3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

9.3. Поток энергии равновесного излучения.

Закон излучения Стефана – Больцмана

Используя выражение (9.8) и (9.16) получаем выражение для энергетической светимости тела абсолютно черного тела в виде

Выражение (9.20) называется законом излучения Стефана– Больцмана. Константу σ называют постоянной Стефана– Больцмана. Ее численное значение равно

σ = 5,7 10–8 Bт/(м2 К4 )

Если коэффициент черноты постоянный, то энергетическая светимость серого тела согласно второго закона Кирхгофа (9.18) запишется как

9.4. Законы излучения Вина и Рэлея–Джинса.

Формула смещения Вина

Закон излучения Рэлея–Джинса. Исходя из классических представлений, Рэлей и Джинс предположили, что на каждую моду колебаний приходится энергия kBT. Так как число мод на единицу интервала частот равно D(ω), то плотность энергии на единичный интервал частот по Рэлею и Джинсу выражается как

Если подставить это выражение в формулу (9.10), получим бесконечное значение для энергии излучения. Эта расходимость получила название ультрафиолетовой катастрофы. Формула

(9.23) следует из формулы Планка (9.16) в предположении низких частот hω << kBT. Таким образом, распределение плотности излучения по Рэлею и Джинсу справедливо только в длинноволновой области излучения, поэтому использовать формулу (9.22) для вычисления суммарной энергии излучения нельзя, что и устраняет парадокс ультрафиолетовой катастрофы.

141

Закон излучения Вина

В области высоких частот hω >> kBT формула Планка (9.16) переходит в формулу Вина

U =V ∞∫uλ (Т) dλ, uλ (Т) = 2λπ2c u(ω,Т)|ω=2π с/ λ

0

Найдем максимум функции распределения uλ (Т) . Приравнивая

Эта формула носит название закона смещения Вина.

Формула (9.26) позволяет по известной длине волны, наиболее интенсивно излучаемой источником, определить его температуру.

Контрольные вопросы

1.Дать определение теплового излучения.

2.Дать определение внутренней энергии.

3.Что такое люминисценция?

4.Сформулировать основные понятия теплового излучения (энергетическая светимость, излучательная способность, поток излучения, коэффициент черноты).

5.Сформулировать законы излучения Кирхгофа.

6.Сформулировать распределение плотности энергии по частотам Планка.

7.Сформулировать закон излучения Стефана – Больцмана.

8.Сформулировать закон излучения Релея-Джинса и дать понятие об ультрафиолетовой катастрофе.

9.Сформулировать закон излучения Вина.

10.Сформулировать закон смещения Вина.

142

ЗАДАЧИ Задача 9.1

Найти температуру печи, если известно, что из отверстия площадью S = 6,1 см2 излучается поток ислучения с энергией Ф = 8,28 кал/с. Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.

Решение. Используя формулу Ф = SRe = S σT 4 с учетом 1 кал = = 4,18 Дж получаем Т = 10000 К.

Задача 9.2

Какое количество энергии E излучает Солнце за 1 час. Температуру поверхности Солнца принять равной 58000 К,

Какое количество энергии излучается с площади S = 1 см2 затвердевающего свинца за 1 с , если коэффициент черноты свинца при температуре плавления свинца Tпл = 327о С равен А = 0,6.

Вычислить солнечную постоянную для Земли.

Решение. Солнечная постоянная С – это энергия Солнца, достигающая Земли в расчете на единицу площади и единицу времени, или более кратко – это интенсивность теплового излучения Солнца на орбите Земли. Используя результат решения задачи 1.4, для интенсивности теплового излучения вблизи Земли имеем С = Re = Re0 (R0 / L)2 , где Re0 = σT 4 – энергетическая светимость Солнца на его поверхности. Используя численные значения радиуса Солнца R0 = 6,95 108 м, температуры его поверхности Т =58000 К и расстояния от от Солнца до Земли L = 150 109 м,

получаем следующее значение солнечной постоянной

С =1,37 кВт/м2.

143

Задача 9.5

Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой энергии, доходящего до Земли излучения Солнца, вычислить мощность солнечного излучения на площади S =100 м2 . Высота Солнца над горизонтом равна 300 .

Решение. Энергия солнечного излучения, подающая под углом ϕ

постоянная ( см. предыдущую задачу ), ϕ – высота Солнца над горизонтом (см.рис. 9.3). Подставляя заданные числовые значения в эту формулу, получаем I = 1,233 кВт, а на площадь S =100 м2 получаем E = I S =123,3 кВт.

Рис. 9.3. Энергия, падающая на единицу длины поверхности в нормальном направлении, выражается как I = Ф/ |AC|, где

Ф = 0,9 С |BC|. С учетом |BC| = |AC| sin ϕ получаем I = 0,9 С sin ϕ.

Задача 9.6

На какую длину волны приходит максимальная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру: 1) человеческого тела при 370 С, 2) атомного взрыва при 10 млн. град.

Решение. Используя формулу (9.6), получим для первого случая

λm = b/T = 2,97 10–3 м град /(273+37) град = 9,3 мкм (инфра-

o

красный диапазон ), для второго случая λm = 3 A ( рентгеновский диапазон ).

Задача 9.7

Какую мощность Р надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиуса R = 1 см , чтобы поддерживаить постоянной его температуру, равную 470 С . Считать, что шарик теряет энергию вследствие излучения.

144

Решение. Так как вся подводимая мощность расходуется на излучение, то Р = SRe = 4πR2 σT 4 , где T = 2730 + 470 = 3200 –

абсолютная температура шарика. Отсюда находим Р = 0,72 Вт.

Задача 9.8

Найти температуру идеального полусферического отражателя радиуса R = 20м фотонной ракеты массы M = 100 т, движущейся с ускорением 1 g. Какой должен быть радиус отражателя, чтобы его температура была 3000о?

Решение. Сила светового давления на отражатель выражается как F = P S, где Р = 2 σТ4/c – сила светового давления, S = πR2. По второму закону Ньютона F = Mg, что позволяет найти температуру излучения, а следовательно и отражателя:

радиус R = 341 м.

Задача 9.9

Мощность процессора равна Р = 20 Вт. Какую площадь должна иметь теплоизлучающая пластина, чтобы температура поверхности процессора была T = 80о С (рис.9.4).

Решение. Процессор получает энергию в виде джоулевого тепловыделения Р и от окружающей среды в виде теплового излучения Qв =σ T04S , где T0 - температура окружающей среды ( T0 =

= 3000К), S – площадь излучающей поверхности пластины. Если вся мощность P +Qв излучается в окружающее пространство, то

из закона сохранения энергии следует P +σ T04S =σT 4S . Отсюда получаем S = 472 см2.

2

1

Рис. 9.4. 1 – процессор, 2 – охлаждающая пластина

145

10. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ

Раздел оптики, в котором изучается процессы взаимодействия света с веществом, зависящие от интенсивности света, называется нелинейной оптикой. Нелинейные оптические эффекты возникают тогда, когда электрическое поле Е в световой волне сравнимо с внутриатомными полями Е ~ 1010 В/м и выше.

В изотропных средах (как правило, в газах или жидкостях) нелинейность описывается зависимостью показателя преломления среды от напряженности электрического поля Е:

где n - постоянный показатель преломления, обуславливающий линейные процессы, n1, n2 - известные константы. Например, в

В неизотопных средах (как правило, в кристаллах) нелинейные эффекты описываются зависимостью вектора поляризации от компонент вектора напряженности электрического поля, например,

Здесь использованы тензорные обозначения (см. раздел 6.1). Приведем примеры характерных нелинейных эффектов.

1. Явление самофокусировки лазерного пучка

Эффект проявляется в том, что под воздействием высокоэнергетичного пучка света показатель преломления среды становится неоднородным. Как показано в разделе 3.1, в этом случае лучи отклоняются в направлении, где показатель преломления принимает наибольшее значение. Например, если

n(E) = n + n2E2 , то при n2 > 0 гауссовой лазерный пучок будет сжиматься, при n2 < 0 – будет расходиться (рис. 10.1).

Таким образом, при n2 > 0 под воздействием поля высокого

напряжения в среде образуется своеобразный световод, в котором происходит сжатие пучка. При этом интенсивность света резко возрастает.

146

Рис. 10.1. а – сходимость (фокусировка), б – расходимость (дефокусировка) высокоэнергетических лазерных пучков; длина стрелок пропорциональна интенсивности света

Отметим, что в атмосфере Земли имеет место n2 < 0 , что при-

водит к дефокусировке пучка. Дефокусировка препятствует передачи большой эл.-м. энергии в атмосфере на уровне интенсивности порядка 100 МВт/см2.

2. Нелинейное рассеяние света

При нелинейном взаимодействии эл.-м. волн со средой происходит сложное возбуждение молекул и атомов среды, в результате чего имеет место переизлучение с увеличением первоначальной частоты (антистоксовское рассеяние) или уменьшение (стоксовское рассеяние). При этом происходит резкое возрастание интенсивности рассеянных волн и сужение диаграмм направленности излучаемых волн.

Нелинейное рассеяние обуславливается довольно сложными механизмами физических взаимодействий на микроскопическом уровне. Так при сильной деформации электронных оболочек при колебаниях молекул возникают так называемые электронфононные взаимодействия. Это приводит в вынужденному комбинационному рассеянию (ВКР). При этом возникает как стоксовское, так и антистоксовское рассеяние. При наличии гиперзвуковых волн в твердых телах возникает рассеяние Мандельштама - Брюллиэна, которое также обусловлено электрон-фононным взаимодействием.

3. Обращение волнового фронта

Существуют нелинейные среды (или устройства), при отражении от которых падающая волна отражается в обратном направлении с сохранением амплитуды и фазы на поверхности отражения. Подобное отражение называется обращением волнового фронта (ОВФ). Явление обращения волнового фронта

147

широко используется в современных устройствах по визуализации изображений, например, в современных телескопах или спутниках наблюдения. В этих устройствах метод ОВР позволяет компенсировать атмосферные искажения (рис.10.2).

Падающая волна с плоским фронтом

Искажающая

среда

Искривленный фронт волны

Отраженная волна с плоским

Адаптивное фронтом зеркало

Рис. 10.2. Схема ОВФ с помощью зеркала переменной кривизны

Весьма эффективным является использование ОВФ для фокусировки мощного лазерного излучения на малую мишень для инициализации управляемой термоядерной реакции (рис. 10.3).

Обращенный фронт Неоднородная

среда

Параболический

отражатель

Мишень

Рис. 10.3. Фокусировка мощного излучения на мишень: после подсветки мишени происходит настройка адаптичного зеткала так, чтобы отраженная волна от мощного источника имела обратый фронт, который после прохождения неоднородной среды фокусируется на мишень

148

4. Нелинейная лазерная спектроскопия

Пусть ν0 - частота возбуждения некоторого атома (молекулы),

ν – частота излучения лазера. Так как атомы в газе совершают хаотическое движение, то возбуждение атома в силу эффекта Доплера возможно только при выполнении условия

где V – скорость движения атома вдоль направления излучения. Таким образом, лазерное излучение возбуждает только определенную группу атомов, удовлетворяющую условию (10.3). Сканируя частоты излучения лазера, можно получить чрезвычайно высокую точность по измерению спектров поглощения вещества (в газовой фазе).

5. Лазерное охлаждение атомов

Как известно, эл.-м. излучение оказывает давление на поверхность вещества (см. раздел 8.2). Если тела имеет макроскопические размеры, то это давление несущественно. Например, сила светового давления на поверхность Земли на 10 порядков меньше атмосферного давления. Однако в случае атомов давление со стороны эл.-м. излучения играет существенную роль. Принцип лазерного охлаждения атомов заключается в следующем. Лазер настраивают на частоту ν меньшую, чем частота возбуждения атома ν0 . Тогда согласно (10.3) будут возбуждаться

только те атомы, которые движутся навстречу лазерному пучку. При каждом поглощении фотона атом получает тормозящий импульс и его скорость уменьшается на величину V = hν / m , где m масса атома. Обмен атомов скоростями приводит к общему охлаждению газа. С помощью этого метода удалось достичь рекордных низких температур порядка 100 мкК.

6.Лазерные удержание атомов

Внеоднородных по сечению лазерных пучках возникают как продольные, так и поперечные силы (по отношению к направлению падения излучения). С помощью системы пересекающихся лазерных пучков можно создать в месте пересечения лазерные

ловушки, в которых можно удержать ультрахолодные атомы в объеме порядка 10-2 мм3 в течение примерно 10 с. Эксперименты

149

с ультрахолодными атомами в лазерных ловушках позволяют исследовать процессы в многоатомных квантовых системах и установить закономерности редукции волновой функции.

Контрольные вопросы

1.Дать определение оптически нелинейной среды.

2.Сформулировать условия, при которых наблюдаются нелинейные оптические эффекты.

3.Объяснить явление самофокусировки лазерного пучка.

4.Объяснить, почему в атмосфере Земли происходит дефокусировка лазерного пучка.

5.Как проявляется нелинейное рассеяние света?

6.Объяснить эффект обращения волнового фронта (ОВФ).

7.Привести примеры использования эффекта ОВФ.

8.Объяснить принцип лазерной спектроскопии.

9.Объяснить принцип лазерного охлаждения.

10.Объяснить принцип лазерного удержания атомов.

150