3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

нулю как λ03, т.е. с разной скоростью. Поэтому можно записать два уравнения,

получающиеся при λ0 → 0:

квадрат векторного уравнения. Переходя к векторным уравнениям, можно (47), (48) записать в несколько иной форме:

69

получившихся уравнений. Из (46) видно, что S(r) представляет собой фазовую поверхность волны. Эта функция была названа эйконалом, поэтому (49)

называют уравнением эйконала. Градиент по своему смыслу всегда направлен

перпендикулярно поверхности постоянной фазы, т.е. S направлен

перпендикулярно поверхности фазы волны, следовательно, направлен в сторону ее движения. Таким образом, луч направлен вдоль S . Если показатель преломления постоянен, то решением (49) будет формула для поверхности – S=n(r·l), где l – постоянный единичный вектор, направленный перпендикулярно этой поверхности. После подстановки становится очевидным,

что вектор градиента S всегда направлен вдоль l, т.е. не меняет своего

направления, следовательно, распространение происходит вдоль прямой. Таким образом, был получен закон геометрической оптики, устанавливающий, что в однородной среде свет распространяется вдоль прямой.

Уравнение (50) устанавливает, что дивергенция некоторого вектора (в

данном случае градиента эйконала) равна нулю. Это в частности означает, что

если S описывает поток чего-то, в нашем случае – пучок лучей, то области

поперечного сечения этого потока не взаимодействуют друг с другом, т.е. в

нашем случае, отдельные лучи пучка не взаимодействуют друг с другом. Это составляет еще один закон геометрической оптики.

Уравнение эйконала позволяет находить траекторию распространения луча света в среде с изменяющимся показателем преломления. Пусть траектория описывается радиус-вектором r, относительно некоторой выбранной точкой, причем r зависит от пройденного пути l. Тогда единичный

преломления также зависит от l. В этих предположениях продифференцируем

(49) по l. Производная от левой части этого уравнения

Производная от правой части

Уравнение (52) определяет радиус кривизны R в некоторой точке траектории луча в зависимости от градиента показателя преломления в данной точке.

Рассмотрим простейшие случаи использования (52). Если показатель преломления не меняется – n 0 , то радиус кривизны R = ∞, т.е. луч распространяется вдоль прямой линии. Если показатель преломления в некоторой точке увеличивается в направлении нормали к лучу N, т.е. N n 0

точке происходит искривление траектории луча. Такая ситуация, например,

может реализоваться из-за разного прогрева воздуха над землей. Вблизи земли

71

воздух прогревается сильнее, а с удаление от поверхности температура понижается, поэтому с удалением от поверхности земли показатель преломления воздуха будет увеличиваться. Луч света, распространяющийся вдоль поверхности, будет в этом случае удаляться от поверхности земли. Это явление, наблюдаемое в природе, называют «мираж», когда путники могут видеть в воздухе изображения объектов, находящихся за горизонтом.

72

4. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ИЗОТРОПНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

4.1. Граничные условия

Отражение и преломление света на границах раздела двух сред – широко

распространенное явление. В рамках геометрической оптики можно найти направления распространения отраженного и преломленных лучей, они определяются законами геометрической оптики: угол отраженного луча равен углу падающего, закон преломления. Однако в рамках геометрической оптики нельзя найти интенсивности для этих лучей. Представление о свете, как об электромагнитной волне позволяет решить эту задачу.

Уравнения Максвелла для плоских волн и материальные уравнения в этом случае необходимо дополнить граничными условиями для электрических и магнитных полей на границе раздела двух сред (см. курс электричества).

Таких условий два.

Равенство тангенциальных составляющих в первой и второй средах :

раздела, а нормальная составляющая – проекция на нормаль (перпендикуляр) к

границе раздела. Нормаль направлена из второй среды в первую (рис. 1).

Рис. 1. Разложение электрического вектора волны на нормальную и тангенциальную

компоненты

73

Рассмотрим случай, когда обе среды являются немагнитными, т.е.

μ1 = μ2 = 1и изотропными. Поле в первой среде представляет собой сумму полей падающей и отраженной волн, поле во второй среде образуется только полями преломленной волны. Введем следующие обозначения:

EA Aei(k Ar At) – электрическое поле падающей волны;

ER Rei(kRr Rt) – электрическое поле отраженной волны;

ET Tei(kT r T t) – электрическое поле преломленной волны.

Равенство тангенциальных составляющих (1) для этих полей тогда можно записать следующим образом: E A ER ET . После подстановки выражений для полей:

A ei(k Ar At) R ei(kRr Rt) T ei(kT r T t) 0 . (3)

Так как экспоненциальные функции являются линейно независимыми,

т.е. нельзя выразить одну экспоненциальную функцию через другую умножением ее на число, то равенство (3) имеет место либо в случае, когда

любое время и при любом r, что возможно только когда

Условие (4) означает, что частота волны при отражении и преломлении

не меняется. Условие (5) означает, что волновые векторы падающей,

отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости. Действительно,

поверхности раздела, называют плоскостью падения.

74

Выберем в качестве r единичный вектор вдоль оси Х, лежащей в

плоскости раздела (рис. 2).

αβ

kA

X

kT

n2 γ

Рис. 2. Волновые векторы падающей – А, отраженной – R, преломленной – T, волн

следующим образом: nc1 sin nc1 sin nc2 sin . Из первого равенства следует

равенство углов падения и отражения α = β. Из второго равенства следует закон

отражения и преломления на границе раздела изотропных сред определяются тем же законом, что и направления лучей в геометрической оптике.

Из закона Снелла следует, что в случае, когда свет падает на среду с бОльшим показателем преломления ( n2 / n1 1), угол преломления будет меньше угла падения γ < α. Если падение происходит на среду с меньшим показателем преломления ( n2 / n1 1), то угол преломления будет больше угла падения γ > α. В последнем случае, при превышении некоторого угла падения

α0, называемого углом полного внутреннего отражения, и определяемого из условия sin 0 n2 / n1 , преломленная волна будет распространяться вдоль поверхности раздела сред.

75

4.2. Формулы Френеля для амплитуд отраженной и преломленной волн

Предполагаем, что падающая, отраженная и преломленная волны имеют линейную поляризацию, тогда их векторы электрического и магнитного поля можно разложить на две компоненты: одна компонента перпендикулярна плоскости падения (плоскость рисунка), ее направление определяется единичным вектором e ; другая лежит в плоскости падения, ее направление определяется единичными векторами e|| (см. рис. 3).

Рис. 3. Направления векторов в падающей, отраженной и преломленной волнах на границе

раздела сред

Ориентацию векторов Е относительно плоскости падения можно характеризовать азимутом колебаний α в волне, где α – угол между вектором Е и плоскостью падения:

Но между векторами E и H и их компонентами имеется связь,

устанавливаемая уравнением Максвелла для плоских волн:

76

Получившиеся выражения называют формулами Френеля для

амплитуд отраженной и преломленной волн. Проанализируем их.

Во-первых, амплитуды параллельных и перпендикулярных составляющих у отраженных и преломленных волн, зависят соответственно от амплитуд параллельной и перпендикулярной составляющих в падающей волне.

Во-вторых, минус перед дробью в уравнении (9) обозначает, что если

A T 0 , т.е. при падении на среду с большим показателем преломления,

отраженная волна отстает по фазе от падающей на π, т.е. положительным значениям падающей волны соответствуют отрицательные значения отраженной. Говорят, что волны колеблются в противофазе.

4.2.1 Угол Брюстера. Эффект Брюстера

Можно заметить также, что в уравнении (8) при условии

тангенс в знаменателе равен бесконечности и, следовательно, R|| = 0, т.е.

отраженная волна содержит только перпендикулярную составляющую. Эффект исчезновения параллельной составляющей у отраженной волны называется

эффектом Брюстера. Отраженная волна в этом случае является полностью линейно поляризованной.

закон Снелла, то можно найти угол падения у падающей волны θБ, при котором наблюдается эффект Брюстера:

tg Б n2 . (13) n1

Угол θБ называется углом Брюстера.

Возникновение эффекта Брюстера можно обосновать следующими физическими причинами. Рассмотрим для простоты случай, когда первая среда вакуум, а вторая среда диэлектрик. Во-первых, возникновение отраженной

78