3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

преломления n > 1, то фаза будет изменяться в зависимости от направления и скорости движения той или иной инерциальной системе координат. Это факт установил французский физик Физо в 1851 г. с помощью установки, изображенной на рис. 7.8.

Обратим внимание на то, что схема опыта повторяет эксперимент Майкельсона (см. рис. 4.11) с тем отличием, луч 1 дважды проходит кюветы с жидкостью вдоль направления течения, а луч 2 – против направления течения. Разность фаз δψ лучей 1, 2, пришедших в приемник в один и тот же момент времени из-за разной скорости движения света в движущейся жидкости

волны (j =1, 2). Используя релятивистскую формулу сложения скоростей

где v′x = cn– скорость света относительно покоящейся жидкости,

V – проекция скорости течения жидкости на ось х, направленную по течению, наконец vx - искомая скорость света относительно

лабораторной системы координат. Из (7.10) с учетом V << c получаем

121

Используя эти соотношения, с учетом ω = 2πc / λ0 находим искомую разность фаз

скорости течения, при которых на экране наблюдения будет фиксироваться яркое освещение. Наконец, если одно из зеркал немного повернуть, то на экране будет наблюдаться система светлых и темных полос.

7.6. Кольцевой лазерный гироскоп

Основным элементом гироскопа является кольцевой интерферометр (рис. 7.9, а), который устроен следующим образом. На цилиндрический барабан наносятся две обмотки оптического волокна в противоположном направлении с одинаковым числом витков. Концы обмоток направлены друг против друга, а между ними располагаются светоделительные пластины. Если барабан вращается, то свет по одному из световодов движется вдоль направления линейной скорости движения оптоволокна, а по другому – в противоположном. Таким образом, оптическая система находится в условиях опыта Физо и можно использовать формулу (7.11), в которой V = RΩ, l = 2πRN, где R – радиус цилиндра, Ω – угловая скорость вращения барабана, N – число витков. Оптические гироскопы измеряют угловую скорость с очень высокой точностью до 10-10ΩЗ, где ΩЗ – угловая скорость вращения Земли, поэтому их можно использовать для проверки метрических теорий гравитации.

Рис. 7.9. а – кольцевой интерферометр, б – расположение кольцевых интерферометров в гироскопе

122

Контрольные вопросы

1.Дать понятие дисперсии света.

2.Что определяет аномальную дисперсию света?

3.Объяснить разложение белого света на цветовые составляющие в треугольной призме.

4.Объяснить явление радуги.

5.Перечислить типы рассеяния света и условия, при которых они наблюдаются.

6.Сформулировать закон рассеяния Релея и объяснить голубой цвет неба.

7.Сформулировать эффект Вавилова-Черенкова.

8.Сформулировать эффект Доплера.

9.Объяснить опыт Физо.

10.Объяснить принцип работы кольцевого лазерного гироскопа.

ЗАДАЧИ Задача 7.1

Известно, что быстрые частицы, входящие в состав атмосферы космического излучения, могут вызвать эффект Вавилова– Черенкова в воздухе (n = 1,00029). Считая, что такими частицами являются электроны, определить их минимальную кинетическую энергию.

Решение. Кинетическая энергия электрона определяется по формуле T = mc2 – m0 c2, m = m0 (1– V /c)1/2, где m0 – масса покоя электрона. Минимальная скорость электрона, при котором

наблюдается свечение, согласно (7.5), определяется как V = c/n ( полагаем сos ϕ = 1). Проводя элементарные вычисления и учи-

Черенкова.

Решение. Используя релятивистскую формулу для кинетической энергии V = c[1 – 1/(1+ Eк /E0)]1/2, где Е0 = m0 c2 – энергия покоя

электрона. Проводя вычисления, получим

Задача 7.3

Линия титана ( λ = 0,4954 мкм ) в спектре звезды ε Андромеды

о

смещена к фиолетовому концу спектра на 1,7 А . Найти направление и скорость движения звезды относительно Земли. Решение. Так как спектр звезды смещен к фиолетовой части спектра, то звезда движется по направлению к Земле. Формулу

о

λ = 1,7 А. Проводя вычисления по последней формуле, получаем V = 103 км/с.

Задача 7.4

При фотографировании спектра Солнца было найдено, что желтая линия (λ0 = 0,4954мкм ) в спектрах, полученных от

о

левого и правого краев Солнца смещена на 0,08 А. Определить линейную скорость вращения солнечного диска.

Решение. Один из краев Солнца движется по направлению к Земле и частота приходящего света определяется приближенно как ν1= νo(1+ V /c). Другой край удаляется от Земли, поэтому в этом случае частота приходящего света вычисляется согласно

ν2 = νo(1 – V /c). С учетом ν = c/λ , находим (1/λ – 1/λ2 ) = 2 V/λo c

или приближенно λ = λ2 – λ = 2λoV/c, откуда V = 2,4 км/с. Период вращения Солнца около своей оси составляет

Т = 2πR/ V = 21 сут.

124

8. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ

В данном разделе будут изложены результаты исследований, доказывающих, что электромагнитное поле представляет собой поток элементарных частиц – фотонов, обладающих энергией ε и импульсом p, определяемых формулами

= 0,659·10–15 эВ·с – постоянная Планка, h = 2πh.

Переход от полевого описания электромагнитного поля к описанию на основе представления поля как потока микрочастиц называется квантованием.

8.1. Эксперименты, доказывающие существование фотонов

8.1.1. Тормозное излучение фотонов электронами

Эксперименты показывают, что в результате бомбардировки анода разрядной трубки быстрыми электронами из анода

o

излучаются рентгеновские лучи ( 0,01 < λ < 100) A (рис. 8.1, а) за счет уменьшения скорости электронов внутри металла (тормозное излучение). Согласно классической электродинамике, основанной на уравнениях Максвелла, тормозное излучение должно иметь спектр в диапазоне длин волн 0 < λ < ∞.

~ 9 В

Рис. 8.1. К эффекту о тормозном излучении фотонов: а) схема опыта: А – анод, К – катод, 1 – рентгеновская трубка, 2 – поток электронов, 3 – рентгеновские лучи, 4 – детектор; б) распределение плотности мощности излучения по длинам волн при различных ускоряющих напряжениях U

125

Однако в действительности спектр излучения имеет диапазон λmin < λ < ∞, то есть коротковолновая часть спектра отсутствует.

Это противоречие разрешается на основе представлений о квантовой природе света следующим образом. В силу закона сохранения энергии, кинетическую энергию электронов Eк на аноде можно выразить через ускоряющее напряжение U:

Eк = mV 2 /2 = eU, где V – скорость электрона на аноде, U – разность потенциалов между анодом и катодом (ускоряющее напряжение). Излучение возникает в результате торможения электронов внутри анода. Если t – время торможения, то мощность излучения запишется как Р ~ Eк /t ~ U причем Р есть функция длины волны излучения Р = Р (λ). Из закона сохранения

Это неравенство доказывает существование коротковолновой границы спектра. Подчеркнем, что доказательство неравенства (8.2) проведено на основании гипотезы о существовании фотонов с энергией, определяемой согласно (8.1). Отметим, что формула (8.2) дает возможность определить постоянную Планка по результатам экспериментальных измерений λmin .

8.1.2. Внешний фотоэффект

Фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испуска-ние электронов веществом (как правило, металлом) под действием света. Схема эксперимента по наблюдению фотоэффекта дана на рис. 8.2,а.

Рис. 8.2. К внешнему фотоэффекту: a) схема эксперимента: А – анод, К – катод, 1 – световой поток, 2 – кварцевое окно; 3 – поток электронов; б) вольт–амперная характеристика

126

Фотоэффект был открыт немецким физиком Г.Герцем в 1887 г. А.Г.Столетов установил следующие закономерности фотоэффекта:

1) фотоэффект зависит от частоты эл.-м. излучения, причем сила тока растет с увеличением частоты, а в области низких частот при ω < ωкр фотоэффект не наблюдается (ωкр – красная граница фотоэффекта);

2)сила тока в области ω > ωкр возрастает с увеличением интенсивности эл.-м. излучения;

3)испускаемые заряды имеют отрицательный знак.

В1898 г. Ленард и Дж.Дж.Томсон установили, что испускаемые заряды являются электронами.

Вольт–амперная характеристика (рис. 8.2, б) характеризуется

током насыщения J0 и запорным напряжением UЗ, причем UЗ < 0 (полярность электродов меняется на противоположное).

Величина UЗ связана с максимальной скоростью вылета электрона Vмах в нерелятивистском случае соотношением

Упражнение. Доказать это соотношение, используя закон сохранения энергии.

Закономерности фотоэффекта противоречат классической электродинамике. Действительно, согласно (1.19) интенсивность света не зависит от частоты, тогда как опыт показывает обратное. Фотоэффект может быть объяснен только на основе квантовой теории света. Впервые это показал Эйнштейн в 1905 г. на основании закона сохранения энергии применительно к процессу взаимодействия фотона с электроном следующим образом. Пусть ε – энергия падающего фотона. При взаимодействии с электроном фотон исчезает (иногда говорят, что фотон поглощается электроном), передавая электрону свою энергию. Эта энергия затрачивается на работу χ по извлечению электрона из металла, придания ему кинетической энергии и на возбуждение фононных колебаний кристаллической решетки с энергией h Ω. Используя выражение (8.1) для энергии фотона, получаем

hω = mV 2/2 + A, A = χ + h Ω

127

Если фононные возбуждения не возникают (Ω = 0), то скорость электрона принимает максимальное значение V = Vmax и баланс энергий запишется в виде

Это соотношение называют формулой Эйнштейна. Формула (8.4) объясняет, почему фототок зависит не только

от интенсивности света, но и от его частоты. В частности, из (8.4) вытекает, что при χ ≥ hω фототок не возникает. Частоту ωкр и соответствующую ей длину волны света λкр, при которых прекращается ток (Vmax = 0), а именно

называют красной границей фотоэффекта. Таким образом, при

ω < ωкр (λ > λкр) фототок наблюдаться не будет.

Для исследования фотоэффекта обычно используют ультрафиолетовые лучи, которые получают с использованием кварцевых фильтров.

Обсудим теперь вопрос о направлении вылета электронов. Как показывают квантово-механические расчеты, при выбивании электрона, находящегося на сферически симметричной К–оболочке, падающим нормально к поверхности фотоном, распределение вероятностей вылета электрона по углам выражается как

(полярная ось сферической системы координат направлена нормально к поверхности), ϕ – азимутальный угол, dΩ – элемент сферического угла, ω – частота фотона, V – скорость вылета электрона, b – постоянная, характеризующая данный атом. Эта формула получена в до релятивистском приближении

(V << c ) и в предположении, что энергия фотона значительно больше работы выхода электрона ( в данном случае работа выхода – это энергия ионизации атома ). Из приведенной формулы видно, что при V << c наибольшая вероятность вылета будет при ϑ = ± π/2, то есть вылетают в основном электроны вдоль

128

поверхности кристалла. Если скорость фотоэлектрона приближается к скорости света, то наиболее вероятным является направление, нормальное к поверхности. Разумеется, в этом случае эта формула указывает только на качественную, а не количественную закономерность, так как она получена в дорелятивистском приближении. Данные выводы находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом.

В заключение полезно обратить внимание на то, что явление фотоэлектрического эффекта является обратным к явлению тормозного излучения фотонов электронами.

8.1.3. Опыт Боте

Прямое доказательство гипотезы Эйнштейна о том, что свет представляет собой поток дискретных частиц, было дано в опыте Боте (рис. 8.3), суть которого заключается в следующем. Тонкая металлическая фольга облучалась пучком рентгеновских лучей, которые в результате рассеяния и переизлучения распространялись по всевозможным направлениям. Счетчики фиксировали беспорядочную последовательность

Пучок рентгеновских лучей

Детекторы Детекторы

Фотоны Фольга Фотоны

Рис. 8.3. Схема эксперимента Боте

импульсов, свидетельствовавших о том, что излучение попадало в детекторы отдельными порциями. Причем эти порции энергии должны быть локализированы в пространстве, так как рядом поставленные детекторы регистрировали совершенно различные рентгеновские импульсы. Эти экспериментальные данные можно объяснить только тем, что в отдельных актах испускания эл.-м. излучения металлической фольгой возникают частицы, движущиеся хаотически в разных направлениях.

129

8.1.4. Эффект Комптона

В 1923 г. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей на электронах (графите), обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной волны с длиной λ содержатся лучи с большей длиной волны λ. Разность λ = λ′– λ оказалась зависящей только от угла ϕ, образуемого направлением рассеянного пучка с направлением первичного пучка.

Эффект Комптона является следствием закона сохранения импульса для системы фотон–электрон. Пусть p, pе – импульсы фотона и электрона до столкновения, p ', pе' – после столкновения. Тогда закон сохранения импульса системы электрон + фотон гласит

направлен вдоль оси x (рис. 8.4). Спроектируем векторное уравнение (8.6) на оси x, y:

и дисперсионное соотношение ω = ck, из (8.7), (8.8) получаем

Упражнение. Доказать формулу (8.9).

ħk'

y

p

Рис. 8.4. К вопросу о эффекте Комптона

130