3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / lek_optika

Задача 6.2

Пучок ПМ света (λ0 = 0,589 мкм) падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оси. Найти длины волн обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели преломления равны соответственно no = 1,66 и nе = 1,49.

Решение. Длина волны в среде с показателем преломления n определяется как λ= λ0/n, где λ0 – длина волны света в вакууме (см. задачу 1.1). Поэтому для длин волн обыкновенного и необыкновенного лучей имеем соответственно λ0б =λ0/no =0,355 мкм,

λе =λ0/nе = 0,395 мкм .

Задача 6.3

Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и аннализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор уменьшилась в четыре раза ? Поглощением света пренебречь.

Решение. Согласно формуле (6.21), интенсивность света после прохождения через поляризатор уменьшится в два раза. Следовательно, после прохождения поляризованного света через анализатор интенсивность уменьшится в два раза. На основании формулы Малюса имеем cos2ϕ = 1/2, откуда ϕ = 45о.

Задача 6.4

Раствор глюкозы с массовой концентрацией с1 = 280 кг/м3, содержащийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света, проходящего через этот раствор, на угол ϕ1 = 32о. Определить массовую концентрацию с2

глюкозы в другом растворе, налитым в трубку той же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол ϕ2 = 24o.

Решение. Используя формулу (6.19), получим ϕ1 = [α]c1 l,

ϕ2 = [α]c2 l, откуда с2 = c1(ϕ2/ϕ1) = 280 (24/32) кг/м3 = 210 кг/м3.

111

7.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД

7.1. Дисперсия света

Дисперсионными световыми явлениями называют явления,

обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны (или частоты) света. Дисперсией вещества называют производную dn/dλ0, где λ0 – длина волны света в вакууме. Среды, обладающие дисперсией, называются диспергирующими. Показатель преломления вещества является убывающей функцией от частоты поля. В области некоторых частот ω ~ ωi (i = 1, 2, …) происходит поглощение света. В этой части спектра наблюдается аномальная дисперсия ( рис. 7.1 ).

n

Рис. 7.1.Частотная зависимостьn(ω) : ω1, ω2, ω3 – резонансные частоты, вблизи которых наблюдается аномальная дисперсия

Строгая теория дисперсии света базируется на квантово механических представлениях. Физическую картину явления можно проследить, основываясь на классическом представлении о движении электрона по атомной орбите. Хотя классический вывод и не отражает реальной действительности, тем не менее весьма поучительно (хотя бы для развития физической интуиции) рассмотреть пример классического вывода формулы для частотной зависимости показателя преломления от частоты. В поле электромагнитной волны под действием кулоновской силы

– eE (e – величина заряда электрона) электроны испытывают колебания в направлении светового вектора E = E0 sinω t.

Отсюда следует, что в отсутствие внешнего эл.-м. поля E = 0 среднее положение электрона совпадает с положением ядра,

Е

Рис. 7.2. Образование дипольного момента у атома в электрическом поле: а – поля нет; б – атом во внешнем поле

поэтому дипольного момента у атома нет p = 0 (рис. 7.2, а). Во внешнем поле электронная орбита смещается на расстояние x, поэтому p ≠ 0 (рис. 7.2, б).

Найдем дипольный момент атома p. Запишем классическое уравнение движения электрона в виде

где величина αe называется коэффициентом электронной поляризуемости. Если N – число молекул в единице объема вещества, то величина вектора поляризации Р будет равна

Р = p N = αe N Е . По определению вектор электрической индукции записывается в виде

D = εε0 Е = ε0 Е + P = (1 + αe N/ε0) ε0Е,

Так как диэлектрическая проницаемость является функцией частоты, то и показатель преломления согласно (1.16) также зависит от частоты. При ω0 = ω в законе дисперсии (7.2)

113

возникает особенность, обусловленная резонансом собственных колебаний электрона с вынужденными колебаниями под действием переменного электрического поля. Эта особенность исчезнет, если учесть взаимодействие электрона с окружающими атомами (так называемое трение излучения). С математической точки зрения это означает, что в левую часть уравнения (7.1) необходимо добавить член β dx/dt, где β – коэффициент

радиационного трения.

За счет дисперсии света происходит разложение естественного света в спектр в призме, являющейся составной частью многих оптических приборов (рис. 7.3). Разложение света в спектр объясняется следующим образом. Запишем закон преломления для какой–либо цветовой составляющей с длиной волны λ в виде sinϕ1 = n(λ)sinϕ2 , где φ2 – угол преломления луча с длиной

волны λ. В силу того, что показатель преломления стекла n(λ)

изменяется с длиной волны, то и угол преломления φ2 для различных длин волн также будет разным.

Рис. 7.3. Принцип действия призматического монохроматора: цветовые составляющие естественного света преломляется под разными углами на боковой грани призмы за счет дисперсии и собираются плоской линзой в узкие полосы в фокальной плоскости

С явлением дисперсии света связано такое природное явление как радуга, которое объясняется следующим образом (рис. 7.4). Лучи естественного света из–за дисперсии расщепляются внутри капель на цветовые составляющие, которые формируют отраженные 1 прошедшие 2 цветные лучи (рис. 7.4, а). Эти цветные лучи

114

воспринимаются наблюдателем как радуга либо в прошедшем, либо в отраженном свете (рис. 7.4, б).

а) б)

Рис. 7.4. Явление радуги: а – преломление лучей в капле воды,

б– наблюдение радуги в прошедшем либо в отраженном свете

7.2.Рассеяние света

При прохождении света через вещество электрическое поле E возбуждает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны возбуждают вторичные волны. Если вторичные волны не когерентны, то они распространяются по всем направлениям. Это явление называется рассеянием света. Если среда однородна, то вторичные волны когерентны и их интерференция приводит к тому, что рассеянная волна движется только вдоль направления первичной волны. Когерентность вторичных волн нарушается на флуктуациях плотности вещества и при наличии в среде мелких частиц. Среды с явно выраженной оптической неоднородностью, проявляющейся в поглощении и рассеянии света, называются мутными средами. К мутным средам относят дымы, туманы, взвеси или суспензии, эмульсии, твердые тела с включениями (например, перламутр, опалы, молочные стекла и др.).

Существует следующая классификация типов рассеяния.

1)Если характерный размер рассеивающих частиц а < λ/15, то говорят, что имеет место рэлеевское рассеяние (см. ниже).

2)Молекулярное рассеяние – частный случай рэлеевского рассеяния, когда рассеивающие области образуются за счет флуктуационного движения молекул

3)Если λ/15 < а < λ , то имеет место рассеянии Ми.

115

4) При а ≥ λ эффекты рассеяния постепенно переходят в дифракционные.

Основной характеристикой в теории рассеяния эл.-м. волн являяется индикатриса рассеяния, которая представляет собой зависимость интенсивности вторичных лучей от углов их направления.

Рэлеевское рассеяние. В теории Рэлея предполагается, что рассеивающая среда включает сферические частицы одинакового радиуса a. Вычисляется первое приближение по малому параметру α = ka, где k – волновое число. В случае падения ПМ– волны ( рис. 7.5, а ) и естественного света ( рис. 7.5, б ) индикатрисы рассеяния в сечении, проходящем через центр частицы, определяются соотношениями

(7.3)

где I0 – интенсивность падающего света, β – константа, определяемая диэлектрическими свойствами и размерами частицы, r – расстояние от частицы до точки наблюдения. Формула (7.3) выражает закон рассеяния Рэлея, который гласит, что при размерах частицы а << λ, интенсивность рассеянного

света Iр = λ −4 . Интенсивность светы убывает вдоль направления падающего излучения по экспоненциальному закону

где κ – коэффициент поглощения, κ1 – коэффициент рассеяния, называемый коэффициентом экстинкции, x – координата вдоль направ-ления распространения падающей волны.

Рис. 7.5. Индикатриса рэлеевского рассеяния на сферической частице: а – падение поляризованного, б – белого света

116

Закон рассеяния Рэлея можно наблюдать, пропуская пучок белого света через сосуд с мутной жидкостью. Вследствие рассеяния пучок хорошо виден сбоку. При малых размерах частиц ( d < 0,1λ) цвет рассеянного света будет голубоватым, так как в силу закона Рэлея наиболее интенсивно будут рассеиваться составляющие света с наибольшими частотами. Прошедший пучок обогатится длинноволновой компонентой, поэтому прошедший через жидкость свет будет красновато – желтого цвета. Замечательной особенностью рэлеевского рассеяния естественного света является наличие поляризованного излучения в перпендикулярном к падающему пучку направлении

(рис. 7.5, б).

Молекулярное рассеяние. Примером молекулярного рассеяния является рассеяние света на флуктуациях плотности воздуха, размеры которых значительно меньше длин волн видимого диапазона. Этим явлением объясняется голубой цвет неба. Когда Солнце находится низко над горизонтом, свет проходит большую толщу воздушной среды, поэтому он обогащается красными тонами. Этот факт объясняет красный оттенок неба и красный цвет Солнца в утренние и вечерние часы. Цвет неба особенно насыщен голубыми тонами в летнее время, когда с повышением температуры атмосферы увеличивается интенсивность флуктуаций плотности атмосферы. Молекулярное рассеяние особенно интенсивно вблизи критической точки, когда исчезает различие между жидкостью и газом. В этом случае среда становится практически непрозрачной. Это явление называют

критической опалесценцией.

Рассеяние Ми. В теории Ми учитываются более высокие порядки приближения по малому параметру α = ka. Расчеты показывают, что в этом случае в зависимости от формы и поляризационных свойств частиц индикатриса рассеяния может иметь очень сложную форму. Например, может преобладать рассеяние вперед или назад, или в боковых направлениях. Частотная зависимость Iр становится ближе к квадратичной.

Облака, тучи, клубы дыма, туман, трассирующий след от реактивных самолетов объясняются рассеянием Ми.

117

7.3. Эффект Вавилова–Черенкова

При прохождении электронов со скоростью V через прозрачное вещество с показателем преломления n при условии V > c/n происходит излучение света. Это явление называется эффектом Вавилова–Черенкова. Свечение имеет форму конуса и направлено по направлению движения частицы ( рис. 7.6 ).

Рис. 7.6. Свечение Вавилова– Черенкова

В излучении преобладают короткие волны, поэтому оно имеет голубую окраску. Угол ϕ в конусе свечения определяется согласно

Измеряя угол конуса свечения, можно найти скорость электрона в среде.

7.4. Эффект Доплера

Продольный эффект Доплера. Предположим, что непод-

вижный источник излучает монохроматическую эл.-м. волну с частотой νо в направлении объекта, движущегося со скоростью V

( рис. 7.7).

V

Рис. 7.7. К вопросу о продольном эффекте Доплера

118

инвариант преобразования Лоренца ψ =ωt − k r =ω′t′− k′ r′,

(штрихованные параметры относятся к движущейся системе координат).Считаем, что эл.-м. волна распространяется вдоль оси х. Записывая фазу как скалярное произведение контравариантного

xi и контравариантного Аi = (ω/с, k) векторов, приходим к выводу, что компоненты А0 и А0′, А1′ в системах К и К’ связаны соотношениями A0 =ω / c = βω′/ c − β (V/c)k′. Отсюда, с учетом дисперсионного соотношения ω′ = ck′, получаем

что и доказывает формулы (7.6), (7.7). Аналогично доказывается формула (7.8).

Продольный эффект Доплера используется для определения радиальной относительной скорости между галактиками. В настоящее время установлено, что галактики равномерно заполняют Вселенную ( однородность Вселенной ) и ее свойства одинаковы по всем направлениям ( изотропность Вселенной ), причем расстояния между галактиками равномерно увеличиваются. Это поразительное открытие связывают с расширением искривленного пространства–времени. Скорость расширения Вселенной определяется скоростью относительного движения галактик. Измеряя разность ν = ν – ν0, по спектральным линиями в спектре галактик можно по формуле (7.7) найти скорость относительного движения галактик. Результаты измерений показали, что радиальные скорости разбегающихся галактик подчиняются закону

где r – расстояние между галактиками, H – константа, называемая постоянной Хаббла. Из (7.9) следует: чем больше расстояния между галактиками, тем больше их относительная скорость.

7.5. Опыт Физо

Опыт Майкельсона показал, что фаза эл.-м. волны остается постоянной в любой инерциальной системе координат, при условии, что волна распространяется в вакууме. Однако, если эл.-м. волна распространяется в прозрачной среде с показателем

120