3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika
.pdf
|
λ/4 |
Е |
x |
|
H 
Рис. 2.2. Пространственное распределение E, H в стоячей волне
Выражения (2.3) описывают стоячую волну. Картина распределения напряженностей электрического и магнитного полей в стоячей волне изображена на рис. 2.2. Точки на оси x, где либо Е = 0, либо Н = 0 называются узлами стоячей волны. В узлах S = E×H = 0, поэтому интенсивность света максимальна между узлами. Если приемник света (датчик ) смещать вдоль оси x, то можно измерить расстояние между пучностями света, а тем самым и определить длину полуволны ( рис. 2.3 ).
Введем важнейшие характеристики, определяющие энергии (интенсивности ) отраженного и прошедшего света.
Коэффициентами отражения R и пропускания F называются отношения соответственно средних интенсивностей отраженного <E1H1> и прошедшего <E2H2> волн к средней интенсивности падающей волны <EH>.Для плоской монохроматической волны, падающей перпендикулярно поверхности, имеем
|
(n |
− n |
2 |
)2 |
|
I |
|
|
4n n |
|
I |
2 |
|
||
R = |
1 |
|
|
= |
1 |
, |
F = |
|
1 2 |
= |
|
(2.4) |
|||
(n1 + n2 )2 |
I |
(n1 |
+ n2 )2 |
I |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где I, I1, I2 – интенсивности падающего, отраженного и прошедшего света соответственно.
Коэффициенты R, F удовлетворяют соотношению R + F = 1, которое является следствием закона сохранения энергии
<EH> = <E1H1> + <E2H2>
21
λ /4
A
х
F |
E |
Рис.2.3. Схема опыта Винера по обнаружению рапределения электрического поля в стоячей световой волне. Обозначения: AF – металлическое зеркало, AE – полупрозрачная фотопластинка, которая засвечвается под действием светового вектора
2.2. Законы преломления и отражения света, падающего под произвольным углом к поверхности раздела двух сред
Чтобы уяснить методику исследований, рассмотрим вначале простой случай, когда Е параллелен поверхности раздела, а затем перейдем к общему случаю.
2.2.1. Законы отражения и преломления света
Пусть световой вектор Е направлен параллельно поверхности раздела, а падающий луч направлен под углом к нормали. Направления падающего, отраженного и прошедшего лучей имеют вид, изображенный на рис. 2.4. Воспользуемся представлениями для электрических компонент падающей E, отраженной E1 и прошедшей E2 волн в виде (1.7).
E = E0cos(ωt − k1 r +α), |
E1 = E10cos(ωt − k1′ r +α), |
|||||
E2 = E20cos(ωt − k2 r +α), |
|
| k1 | =| k1′ | = k1 =ω / v1 |
||||
|
E • |
|
|
k2′ |
||
|
ϕ1 |
ϕ1′ |
• |
|
|
|
|
k1 |
E1 |
||||
|
|
|
||||
|
n1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
• E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 k2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4. Наклонное падение света на поверхность раздела при ориентации светового вектора параллельно поверхности раздела (перпендикулярно плоскости чертежа)
22
Из условия равенства фаз на поверхности раздела (y = 0) следует
′ |
′ |
k2 r = xsinϕ2 ω / v2 |
k1 r = xsinϕ1 ω / v1; k1 |
r = xsinϕ1ω / v1, |
где ϕ1 – угол падения;ϕ1′ – угол отражения;ϕ2 – угол преломле-
ния. Используя электродинамическое условие E + E1 = E2, получаем равенство фаз падающей, отраженной и прошедшей
волн, которое можно записать в виде sinϕ = sinϕ′, |
sinϕ1/v1 = |
|
1 |
1 |
|
= sinϕ2/v2. Эти соотношения с учетом vi |
= c/ ni |
( i = 1, 2) |
формулируются в виде следующих законов: |
|
|
1)угол падения света равен углу отражения ϕ = ϕ1′ ;
2)угол падения ϕ1 связан с углом преломления ϕ2 формулой Снелла ( Снеллиуса)
n1 sinϕ1 = n2 sinϕ2 |
(2.5) |
2.2.2. Явление полного внутреннего отражения (ПВО)
Если n1 > n2 , то выполняется ϕ2 > ϕ1 – см. рис. 2.5, а, и из формулы (2.5)
а) |
б) |
в) |
φ1
n1
n2 φ2
|
φпр |
n1 |
|
n2 |
φ2 |
|
φпр |
n1 |
|
n2 |
Поверхностная |
|
волна |
Рис. 2.5. К явлению полного внутреннего отражения:
а) случай φ1 < φпр; из условия sin φ1/ sin φ2 = n2/ n1 < 1 следует φ2 > φ1; б) при φ2 = π/2 угол φ1 называется предельным φ1 = φпр; в) при φ1 > φпр
имеется отражение света и формирование поверхностной волны
следует, что с увеличением угла падения ϕ1 возможно выполнение условия sinϕ2 = 1 (рис. 2.5, б). Это означает, что ϕ2 = π / 2,
то есть преломленный луч направлен вдоль поверхности. Таким образом, при углах падения
ϕ1 >ϕпр, sinϕпр = n2 / n1
23
свет полностью отражается от поверхности раздела и преломленной волны не существует. Это явление называется полным внутренним отражеием (ПВО) света. Особо подчеркнем, что оно наблюдается только в случае падения света на поверхность раздела из оптически более плотной среды на оптически менее плотную среду. Это явление находит применение в оптоволоконной технике (световодах – см. рис.2.6, а и Приложение 3) и элементах оптических устройств ( рис. 2.6, б, в, г).
а)
б) |
в) |
г) |
|
|
|
Рис. 2.6. а) оптический волновод; примеры призм ПВО:
б) поворачивающая, в) оборачивающая и г) отражающая призмы (уголковый отражатель)
2.2.3. Парадокс полного внутреннего отражения
В условиях ПВО при падении эл-м. волны при углах падения ϕ1 ≥ϕпрв тонком приповерхностном слое (толщиной порядка
длины волны) формируется поверхностная волна. При этом интенсивность отраженной волны равна интенсивности падающей. В результате возникает парадокс, связанный с нарушением закона сохранения энергии, а именно: энергия отраженного пучка + энергия поверхностой волны больше энергии падающего пучка.
Докажем этот рузультат для случая ПМ-волны с поляризацией светового вектора параллельной поверхности раздела. Обозначим: ex ,ey ,ez – орты осей x, y, z соответственно, причем орт ez
направлен перпендикулярно плоскости падения; |
E = Ezez – |
световой вектор падающей, E1 = E1zez – отраженной, |
E2 = E2zez |
– поверхностной волн, компоненты которых имеют вид
24
Ez = E0cosψ, |
E1z |
= E11cosψ1 + E12sinψ1, |
|
E2z = eα y (E21cosψ2 + E22sinψ2 ) |
(2.6) |
||
ψ = ωt − k1x x − k1y y, |
ψ1 = ωt − k1′x x − k1′y y, ψ2 = ωt − k2 x |
||
где ψ,ψ1,ψ2 - |
фазы |
волн, E11, E12 , E21, E22 – |
неизвестные |
амплитуды, α – декремент затухания поверхностной волны, подлежащий определению. Соответствующие векторы напряженностей магнитных полей выражаются как
H = γ Ez (ky ex − kx ey ), H1 = γ E1z (k′y ex − kx′ e y ), γ =1/(μ0ω),
H2 = γ α eα y (E22cosψ2 − E21sinψ2 ) ex +γ k2′ eα y E2z e y |
(2.7) |
Используя электродинамические граничные условия (2.1), для амплитуд получим следующую систему уравнений
E0 + E11 = E21, E21 = E22 , ky E0 + k′y E11 =αE22 , k′y E12 =αE21,
решение которой имеет вид
|
|
k2 |
−α2 |
|
|
|
|
|
|
|
2k α |
|
|
|
|
|
|
2k2 |
|
|
|
E |
= |
y |
|
E |
|
, |
E |
= E |
|
= |
y |
E |
|
, |
E |
|
= |
y |
E |
|
(2.8) |
ky2 +α2 |
|
|
ky2 +α2 |
|
|
ky2 +α2 |
|
||||||||||||||
11 |
|
|
0 |
|
12 |
|
22 |
|
|
0 |
|
|
21 |
|
|
0 |
|
||||
Декремент затухания α определяется волновым уравнением для компоненты E2z и условием равенства фаз на поверхности
раздела, так что
α = k2 |
−ω2 |
v2 |
= (2π λ ) |
n2sinϕ − n2 |
, v |
2 |
= c / n |
2 |
(2.9) |
||
2 |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
||
Используя соотношения (2.6)-(2.8), получаем, что интенсивность падаю-щей волны I0 равна интенсивности отраженной I1 : I0 = I1, а для интенсивности поверхностной волны I2 в случае α <<1 (угол падения незначительно превышает предельный) можно получить
I2 = I2 ( y) = 4sinϕпрeα y I0 |
(2.10) |
Из (2.6), (2.7), (2.9) видно, что при ϕ1 >ϕпр |
поверхностная волна |
концентрируется в узком приповерхностном слое толщиной порядка λ0 . При ϕ1 ≈ϕпртолщина приповерхностного слоя резко
увеличивается. Наконец, I1 + I2 = I0 + I2 > I0 , что нарушает закон сохранения энергии.
25
2.2.4. Поляризация света при отражении
Рассмотрим общий случай произвольной ориентации светового вектора при падении света на границу раздела двух диэлектриков. Разложим вектор Е на две составляющие: Е = Е|| + Е , где Е|| лежит в плоскости падения волны, а Е перпендикулярен плоскости падения (рис. 2.7).
E|| |
E1|| |
• ϕ1 |
ϕ1′ • E1 |
E |
|
|
|
ϕ2 |
E2|| |
|
E2• |
Рис. 2.7. Преломление и отражение волны с произвольной ориентацией светового вектора: Е|| лежит в плоскости падения, Е перпендикулярен плоскости падения
Используя граничные условия для амплитуд, получаем
E0||cosϕ1 − E1||cosϕ1 = E2||cosϕ2 |
, |
E0 + E1 = E2 |
H0||cosϕ1 − H1||cosϕ1 = H2||cosϕ2 |
, |
H0 + H1 = H2 |
Решения этой системы уравнений имеют вид
E |
= |
|
tg(ϕ1 −ϕ2 ) |
E |
0|| |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1|| |
|
|
tg(ϕ +ϕ |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E2|| |
= |
|
|
2sinϕ2cosϕ1 |
|
|
|
E0||, |
|||||||||||
sin(ϕ +ϕ |
2 |
)cos(ϕ −ϕ |
2 |
) |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
E |
= − |
sin(ϕ1 −ϕ2 ) |
E |
0 |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
sin(ϕ +ϕ |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E |
2 |
= |
|
|
2sinϕ2cosϕ1 |
E |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin(ϕ +ϕ |
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эти соотношения называются формулами Френеля.
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
26
Проанализируем полученные формулы. Если n1 ≠ n2 , |
то из |
|
закона Снеллиуса |
(2.5) следует, что ϕ1 ≠ϕ2 . Тогда из |
(2.13) |
получаем E1 ≠ 0 . |
Таким образом, перпендикулярная составляю- |
|
щая светового вектора всегда отражается. Отметим, что перпен-
дикулярная составляющая вектора |
Е1 параллельна поверхности |
||||||||
раздела. Обратимся теперь к формуле (2.11). Если |
ϕ1 +ϕ2 =π / 2, |
||||||||
то E1|| = 0 . Таким образом, при угле падения ϕ1 , |
удовлетворяю- |
||||||||
щему условию |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
sinϕ1 |
= |
sinϕ1 |
= tgϕ = |
|
(2.15) |
|||
|
|
|
n |
||||||
|
sinϕ |
2 |
|
cosϕ |
1 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
будет E1|| = 0, то есть будет отражаться только компонента света с |
|||||||||
ориентацией светового |
вектора |
перпендикулярно плоскости |
|||||||
падения (параллельно поверхности раздела). Угол ϕ1 , определяемый согласно (2.15), называется углом Брюстера и обознача-
ется как ϕ Бр. |
В качестве |
примера |
укажем, что угол Брюстера |
на границе |
воздух – |
стекло, |
определяемый из условия |
tgϕБр =1,5, равен ϕ Бр = 560 (см. задачу 2.4). Из формул Френеля
следует, что прошедший свет, падающий под углом Брюстера, будет частично поляризован, а именно Е2|| > Е2 , то есть будет преобладать составляющая электрического поля, лежащая в плоскости падения света. Если учесть, что интенсивность отраженного света значительно меньше интенсивности прошедшего, то после прохождения нескольких пластин под углом Брюстера на выходе будет частично поляризованный свет. Такое устройство назавается стопой Столетова (рис.2.8).
а) |
|
б) |
|
|
ϕ Бр |
|
• |
• • |
|
|
Рис. 2.8. Стопа Столетова: а – ход лучей, б – внешний вид поляризатора
Степень поляризации Р поляризатора определяется как
27
Р = (Imax – Imin )/ (Imax + Imin ), где Imax , Imin – максимальная и
минимальнаея интенсивности преломленного света после прохождения одной пластинки и анализатора. Можно доказать (см. задачу 2.9), что Р определяется выражением
|
(n2 |
−1)2 |
|
|
|
n |
|
Р = |
12 |
|
, |
n |
= |
1 |
(2.16) |
2(n122 +1)2 − (n122 −1)2 |
|
||||||
|
|
12 |
|
n2 |
|
||
Стопы Столетова применяются в резонаторах современных лазерных устройств (см. Приложение 6).
Контрольные вопросы
1.Сформулировать законы отражения и преломления света.
2.Объяснить явление полного внутреннего отражения (ПВО) и сформулировать условия, при которых оно выполняется.
3.В чем суть парадокса ПВО?
4.Перечислить устройства, где используется явление ПВО.
5.При каком условии отраженный свет будет поляризованным? (понятие поляризации света при отражении).
6.Объяснить устройство и принцип работы поляризатора Столетова (стопы Столетова).
7.В каких устройствах применяются стопы Столетова?
8.Отличает ли глаз человека поляризованный свет от неполяризованного?
ЗАДАЧИ Задача 2.1
Найти коэффициент отражения света при нормальном падении на границу раздела воздух–стекло и воздух–вода.
Решение. Используя формулу (2.4) для коэффициента отражения R и учитывая, что для воздуха n1 = 1 воды n2 = 1,33, стекла
n2 = 1,5 , получаем значение коэффициента отражения от воды
R = 0,02 и от стекла R = 0.04.
Задача 2.2
В каком направлении пловец, нырнувший в воду, видит заходящее Солнце ?
28
Решение. При заходящем Солнце лучи света параллельны поверхности воды ( см. рис. 2.9). Следовательно, подающий луч
имеет угол падения, равный |
ϕ = 900 . Из закона Снелла (2.5) |
|
1 |
имеем sinϕ2 =1/1,33 = 0,75 , откуда следует ϕ2 = 48045, . |
|
n1 |
ϕ 1 |
|
|
n2 |
ϕ 2 |
Рис. 2.9 |
Задача 2.3
Определить кажущуюся глубину h водоема глубины Н. Решение. Глубина h определяется расстоянием от поверхности точки пересечения двух лучей вертикального 1 и наклонного 2 (см. рис. 2.10).
Углы падения и преломления луча 2 в точке выхода из воды связаны как n1 sinϕ1 = n2 sinϕ2 . Так как наблюдение производится
в вертикальном направлении, то углы малы ϕi <<1, i =1,2 , поэтому sinϕi ~ tgϕi . В треугольниках ОАВ и О1АВ сторона АВ общая, поэтому AB = H tgϕ1 = h tgϕ2 .
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
n2 |
|
|
|
A |
|
B |
|||
|
n1 |
|
|
h |
• |
ϕ2 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
O1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
H |
• |
ϕ1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
O • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10
Используя закон Снеллиуса и последнее соотношение, получим
tgϕ1 = sinϕ1 = n2 = H tgϕ2 sinϕ2 n1 h
Отсюда с учетом n1 = 1, n2 = 1,33 будем иметь h = H/n2 = 0,75 H.
29
Задача 2.4
Под каким углом ϕ1 должен подать белый луч света из воздуха
на поверхность стекла с показателем преломления n2 = 1,5, чтобы отраженный луч был полностью поляризован ( рис. 2.11). Решение. Используя формулу (2.10), получаем tgϕ1 = n2 / n1 =1,5,
откуда ϕ1 = 56010, .
ϕ1
n2
n1 
Рис. 2.11
Задача 2.5
Найти коэффициент отражения ПМВ при произвольной ориентации светового вектора.
Решение. Согласно формуле (1.19), интенсивности падающего I0 и отраженного I1 лучей выражаются как
I |
0 |
= Cn |
(E2 |
+ E2 |
), |
I = Cn |
(E2 |
+ E2 ) |
|
|
1 |
0 |
0|| |
|
1 |
1 |
1 |
1|| |
|
Используя формулы (2.11), (2.12), для коэффициента отражения получим
|
E12 + E1||2 |
|
tg2 |
(ϕ |
2 |
−ϕ ) |
|
E02 cos2 |
(ϕ2 −ϕ1) + E0||2 cos2 (ϕ2 +ϕ1) |
||||
R = |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
E2 |
+ E2 |
|
|
|
+ϕ ) |
|
E2 |
+ E2 |
|||||
|
|
sin2 (ϕ |
2 |
|
|
||||||||
|
0 |
0|| |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.17) |
|
где углы ϕ1, ϕ2 связаны законом Снеллиуса (2.5). Из формулы
(2.17) видно, что коэффициент отражения зависит от ориетации светового вектора относительно плоскости раздела. В частности, при угле падения Брюстера, когда ϕ1 +ϕ2 =π / 2, и отраженный
луч является поляризованным, из (2.17) получаем коэффициент отражения поляризованного луча в виде
30