3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

фокус F2 окуляра, немного ближе к окуляру. В этом случае, окуляр выступает в качестве линзы, для рассматривания изображения, созданного объективом (см.

Рис. 20). Получившееся изображение А''В'' – перевернутое и мнимое имеет большие угловые размеры, чем угловые размеры объекта АВ.

Рис. 20. Схема получения изображения в микроскопе

Увеличение микроскопа определяется (считая, что | F2 A' | пренебрежимо мало) следующей формулой:

Можно видеть, что для большего увеличения нужно увеличивать расстояние между фокусами d, однако такое увеличение имеет предел,

связанный с проявлением дифракционных эффектов, которые затрудняют получение изображения.

39

3. ВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ. ПОЛЯРИЗАЦИЯ. ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА

3.1. Волновое уравнение. Скорость света. Показатель преломления

Еще Максвеллом было установлено теоретически, что изменения электромагнитного поля не локализуются в какой-то области пространства, а

распространяются со скоростью, равной скоростью света. Позднее,

экспериментальное подтверждение того, что распространение электромагнитной волны подчиняется тем же законам что и распространение света, позволило перейти к представлению о свете как об электромагнитной волне. Таким образом, уравнения Максвелла представляют хороший инструмент для теоретического описания оптических явлений.

Будем полагать, для простоты, что среда, где происходит изменение электрического и магнитного полей, непроводящая и не содержит свободных зарядов, среда является однородной (т.е. в любой точке среды ее электромагнитные свойства одинаковы) и изотропной (по всем направлениям в пространстве свойства одинаковы). Тогда уравнения Максвелла (в системе единиц СИ) и материальные уравнения будут иметь следующий вид:

40

Наша задача состоит в том, чтобы получить уравнения, описывающие изменения электромагнитного поля, найти решения этих уравнений и исследовать свойства решений.

Продифференцируем по времени уравнение (2). Тогда с учетом перестановочности операций дифференцирования по времени и операции ротора и уравнения (5)

Как видим в вакууме ε = 1, μ = 1, поэтому, как и следовало ожидать показатель преломления вакуума n = 1

Аналогичным образом можно получить уравнение, описывающее изменение вектора магнитной индукции

Уравнения (9) и (13) называют волновыми. Как видно, из (9) и (13)

изменения электрического и магнитного полей описываются одинаковыми уравнениями, следовательно, их решения отличаются друг от друга только постоянным множителем. Говорят, что изменение полей Е и B в движущейся волне происходит синфазно. Поэтому в дальнейшем можно исследовать решения только для электрического вектора Е. Покажем, что уравнение (9)

действительно описывает волновое движение. Рассмотрим для простоты случай, когда Е зависит только от координаты х, тогда (9) будет иметь следующий вид:

Непосредственной подстановкой в (14) можно убедиться, что решением этого уравнения является сумма функций f = g1(x–υt)+g2(x+υt), где g1, g2 –

произвольные функции. В частности, в качестве этих функций можно взять гармонические функции синус и косинус. Покажем, что, например, функция g1

описывает распространение возмущения. Допустим, что в некоторый момент времени t0 в некоторой точке x0 произошло возмущение и значение функции f0 = g1(x0–υt0). Но значение функции f0 может получаться для всех аргументов функции g1, для которых выполняется равенство x–υt = x0–υt0. Из этого

42

равенства следует, что координата возмущения в последующие моменты времени меняется по линейному закону: x = x0+υt–υt0 = x0+υ(t–t0), т.е.

возмущение f0 перемещается вдоль оси X со скоростью υ. Функция g2(x+υt)

описывает распространение возмущения в противоположном направлении.

3.1.1. Плоские волны

Физическую картину распространения электромагнитного возмущения

можно представить следующим образом: переменное электрическое поле в некоторой точке вызывает появление в окружающем пространстве переменного магнитного поля (уравнение (2)), это магнитное поле вызывает переменное электрическое поле (электромагнитная индукция (1)), обуславливающее появление индукционных токов смещения, которые в свою очередь, вызывают вновь появление магнитного поля. Таким образом, электромагнитное возмущение захватывает все большие области пространства, т.е. происходит перемещение возмущения в пространстве.

В качестве решения (14) выберем гармоническую функцию:

здесь α – некоторый множитель, который еще требуется определить, E0 –

амплитуда волны. Заметим, что в (15) нет зависимости от других координат y, z,

т.е. во всех точках (y, z) плоскости, перпендикулярной направлению распространения (оси X в точке с координатой x), поле будет изменяться одинаково. Плоскость, перпендикулярная направлению распространения волны, и в которой совершает колебания E, называется волновым фронтом, а

решение вида (15) называют плоской волной.

Выясним, что представляет собой множитель α. В некоторый момент времени в точке х1 поле Е имеет максимальное значение, т.е., согласно (15), в

этой точке 2πα(x1–υt) = π/2. Ближайшая точка x2, в которой в это же время поле

частота ω, поэтому такие волны называют монохроматическими

(одночастотными).

3.1.2. Сферические волны

Часто причиной электромагнитной волны является возмущение в

некоторой точке пространства или в некоторой области, которую можно считать малой. В случае, если среда изотропна, то волна порождаемая таким источником будет сферической, т.е. волновой фронт такой волны будет не плоскостью, а сферой. В качестве двумерного аналога такой волны может служить поплавок, колеблющийся на воде, от которого расходятся круговые волны. Решение волнового уравнения (9) для этого случая можно получить,

если перейти в нем от декартовых координат к сферическим (r, φ, θ). Поскольку в изотропной среде свойства по всем углам наблюдения одинаковы, то в этом уравнении останется только зависимость от координаты r – расстояния от источника волны до волнового фронта. Тогда решение для синусоидальной

волны, только делителем r. Но в выражении для плоской волны вектор r –

радиус-вектор относительно некоторой произвольно выбранной точки, тогда как в выражении для сферической волны r всегда расстояние от излучателя

(центра сферы) до некоторой точки на волновом фронте (сферической поверхности). Волновой вектор перпендикулярен волновой поверхности, т.е.

направлен по радиусу сферы.

3.1.3. Представление колебаний через экспоненциальную функцию комплексного аргумента

В дальнейшем удобно перейти от гармонических функций (17) к

экспоненциальным функциям. Для этого можно использовать формулу Эйлера из теории функций комплексного переменного: e i cos isin , где i –

45

мнимая единица, для которой справедливо равенство i2 = –1. Первое слагаемое

– cosψ называют действительной частью экспоненты – Re[e±iψ], а sinψ называют мнимой частью экспоненты – Im[e±iψ]. То есть, если закон изменения поля описывается функцией синуса, как в (17) E E0 sin(k r t) , то для проведения выкладок можно синус заменить на экспоненциальную функцию комплексного переменного E E0ei(k r t) , а после получения результата перейти в нем к его мнимой части. Если потребуется найти квадрат модуля

звездочкой обозначено комплексное сопряжение (изменение знака у мнимой части).

С экспонентой удобнее проводить вычисления, потому что производные

от нее пропорциональны ей. Например,

ix (ikx )ei(k r t ) i y (iky )ei(k r t ) iz (ikz )ei(k r t )

ikei(k r t )

ei(k r t )

(ikx )2 ei(k r t ) (iky )2 ei(k r t ) (ikz )2 ei(k r t )

k 2ei(k r t )

46

3.2. Уравнения Максвелла для плоских волн. Структура плоской волны

Подставим в уравнения Максвелла выражения для векторов в

экспоненциальной форме:

E E0ei(k r t) ; B B0ei(k r t) ; D D0ei(k r t) ; H H0ei(k r t) .

Тогда, например, с учетом (19), ротор в уравнении (1) можно заменить

i E k i k E

Вуравнении (3) операцию дивергенции, с учетом (19), также можно заменить:

div D 0 E0ei(k r t )

0 E0 ei(k r t ) 0 E0 ik ei(k r t )

i D k

Производя аналогичные замены в оставшихся уравнениях, и, учитывая

(18), находим уравнения Максвелла для плоских волн:

перпендикулярно направлению распространения (поперечная волна) и можно установить следующее взаимное расположение векторов электромагнитной волны

47

E

k

B

Рис. 2. Структура плоской волны, синусоидами показано изменение векторов E и B в

пространстве, изменение происходит синфазно. Вектор k показывает направление

распространения волнового фронта

С учетом ортогональности векторов в электромагнитной волне, в случае изотропной среды, уравнения (21) и (22) можно записать в скалярной форме kE B и kH D , после деления этих уравнений друг на друга, находим связь между величинами векторов E и H:

3.3. Плотность потока энергии плоской волны. Вектор Умова– Пойнтинга

Поскольку свет представляет собой поток энергии, то необходимо выяснить, как для электромагнитной волны определяется величина потока энергии и его направление. Вернемся к уравнениям Максвелла. Они линейны по Е и H, а поскольку электрическая или магнитная энергии пропорциональны квадратам этих векторов, то уравнения Максвелла нужно умножить скалярно на эти вектора, чтобы получились уравнения для квадратов этих векторов.

Уравнение (1) умножим скалярно на вектор H:

48