличением называется отношение

40