3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

волны, связано с излучением колеблющихся диполей во второй среде, это так называемое вторичное излучение. Во-вторых, излучение колеблющегося диполя имеет следующую диаграмму направленности излучения: наиболее интенсивное излучение вдоль направлений, перпендикулярных направлению колебаний; в направлении же колебаний диполь не излучает. Таким образом, в

диэлектрике диполи наиболее сильно излучают вдоль направления распространения преломленной волны, т.е. диполи колеблются перпендикулярно этому направлению. В-третьих, при угле Брюстера угол между преломленным и отраженным лучом равен π/2. Это означает, что диполи среды наиболее интенсивно излучают вдоль направления распространения преломленной волны, но совсем не излучают в направлении отраженной волны.

4.2.2. Полное внутреннее отражение

Найдем амплитуды составляющих у отраженной волны в случае, когда падение происходит из среды с большим показателем преломления и при углах

тангенсы и синусы в выражениях (8) и (9) и подставим в них мнимое значение косинуса угла преломления:

В окончательных выражениях в числителе и знаменателе стоят комплексно сопряженные числа, поэтому модуль этой дроби равен единице.

Тогда R A и R A , т.е. вся энергия падающей волны передается

отраженной.

Полное внутреннее отражение широко используется в современной оптике и оптоэлектронике, примерами могут быть призмы для изменения направления распространения волн, светодиоды и т.п.

Рис. 4. Примеры использования полного внутреннего отражения. а) изменение направления распространения света на противоположное; б) переключение положений лучей; в)

заведение света в световод и распространение света в световоде

4.2.3. Коэффициенты отражения и прохождения света

Чтобы перейти от амплитуд волны к интенсивности, нужно найти

квадраты модулей амплитуд и сложить их:

Поскольку должен выполняться закон сохранения энергии, то

I A I R IT

Если ввести коэффициент отражения (т.е. какая часть интенсивности падающей волны была отдана отраженной волне)

и коэффициент прохождения (т.е., какая часть интенсивности падающей волны была отдана преломленной волне)

80

то закон сохранения энергии в этих обозначениях примет вид:

81

5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ

5.1. Дисперсия света

Дисперсия – зависимость показателя преломления среды от частоты электромагнитной волны. Только в вакууме для волн всех частот показатель преломления равен единице. Обычно наблюдается возрастание показателя преломления с ростом частоты, поэтому такая зависимость называется

нормальной дисперсией (рис. 1).

n(ω)

ω

Рис. 1. Нормальная дисперсия показателя преломления

Поскольку показатель преломления показывает насколько скорость волны υ в среде меньше скорости света с в вакууме, то это значит, например,

что волны из красной области спектра распространяются в среде быстрее волн из фиолетовой части спектра. Меньшая скорость распространения высокочастотных волн приводит, в частности, к тому, что эти волны дольше взаимодействуют со средой, т.е. действие среды на эти волны будет более значительным, чем для волн с меньшей частотой. Можно сказать и наоборот,

что более сильное взаимодействие высокочастотных волн со средой приводит к их меньшей скорости распространения, чем у низкочастотных.

Впервые в эксперименте явление дисперсии использовалось Ньютоном для получения спектра естественного света с помощью стеклянной призмы:

волны разных частот преломлялись на разный угол, поэтому волны разного цвета попадали в разные части экрана.

82

Рис. 2. Схема опыта Ньютона для получения спектра естественного света

Поскольку все изменения в скорости распространения волн возникают при прохождении среды, то, очевидно, что эти изменения вызваны взаимодействием волны с элементами среды. Сам показатель преломления определяется электрическими свойствами среды n (предполагается, что среда немагнитная). Поэтому для объяснения явления дисперсии показателя преломления света, т.е. установления зависимости n( ) ( ) , необходимо сделать некоторые предположения относительно элементов среды. Задача буде

5.2. Электронная теория дисперсии показателя преломления

Впервые теория, объясняющая дисперсию показателя преломления, была предложена Лорентцом Г.А.. Он предположил, что атом среды в поле электромагнитной волны представляет собой колеблющийся диполь. Это вполне правдоподобно, поскольку в классической теории атом представляет собой положительно заряженное тяжелое ядро, окруженное отрицательно заряженным электронным облаком сферической формы, т.е. в равновесии его центр тяжести совпадает с положением ядра. В дальнейшем для простоты будем считать, что у атома всего один электрон. В электрическом поле волны легкие электроны смещаются от положения равновесия, т.е. форма электронного облака становится похожей на вытянутый эллипсоид, причем в одном конце этого эллипсоида расположено ядро, т.е. образуется диполь.

Но, в среде таких атомов много, поэтому единице объема среды,

содержащей N атомов, возникает поляризация P Np1 Ner1 , где p1 –

дипольный момент одного атома, а r1 – смещение центра электронного облака

83

от положения равновесия. Таким образом, поле в среде будет складываться из поля волны и поляризации D 0E P 0E , где P 0 E . Откуда находим т.е. зависимость от частоты может проявиться только у диэлектрической восприимчивости χ – коэффициенте пропорциональности между поляризацией и вызвавшим ее полем. Поскольку поляризация связана с диполем отдельного атома, то необходимо получить зависимость изменения

отдельного диполя в поле волны.

На электрон действуют оба поля волны и электрическое и магнитное с

силой Лорентца F eE ce υ B . Но, поскольку υ/с<<1, в нашем рассмотрении

можно пренебречь магнитной частью этой силы. Электрическое поле волны меняется по закону E E0ei t , а электрон в атоме совершает вынужденные колебания под действием этого поля. Но он не может совершать их свободно,

потому что на него действуют еще и ядро атома, и другие атомы, т.е. имеется некоторое «трение», поэтому уравнение вынужденных колебаний центра тяжести электронного облака должно иметь следующий вид:

где γ – коэффициент затухания, ω0 – частота свободных колебаний электрона в атоме. Решение этого уравнения: r r0ei t , где

последнего равенства можно получить выражение для восприимчивости и определить зависимость диэлектрической проницаемости от частоты

84

Чтобы перейти к показателю преломления необходимо из (1) извлечь квадратный корень. Поскольку (1) является комплексным числом, то и показатель преломления тоже будет комплексным. В предположении, что второе слагаемое в (1) является по модулю меньше единицы, что справедливо,

например, для газов, воды, стекла, то корень можно вычислить приближенно

В формуле (2) n' – показатель преломления, т.е. характеризует изменение скорости волны в среде, а показатель κ – характеризует затухание волны,

потому что κ пропорционален коэффициенту затухания γ. Частотные зависимости (3) и (4) показаны на рис. 3.

κ

1

1

2 ω

0

ω0

Рис. 3. Частотные зависимости показателя преломления n' и коэффициента поглощения κ

85

На зависимости показателя преломления можно выделить три участка, на участках 1 и 2 показатель преломления увеличивается с ростом частоты, это участки нормальной дисперсии. А на участке 2 показатель преломления уменьшается с ростом частоты – это участок аномальной дисперсии.

Аномальная дисперсия наблюдается вблизи частот поглощения, то есть участков, где κ максимальна. Эти участки находятся вблизи собственных частот колебаний электрона ω0. Вполне естественно, что наибольшее поглощение происходит у волн с частотой близкой к ω0, это проявление резонанса в колебаниях электрона. В общем случае, у электрона может быть несколько собственных частот, для различных типов колебаний, поэтому дисперсионная зависимость показателя преломления может содержать несколько участков с аномальной дисперсией, на которых происходит резонансное поглощение.

Отметим также, что на рис. 3 при частотах больших ω0 показатель преломления меньше единицы, т.е. скорость волны должна превышать скорость света. Этот результат обсудим несколько позднее.

5.3. Поглощение и рассеяние света

Если подставить (2) в уравнение плоской волны, то получиться

затухающая волна:

То есть интенсивность волны уменьшается экспоненциально по мере ее

распространения.

Уравнение (5) является математическим представлением закона Бугера:

свет, проходя через поглощающую среду, уменьшает свою интенсивность пропорционально экспоненте от пройденного пути. Здесь необходимо подчеркнуть, что закон Бугера определяет уменьшение интенсивности света

86

прошедшего через поглощающую среду. Причем, поскольку свет поглощается,

то поглощается и его энергия, т.е. происходит нагрев среды светом.

Однако уменьшение интенсивности света, прошедшего через некоторую среду, может происходить и благодаря рассеянию света на неоднородностях среды. Причем, в качестве неоднородностей могут выступать как включения другого материала, например – пыль или водяной пар в воздухе, так и неоднородности плотности самой среды, например неоднородности плотности воздуха, вызванные звуком в среде.

В случае линейно поляризованной волны, распространяющейся в рассеивающей среде, эта волна вызывает дипольные колебания электронов атомов среды, параллельные плоскости поляризации падающей волны.

Колеблющиеся диполи излучают, что и составляет рассеянный свет, а

поскольку диполь не излучает в направлении своих колебаний, то тогда в этом направлении интенсивность рассеянного света равна нулю.

Выделяют два вида рассеяния, когда размер неоднородностей больше длины волны света, и когда размер неоднородностей меньше или сравним с длиной волны.

В первом случае интенсивность рассеянного света пропорциональна квадрату его частоты: I 2 . Здесь необходимо подчеркнуть, что речь идет не об интенсивности прошедшего света, а об интенсивности рассеянного, т.е.

вычитаемой из начальной интенсивности. Примером такого рассеяния может служить уменьшение интенсивности света при прохождении его через дождевые облака. Во втором случае, или как говорят в случае рэлеевского рассеяния (по фамилии английского физика), интенсивность рассеянного света пропорциональна четвертой степени частоты: I 4 . Проявлением рэлеевского рассеяния является голубой цвет неба днем и красный на закате и рассвете.

Здесь происходит рассеяние на неоднородностях плотности воздуха. Наиболее интенсивно в атмосфере рассеиваются волны из фиолетовой части спектра. На

закате и рассвете свет проходит больший путь в атмосфере, чем днем, и до нас

87

он доходит, уже потеряв волны из фиолетовой части спектра, поэтому рассеиваются те, которые остались, т.е. из красной части спектра.

5.3. Фазовая и групповая скорости волн

Как уже отмечалось выше на рис. 3 есть область с показателем

преломления меньшим единицы, т.е. скорость волны в этом случае больше скорости света, что противоречит представлению о том, что сигнал не может распространяться быстрее скорости света.

Необходимо отметить, что полученный выше результат относился к

перемещения, например, «горба» у синусоиды. Такая бесконечная монохроматическая волна может быть получена только при бесконечной длительности излучения. Бесконечно длящаяся волна не является переносчиком сигнала, сигнал это всегда изменение (амплитуды, частоты). В

действительности же излучение происходит в течение ограниченного времени,

поэтому излучается волна не с одной частотой, а целый пакет волн с частотами,

близлежащими к основной частоте излучения. Поэтому необходимо обобщить понятие скорости волны, приняв во внимание немонохроматичность излучения.

Пусть на основной частоте ω0 излучается пакет волн с частотами,

отличающимися от основной на Δω/2. Тогда электрическое поле такого пакета будет представлять сумму полей волн всех частот, а если излучается непрерывный спектр частот, то сумма должны быть заменена интегралом:

Будем полагать, что Δω очень мало, поэтому k(ω) можно разложить в ряд Тейлора вблизи ω0 (ограничившись первыми двумя членами):

88