3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

пространства меняется одинаково со временем по синусоидальному закону, т.е.

фаза волны никуда не распространяется, поэтому такое поле называют «стоячей волной». Интересно, как меняется магнитное поле в «стоячей волне».

Воспользуемся для этого выражением (21) для магнитного поля волны

B 2E0 sin k r cos t . Как видим, в тех точках пространства, где абсолютная величина электрического поля «стоячей волны» максимальна, магнитное поле этой волны равно нулю, и наоборот.

3.7. Излучение света

Откуда берется свет? Ответ на этот вопрос можно получить только в рамках квантовой физики. Свет может излучаться возбужденными атомами. В

квантовой механике атомы могут иметь только дискретный набор возможных значений энергий. Для получения света, атом нужно возбудить каким либо способом, т.е. передать ему достаточно энергии, чтобы он мог перейти из основного состояния с наименьшей энергией в состояние с большей энергией.

Обычно атомы переходят в возбужденное состояние при столкновении с другими атомами, например в процессе теплового движения, столкновения с потоком электронов или ионов. Возбужденное состояние атома является неустойчивым, поэтому спустя некоторое время атом переходит в основное состояние, при этом избыток энергии может быть излучен в виде кванта света.

Частота этого света пропорциональна разности энергий возбужденного и основного состояний.

Можно подойти к рассмотрению этого вопроса с другой стороны. Свет

представляет собой короткую электромагнитную волну, поэтому можно

59

рассмотреть способы получения электромагнитных волн, например радиоволн,

и использовать эти результаты уже для рассмотрения оптических явлений. Этот вопрос обычно рассматривается в рамках курса электродинамики. Поэтому будем использовать уже готовые результаты. Было показано, что заряд,

двигающийся с ускорением излучает. Мощность излучения, т.е. энергия,

излучаемая в единицу времени, заряда q, двигающегося с ускорение а,

определяется формулой

диполь. Пусть диполь меняется по косинусоидальному закону: p p0 cos t . С

другой стороны p ql , где l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному заряду в диполе. Ускорение движения заряда в диполе

Получившееся выражение надо усреднить по периоду колебаний T 2 .

Средняя мощность излучения колеблющегося диполя тогда будет равна

Направление излучение диполя можно установить следующим образом,

интенсивность излучения в данной точке пропорциональна квадрату электрического поля волны в данной точке (см. (32)) – I E 2 , но из курса электричества известно, что электрическое поле диполя в точке удаленной от

радиус-вектором от диполя до точки. Таким образом, интенсивность излучения будет уменьшаться с удалением от диполя, и, кроме того, интенсивность будет иметь угловую зависимость

Так из (43) следует, что излучение максимально на оси перпендикулярной диполю, и отсутствует на оси, параллельной диполю.

Угловую зависимость изображают с помощью диаграммы направленности

(рис. 7) , т.е. графика I(θ) в полярной системе координат, в которой длина радиус-вектора равна I(θ).

θ

I(θ)

p

Рис. 7. Диаграмма направленности излучения диполя. Максимальная интенсивность

излучения на оси, перпендикулярной диполю, вдоль диполя излучения нет

3.8. Спектр излучения

3.8.1. Естественная ширина линии излучения

Световое излучение в общем случае представляет собой набор излучений различной частоты. Этот набор частот (или длин волн) можно установить,

разложив излучение в спектр. Ньютон первый разложил естественный свет на составляющие его излучения различной частоты, хотя в природе это разложение можно наблюдать довольно часто, например, радуга от капель воды. Ньютон использовал явление дисперсии показателя преломления, т.е.

зависимости показателя преломления от частоты волны (чем частота выше, тем

61

больше показатель преломления), при прохождении солнечного света через призму волны с различной частотой отклонялись на различные углы и поэтому попадали в разные части экрана. В результате образовывалась сплошная разноцветная полоса. Так Ньютон получил сплошной спектр, т.е. фактически Ньютон показал, что в естественном свете присутствуют все оптические частоты излучения. Однако, позднее оказалось, что излучение атомов дает линейчатый спектр, т.е. в таком излучение присутствуют излучения только с ограниченным количеством частот. Например, на рис. 8 показ спектр излучения атома водорода, полученный от свечения газообразного водорода при пропускании через него электрического тока.

ω

Рис. 8. Спектр атома водорода. Стрелкой показано направление увеличения частоты

Как можно видеть, в этом спектре видны только 9 линий, положение каждой линии в спектре соответствует частоте излучения. Можно отметить, что линии имеют некоторую толщину, т.е. на самом деле линия излучения

соответствует не одной частоте, а некоторому набору частот.

Интенсивность линии максимальна в ее центре и спадает до нуля к ее краям,

схематично это изображено на рис. 8.

I

ω

ω0

Рис. 9. Изменение интенсивности линии с частотой

Однако, в формуле (41) интенсивность излучения зависит только от одной частоты ω, т.е. линия в спектре должна быть бесконечно тонкой.

62

Каковы причины появления толщины у спектральной линии? Видимо,

предположение о косинусоидальном колебании диполя с неизменной амплитудой колебаний, не совсем верно для излучающих сред.

Как видно из рис. 9 наличие толщины линии в спектре связано с появлением зависимости I(ω) интенсивности излучения от частоты. Откуда появляется эта зависимость? По формуле (41) интенсивность зависит от времени I(t), нас же интересует зависимость от частоты I(ω). Перейти от временной зависимости функции f(t) к частотной можно с помощью преобразования Фурье:

исходить из того, что излучателем является атом водорода. Электрон в атоме совершает колебания, поэтому атом можно представить диполем,

совершающим колебания. Колеблющийся диполь излучает, но излучение должно сопровождаться уменьшением энергии атома, т.е. амплитуда колебаний диполя должна уменьшаться, и время излучения будет конечным. Уменьшение энергии за счет излучения можно представить как потери, связанные с движением диполя, т.е. как результат действия «силы трения». Уравнение,

описывающее колебания с частотой ω0 с учетом силы трения, известно и для диполя будет иметь следующий вид: p p 02 p 0 , где γ – коэффициент

«лучистого трения» (γ << ω). Решением этого уравнения, с учетом γ << ω будет

три раза, а мощность излучения уменьшится почти в 10 раз. Можно считать,

что спустя это время атом уже не излучает, поэтому τ называют временем излучения (в обычных условиях это время составляет примерно 10–8 с).

Подстановка получившегося решения в (44), с учетом того, что диполь начинает колебания в момент времени t = 0, а до этого дипольный момент был равным нулю, дает

Второе слагаемое в скобках было отброшено, поскольку для частот ω ≈ ω0

оно много меньше первого. Умножая получившийся фурье-образ p[ω] на комплексно сопряженный (чтобы перейти к вещественным значениям), и

подставляя результат умножения в (40), получим следующее выражение для мощности излучения (интенсивности):

где I0 – интенсивность при ω=ω0. Таким образом, форма спектральной линии определяется степенной функцией по частоте ω. Такая форма линии называется лоренцевой. Ширину линии обычно определяют там, где интенсивность меньше максимальной в два раза. То есть ширина лоренцевой

спектральной линии, согласно (45): 0 2 . Эту ширину называют естественной шириной линии излучения, потому что единственным фактором,

64

влияющим на формирование такой линии, является только потеря атомом

энергии в процессе излучения.

I0

I0/2

ω

ω0

2 ω

Рис. 10. Ширина линии измеряется там, где интенсивность меньше максимальной в два раза

Как видим, величина ширины линии обусловлена временем излучения τ:

Из (46), называемого отношением неопределенности, следует, что чем меньше время излучения, тем шире линия, и наоборот. То есть, если существуют процессы, которые изменяют время излучения, то это будет приводить к изменению ширины спектрально линии. И по наличию этих изменений можно судить о протекании процессов.

3.8.2. Уширение спектральных линий

Выделяют два класса процессов, приводящих к увеличению ширины спектральной линии (уширению) в сравнении с естественной шириной линии:

процессы, отвечающие за однородное уширение и процессы, отвечающие за неоднородное уширение. Однородное уширение вызывается процессами,

протекающими одинаково во всех частях системы. Неоднородное уширение происходит за счет процессов, которые вызывают разную величину уширения,

в зависимости от некоторого параметра, меняющегося от атома к атому.

Рассмотрим по одному примеру из каждого класса.

Ударное уширение

Это пример однородного уширения, вызванного столкновениями атомов друг с другом. В результате столкновения время излучения сокращается,

65

потому что часть энергии передается другому атому. Атомы одинаково сталкиваются во всех частях системы, и эти столкновения одинаково влияют на время излучения, т.е. этот процесс однородно протекает во всех частях системы. Спектральная линия, с учетом столкновений атомов, имеет лоренцову форму, ее ширина при комнатных условиях больше естественной ширины в 100

раз.

Покажем это. Поскольку нас интересует только форма линии, то в выкладках будем опускать постоянные коэффициенты. Нам необходимо найти частотную зависимость интенсивности I () S() E()E*() , E(ω) – фурье-

образ электрического поля волны, звездочка обозначает комплексное сопряжение. Пусть, начиная с момента t0, атом излучает с частотой ω0, т.е.

E(t) E0ei 0t , а через время τ сталкивается с другим атомом и прекращает излучать. Тогда, фурье-образ для поля, излучаемого атомом:

а выражение для интенсивности

Это выражение зависит от времени столкновения между атомами, поэтому для получения окончательного результата нужно усреднить его по всем возможным временам столкновения. Вероятность столкновений описывается распределением Пуассона

66

где τ0 – среднее время столкновения, оно зависит от плотности, температуры и т.п. Тогда, усредненная по всем временам столкновения, частотная зависимость интенсивности будет иметь следующий вид:

Как видим, получившаяся зависимость также является степенной, т.е.

форма линии является лоренцевой. Так как τ0 примерно равно 10–10 с, то ширина этой линии примерно в 100 раз больше естественной. С увеличением температуры атомы сталкиваются чаще, τ0 уменьшается, следовательно,

ширина спектральной линии будет увеличиваться.

Доплеровское уширение

Это пример неоднородного уширения. Оно приводит к экспоненциальной зависимости интенсивности от частоты, экспоненциальная зависимость называется гауссовой формой линии.

Это уширение не связано с соотношением неопределенности, т.е. не зависит от времени излучения. А вызвано зависимостью частоты излучения от скорости движения атома – υ. Эта зависимость называется эффектом Доплера:

излучения. Поскольку скорости атомов различны, то излучение каждого из них приводит к различным величинам ширины линии. Покажем, что форма линии будет экспоненциальной.

Количество атомов, имеющих скорости между υ и υ+dυ, определяется распределением Максвелла, в котором произведен переход от скорости к частоте:

Пусть интенсивность излучения каждого атома равна I. Тогда,

интенсивность излучения всех атомов:

больше естественной ширины.

3.9. Геометрическая оптика как предел волновой оптики

В геометрической оптике основным объектом рассмотрения является луч поэтому волновое уравнение (9) при переходе к геометрической оптике должно переходить в уравнение, описывающее распространение луча. В

геометрической оптике длина волны может считаться бесконечно малой,

поэтому при решении волнового уравнения, нужно перейти к пределу λ → 0,

получившиеся уравнения и будут описывать распространения лучей. Кроме того, при таком предельном переходе понятие поляризации теряет смысл и волновое уравнение описывает только изменение величины поля Е:

68