3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

Из (1.10) следует, что H k , H E . Таким образом, век-

Плоскость поляризации

Рис. 1.1. Пространственная картина распределения напряженностей электрического и магнитного полей в плоской монохроматической волне

Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля в плоской монохроматической волне выражается как

Отсюда видно, что плотность потока энергии электромагнитного поля совпадает с направлением движения электромагнитной волны. Направим ось x вдоль вектора k . Тогда

Поверхность постоянной фазы ψ = соnst называется фронтом

волны или волновой поверхностью. Из определения следует,

что на волновом фронте E и H постоянны, координата х есть функция времени х(t), а сама волновая поверхность движется со скоростью v вдоль направления волнового вектора k. Действительно, дифференцируя соотношение (1.13), с учетом (1.8), получим

dx/dt = ω /k = v

Таким образом, v – это скорость распространения электро-

магнитной волны в среде. В вакууме ε = μ = 1, поэтому v = c =1/ ε0μ0 = 3×108 м/ с. Величину

11

называют абсолютным показателем преломления среды.

Отметим что между частотой ν , длиной волны λ и скоростью света в среде v имеют место следующие соотношения:

Первое являются следствием дисперсионного соотношения (1.8), второе – определения (1.5). Так как показатель преломления любой прозрачной среды больше единицы n > 1, то скорость света в ней меньше скорости света в вакууме.

Линия, вдоль которой распространяется световая энергия, называется лучом (рис. 1.2). Из определения следует, что вектор плотности потока световой энергии S является касательным к лучу и сонаправлен с волновым вектором k . Если исходить из квантовой природы света, то лучи – это траектории движения фотонов.

Схематическое обозначение

плоскополяризованного света

б)

• • • • • Луч света

Рис. 1.2. а – луч естественного (белого), б – плоскополяризованного света

12

формуле Планка ε = hν = hc/λ . Фотоны радиоволнового диапазона имеют наименьшую энергию, поэтому радиоволны слабо взаимодействуют с веществом и обладают большой проникающей способностью. Инфракрасные лучи интенсивно взаимодействуют с молекулами, свет – с молекулами и атомами, а ультрафиолетовые, рентгеновские и γ – лучи обладают настолько большой энергией, что разрушают атомы (ионизируют среду). Энергии фотонов в различных диапазонах представлены в следующей таблице

Описание потока фотонов на основе уравнений Максвелла называется волновой теорией эл.-м. волн, а в спектре видимого диапазона – волновой теорией света. Волновая теория света является приближенной, суть которой заключается в осредненном (по времени) описании потока фотонов. Точная теория света учитывает его корпускулярные (квантовые)

свойства и называется квантовой электродинамикой.

Для большинства оптически прозрачных сред ( то есть пропускающих свет ) имеет место μ ~ 1 , поэтому можно считать

14

Опыт показывает, что диэлектрическая проницаемость среды является функцией частоты электромагнитного поля ε = ε(ν).

Типичная частотная зависимость ε(ν) представлена на рис. 1.3.

Данные на рис. 1.3 показывают, что формулу (1.16) следует писать в виде

низмами поляризации вещества и объясняется теорией поляризации диэлектриков.

ε

εнч εεрчин εопт

Рис. 1.3. Частотная зависимость ε(ν) : ε нч – низкочастотная; ε рч – радиочастотная; ε ин – инфракрасная; εопт – оптическая; ν1, ν2, ν3 – резонансные частоты

Опыт показывает, что взаимодействие света с веществом обусловливается в основном только взаимодействием с электрическим полем электромагнитной волны, то есть с вектором Е. По этой причине вектор Е называют световым

вектором.

Согласно (1.6) электромагнитное поле переносит энергию. Так как частота изменения электромагнитного поля чрезвычайно велика, то измерительные приборы (и глаз человека ) обычно фиксируют среднюю величину модуля потока энергии, определяемого как

15

где t0 – время наблюдения волны, которое значительно больше периода колебаний t0 >> Т = 1/ ν.

Средний модуль плотности потока электромагнитной энергии называют интенсивностью света и обозначают как I :

I = < | S | >

Используя связь (1.11) между амплитудами получаем следующее выражение для интенсивности плоского монохроматического света

дальнейшем ради удобства обозначений для амплитуды светового вектора будем пользоваться различными обозначениями: Em , A, E0 , и так далее. Обратим внимание на то, что средняя интенсивность света зависит только от амплитуды волны и характеристик среды, но не зависит от частоты света ( или его длины волны ).

Упражнение. Используя формулы (1.7) и (1.12), доказать справедливость соотношений (1.19).

Свет называется естественным , если электромагнитная волна является суперпозицией ( суммой ) волн различной длины и различной ориентации световых векторов.

Свет называется поляризованным, если вдоль луча световой вектор каким либо образом упорядочен. Существуют два типа поляризации. Если световой вектор E находися в фиксированной плоскости, то свет называют плоскополяризованным. Например, плоская монохроматическая волна является плоскополяризованной. Если конец светового векра описывает вдоль луча винтовую линию, то его такую волну называют эллиптически поляризованной. Эллиптическая поляризация света имеет место при прохождении через растворы, содержащие органические вещества ( например, в растворах сахара), а также в кристаллах (см. раздел 6.1).

16

Плоскость, проходящая через световой вектор E и направление распространения света (то есть через луч), называется

плоскостью колебаний, а через вектор H и луч – плоскостью поляризации (рис. 1.1).

В системе СИ характеристики электромагнитного излучения имеют следующие единицы измерения.

ε0 = 8,85 10−12 ф/ м, μ0 =12,57 10−7 Гн/ м, с = 3 108 м/ с

Значения показателей преломления некоторых прозрачных сред приведены в Приложении 7.

К основным характеристикам света относят такие понятия: частота и длина волны света, понятие монохроматического, естественного и поляризованного света, интенсивность, луч, волновой вектор и волновое число, дисперсионное соотношение ( связывающее частоту и длину волны света ), световой вектор и его ориентация относительно луча.

Контрольные вопросы

1.Дать определение электромагнитной (эл.-м.) волны.

2.Дать определение света.

3.Перечислить типы и дать характеристику эл.-м. волн (шкала эл.-м. волн).

4.Дать определение плоской монохроматической волны (ПМВ).

5.Дать определение фазы и фронта эл.-м. волны.

6.Перечислить геомертические характеристики ПМВ и раскрыть их содержание.

7.Изобразить структуру ПМВ (нарисовать распределение E, H вдоль луча).

8.Дать определения длины волны, частоты и интенсивности света. Почему в формуле I = CnEm2 не содержится H ?

9.Перечислить энергетические характеристики ПМВ и раскрыть их содержание.

10.Дать определение естественного света.

11.Дать определение поляризованного света.

17

ЗАДАЧИ Задача 1.1

Длина волны монохроматического света в вакууме равна λ0 =0,5 мкм. Найти частоту и длины волн этой световой волны в

воде и стекле.

Решение. Частота колебании света согласно (1.15) выражается как v = c / n = 3 108 (м/ c) / 0,5 10−6 (м) = 6 1014 Гц. При переходе из одной среды в другую не изменяется частота света и изменя-

Задача 1.2

Мощность лампочки N = 100 Вт, КПД = 3%. Найти интенсивность света на расстоянии R = 1 м от лампочки. Решение . Энергия, излучаемая лампочкой за 1 секунду, равна Ф = КПД N. Эта энергия, согласно закону сохранения энергии, есть поток световой энергии Ф через поверхность радиу-

са R , определяемый как Ф = I S, где S = 4πR02 – площадь поверхности радиуса R. Отсюда находим I = КПД Ф/S = 0,25 Вт/м2.

Задача 1.3

В условиях предыдущей задачи и в предположении монохроматичности света найти напряженность поля в волне на расстоянии 1 м от лампочки.

Решение . Используя формулу (1.19), находим

Em = (I/Cn)1/2 = (0,25/1.3 10–3)1/2 = 13,8 В/м.

Задача 1.4

Интенсивность света, излучаемого точечным источником, на расстоянии R0 от источника равна I0 . Найти интенсивность света на расстоянии R > R0 от источника света.

Решение. Пусть S0 =4πR02 , S = 4πR2 – площади сфер радиусов R0 , R соответственно. Из закона сохранения энергии имеем

I0 S0 = IS , откуда получаем искомый ответ I = I0 (R0 /R)2.

18

2. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН

В данном разделе рассматриваются явления, обусловленные отражением и преломлением света на границе раздела двух диэлектрика. Эти свойства являются следствием электродинамических граничных условий, имеющих следующий вид:

где нижний индекс t указывает, что Еt, Ht – касательные составляющие векторов E, Н на поверхности раздела, а индексы 1, 2 обозначают значения этих векторов в i–ой среде с показателем преломления ni ( i = 1, 2). Будут рассмотрены основные следствия этих явлений (стоячие волны, полное внутреннее отражение и поляризация света при отражении).

2.1. Нормалыюе падение световой волны на плоскую поверхность двух диэлектриков. Стоячие волны

Пусть на плоскую поверхность раздела со стороны среды 1 падает ПМ – волна Е, Н, которая частично отражается ( волна Е1, H1 ) и частично переходит в среду 2 ( волна E2, H2 ) – см. рис. 2.1.

Граница раздела

Рис. 2.1. Направление векторов Е, Н, S в падающей, отраженной и прошедшей волнах. Случай n1 > n2

Из рисунка следует, что компоненты падающей Е, отраженной Е1 и прошедшей E2 волн выражаются как

19

Используя граничные условия (2.1), которые должны выполняться при x = 0, получаем

E0 + E10 = E20 ,

H0 − H10 = H20 ,

H0 = n1 ε0 / μ0 E0 , H10 = n1 ε0 / μ0 E10 , H20 = n2 ε0 / μ0 E20

Напомним, что в этой системе линейных алгебраических уравнений известной является амплитуда падающей волны E0 , а неизвестными – амплитуды отраженной E10 и прошедшей волн E20. Решая эту систему, получим

падают, следовательно реализуется случай, изображенный на рис.

E1 = |E10| cos [ ωt + k1( x –λ / 2) +α ], то есть отрицательный знак можно учесть вычитанием от координаты x величины λ/2,

поэтому это явление в оптике называют потерей полуволны. Векторы H, H1 в этом случае колеблются синфазно.

Покажем, что в случае n1 << n2 ( например, этот случай в определенном приближении реализуется при падении света на металлическую поверхность – см. ниже задачу 2.10) в области падения волны E образуется так называемая стоячая волна. Действительно, при n1 << n2 будет E20 = 0, E10 = – E0 и результирующее поле в области 1 запишется как

E = E0[cos(ωt −k1x +α) −cos(ωt + k1x +α)] = 2E0sin(ωt +α)sin(k1x) ,

H = 2H0cos(ωt +α)cos(k1x)

(2.3)

Упражнение. Доказать это соотношение.

20