3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Векторным полем называется векторная функция

Скалярным полем называется скалярная функция точки в пространстве

Примерами скалярных и векторных полей являются распределение плотности масс в твердом теле ρ = ρ(r) , распре-

Основными дифференциальными операциями над скалярными и векторными функциями являются вычисление градиента скалярной функции ротора векторной функции rot A(r) и

дивергенции векторной функции div A(r).

Перейдем к определению этих дифференциальных операций.

1. Определение градиента скалярной функции

Вычислим производную от скалярной функции (2) вдоль

lx , ly , lz – компоненты орта l , направленного вдоль прямой АВ, получим

где i , j , k – орты, направленные вдоль осей x, y, z декартовой

системы координат (см. рис.1), то выражение (4) можно записать как

градиентом скалярной функции.

Геометрический смысл вектора f можно видеть из следу-

ющего соотношения, являющегося следствием определения скалярного произведения:

где ϕ – угол между векторами l и f . Если изменить направление вектора l , то в формуле (7) будет меняться только угол ϕ. Максимальное значение производной ∂ f ∂s при изменении l будет при ϕ = 0, то есть когда l и f направлены в одну и ту же сторону. В этом случае ∂ f ∂s = f . Следовательно, вектор f

указывает такое направление в пространстве, вдоль которого производная ∂ f ∂s максимальна, или иными словами: функция

f (r) возрастает всего быстрее.

152

2. Определение ротора векторной функции

Пусть дано некоторое векторное поле F = F (r) . Ротором

Введем важное определение потенциального векторного поля. Векторное поле F (r) называется потенциальным, если

существует такая скалярная функция U =U (r) , что

Приведем без доказательства теорему: для того, чтобы некоторое векторное поле F (r) было потенциальным,

необходимо и достаточно, чтобы

силовой функцией. Примерами потенциальных векторных полей являются электростатическое E = - Φ, статическое магнитное

поле H = - ψ , гравитационные поля сил притяжения Земли и Солнца и др.

3. Поток векторного поля через поверхность

Пусть дано векторное поле (1) и дана некоторая гладкая поверхность S. Выберем на ней малый участок dS в окрестности точки М (рис. 2).

n

M

dS

Рис. 2. К определению потока вектора через поверхность

153

Проведем касательную плоскость в точке М и построим единичный перпендикулярный к этой плоскости вектор n. Вектор n называется нормальным вектором к площадке dS

( говорят, что элемент dS ориентирован нормалью n ). Потоком вектора A(r) через площадку dS называется

величина

dN = A n dS ,

где A n – скалярное произведение векторов A и n в точке М.

4. Дивергенция вектора. Формула Гаусса-Остроградского

Если поверхность S замкнута, то поверхностный интеграл (11) можно преобразовать в объемный по формуле Гаусса - Остроградского:

где V – объем, который охватывает замкнутая поверхность S, а скалярная величина div A называется дивергенцией вектора A и

определяется как

Подчеркнем, что в формуле (12) орт нормали n к поверхности S направлен в наружную сторону от объема V ( в этом случае говорят, что n – это внешняя нормаль к поверхности S ).

5. Пример использования формулы Гаусса-Остроградского

Уравнение баланса энергии электромагнитного поля в дифферен-циальной форме имеет вид

где w – объемная плотность электромагнитной энергии, S – вектор плотности потока энергии поля.

154

Получим уравнение баланса электромагнитной энергии для конечного объема V. Для этого проинтегрируем уравнение (14) по объему V:

∂∂t ∫wdV = −∫div S dV

S V

Применяя к интегралу в правой части формулу ГауссаОстроградского, будем иметь

где n – внешняя нормаль к поверхности S, охватывающей объем V. Умножая последнее равенство на промежуток времени d t , получим

Здесь (− n) – внутренняя нормаль к поверхности S. Формула (15) имеет следующий смысл: приращение энергии электромагнитного поля dUэ за время dt в объеме V равно притоку энергии

dUS за время dt через поверхность S. То есть энергия электро-

магнитного поля может поступать в объем V ( или убывать из объема V ) только через поверхность S, охватывающую этот объем.

155

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ГЛАЗ КАК ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

1. Структура глаза. Глаз состоит из следующих преломляющих сред (рис. 1): водянистой влаги ВВ, хрусталика и

стекловидного тела СТ.

Склера

Рис. 1.Схематический разрез глаза

Глаз служит для формирования уменьшенного изображения предмета на внутренней поверхности глазного яблока, называемого желтым пятном. Здесь расположены светочувствительные рецепторы, которые передают электрические импульсы по глазному нерву в кору головного мозга. Наводка глаза на предметы, называемая аккомодацией, достигается путем изменения кривизны хрусталика глазными мышцами и изменения диаметра зрачка, который в оптических устройствах называют

апертурной диафрагмой.

156

2. Роль апертурных диафрагм. Апертурной диафрагмой

называется отверстие в непрозрачном экране, расположенном перед оптической системой, например, хрусталиком глаза или линзой (рис. 2, а).

б)

Рис. 2. Влияние диафрагмы на резкость изображения

Из рис. 2, а видно, что если глаз наводит резкость на какуюлибо точку предмета, например, на самую удаленную, то ближние точки фокусируются на сетчатке в виде пятен ( а не точек ). Из рис. 2, б видно, что для уменьшения размера пятен необходимо уменьшить диаметр зрачка, то есть размер апертурной диафрагмы.

3.Объемное виденье. Глазная мышца рефлекторно сжимаясь

ирасслабляясь изменяет кривизну поверхности хрусталика, главным образом передней, который выполняет роль собирающей линзы. Благодаря этому гомоцентрический пучок лучей может фокусировать изображение какой-либо точки на поверхности зоны рецепторов. Чем больше угол гомоцентрического пучка, тем ближе воспринимается положение точки (рис. 3). Так сознание формирует объемное изображение

Рис. 3. Угол гомоцентрического пучка формирует объемное виденье: чем меньше угол пучка, тем дальше кажется положение точки

157

4. Коррекция зрения. Если все точки предмета фокусируются на сетчатке глаза, то имеет место нормальное зрение (рис. 4, а). В том случае, когда изображение формируется вне глазного яблока (рис. 4, б), то говорят, что имеет место дальнозоркость. В этом случае применяют выпуклые очки (собирающие линзы). Дальнозоркостью обладают люди пожилого возраста. Если изображение предмета формируется внутри глазного яблока, то имеет место близорукость (рис. 4, в). В этом случае используются вогнутые очки (рассеивающие линзы). Так как деформация хрусталика имеет конечный предел, то существует опти-мальное расстояние для зрения ( для чтения и письма около 25 см).

Нормальное зрение

а)

Хрусталик

F

•

Глазная мышца

Рис. 4. Коррекция зрения: а) нормальное зрение, б) дальнозоркость, в) близорукость

158

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА

1. Аберрация линз

В отличие от идеальных линз (см. подраздел 3.3) реальные линзы, которые используются в оптических устройствах, обладают погрешностями, которые называются аберрациями.

Рис. 5. а -астигматизм линзы, б – продольная сферическая аберрация

Выделяют следующие типы аберраций.

Астигматизм, когда точечный источник преобразуется в две взаимно перпендикулярные линии (рис.5, а); возникает в том случае, если центральный луч идет под большим углом к оптической оси системы. Сферическая аберрация, когда нарушается параксиальность прошедших через линзу лучей, например, при продольной сферической аберрации лучи не сходятся в фокусе (рис.5, б); говорят, что имеет место размытие фокуса. Кома, когда параллельные лучи формируют два сливающихся фокуса. Дисторсия, когда линейное увеличение неодинаково по всему полю зрения. Хроматическая аберрация, когда происходит расщепление белых лучей на цветовые составляющие.

Исправление аберраций требует глубоких знаний оптических свойств материалов и прецизионной техники обработки оптических систем.

2. Лупа

Лупа – это оптический инструмент, состоящий из одной или нескольких линз с небольшим фокусным расстоянием (от 1 до 10 см). Мнимое увеличенное изображение предмета получается на расстоянии наилучшего зрения D = 25 см от нормального глаза ( рис. 4).

Коэффициентом увеличения лупы N называется отношение углов зрения изображения и предмета, которое с учетом малости

159

углов ( tg φ ~ φ ) можно записать как N = tg φ′ / tg φ, где φ, φ′ - углы зрения, под которыми виден предмет без лупы и с ней.

b). Из подобия треугольников и формулы линзы 1/a + 1/b = 1/f получаем y'= y b/a = y (b/f + 1). Тогда с учетом b >> D,

b >> f найдем искомый коэффициент увеличения лупы

N= y'D / [ y(D + b)] = D(b + f) / [ f (D + b)] = D / f

3.Микроскоп

Для получения большого увеличения мелких предметов используют микроскоп, схема которого изображена на рис. 5. Он состоит из двух короткофокусных линз, первая из которых называется объективом, вторая – окуляром.

3

Рис. 5. Ход лучей в микроскопе

Можно доказать [3], что две линзы эквивалентны одной с фокусным расстоянием

160