3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

Найдем положение Х передней главной плоскости Н сложной системы относительно передней главной плоскости первого элемента: –X = f–x1–f1.

После подстановки (19) и (20), находим искомое выражение

Чтобы получить выражения для фокусного расстояния заднего фокуса сложной системы, а также для положения Х' ее задней главной плоскости относительно задней плоскости второго элемента можно воспользоваться принципом взаимности, т.е. предположить, что источник находится в точке A' и

повторить всю цепочку рассуждений. Тогда можно легко найти соответствующие выражения:

Таким образом, система из двух элементов может быть заменена одним эквивалентным ей элементом с характеристиками, определяемыми уравнениями (20), (22)–(25). Если система состоит из трех элементов, то

29

сначала два соседних заменяются одним эквивалентным элементом с характеристиками (20), (22)–(25), а затем производят сложение эквивалентного элемента с третьим. Как видим, в качестве элемента оптической системы может выступать как одна преломляющая поверхность, так и система таких поверхностей, например, линза. Поэтому все результаты сложения элементов оптической системы, полученные выше, будут справедливы не только для двух преломляющих поверхностей, но и для двух линз, или двух систем, состоящих из линз.

Таким образом, для системы, представляющей собой сумму двух элементов уравнение связи (9) будет иметь следующий вид:

где оптическая сила Φ определяется выражением (22).

2.9. Линзы

Линза представляет собой прозрачную однородную среду ограниченную двумя преломляющими поверхностями. Преломляющие поверхности могут иметь сферическую форму или плоскую (в последнее время используют и несферические поверхности). Как линзу можно рассматривать каплю дождя,

стеклянный шар, стеклянный аквариум, заполненный водой и т.п.

Все виды линз делят на собирающие и рассеивающие. Если параллельные лучи после прохождения линзы сходятся в одной точке, то такая линза называется собирающей или положительной. Если же параллельные лучи после прохождения линзы расходятся, то такие линзы называют

рассеивающие или отрицательной.

30

Рис. 12. а) собирающая двояковыпуклая линза, параллельные лучи сходятся в заднем фокусе, находящемся за линзой; б) рассеивающая двояковогнутая линза, параллельные лучи после линзы расходятся так, как будто они вышли из фокуса линзы, расположенного перед ней. Видно, что фокус находится на пересечении продолжений лучей

Все линзы, у которых толщина в середине больше чем толщина по краям,

будут собирающими. Если же у линзы толщина увеличивается от середины к краям, то такая линза будет рассеивающей.

Процедура построения изображения в линзе зависит от того, можно ли ее считать тонкой или нет. Если каждая из сферических поверхностей,

образующих линзу, имеет радиус много больший, чем толщина d в середине линзы, то такую линзу можно считать тонкой.

2.9.1. Тонкая линза

Для тонкой линзы можно считать d = 0. Тогда положения главных плоскостей линзы Х = Х' = 0 совпадают с ее центром (см (23),(25)). Оптическая сила линзы в этом случае представляет собой сумму оптических сил ее

тонкой линзы можно записать следующим образом:

где n1 – показатель преломления среды перед передней поверхностью линзы, n2 – показатель преломления среды после задней поверхности линзы, n –

31

показатель преломления материла, из которого изготовлена линза. Если с обеих сторон линзы среда одна и та же n1 = n2 то (27) упрощается

переднее и заднее фокусные расстояния равны.

Из (28) можно видеть, что для стеклянных собирающих линз в воздухе

Φ > 0. Действительно, например, для двояковыпуклой линзы по правилу знаков

R1 > 0, а R2 < 0, поэтому выражения в обеих скобках в (28) больше нуля.

Поэтому собирающие линзы называют еще положительными.

R2

Рис. 13. Примеры линз: а) собирающая линза (двояковыпуклая); б) рассеивающая линза

(двояковогнутая)

У рассеивающих линз Φ < 0, поэтому их еще называют отрицательными.

Например, для двояковыпуклой линзы по правилу знаков R1 < 0, а R2 > 0,

поэтому выражение во второй скобке в (28) имеет отрицательный знак.

Часто, для тонких линз уравнение (28) записывают в следующем виде

a1' 1a .

32

Это уравнение называют уравнением тонкой линзы, здесь 1/ f .

Напомним, что а – расстояние от линзы до предмета, а а' – расстояние от линзы до изображения. Эти расстояния отсчитываются от центральной части линзы с учетом правила знаков: расстояние, отсчитываемое против хода, луча берется со знаком «–». Можно видеть, в случае собирающей линзы – 0 , поэтому

всегда находится перед линзой с той же стороны, что и предмет, но ближе него к линзе.

При построении изображения в тонкой линзе используются правила преобразования лучей в оптической системе, а также еще одно правило, что луч, проходящий через центр линзы, не меняет своего направления. Чтобы определить положение изображения точки, из этой точки проводят удобные для построения лучи, которые после линзы должны идти в соответствии с правилами преобразования лучей, а пересечение этих лучей (действительное изображение) или пересечение продолжения этих лучей (мнимое изображение)

и будет определять положение изображения.

Рис. 14. Построение изображения в тонких линзах: в собирающей (а) и в рассеивающей (б)

33

Из рисунка (б) видно, что в рассеивающей линзе изображение всегда будет мнимым, прямым (т.е. стрелки AB и A’B' направлены в одну сторону) и

поперечный размер изображения будет меньше размеров самого предмета.

Для собирающей линзы, показанной на рисунке, изображение действительное, обратное (т.е. стрелки AB и A’B' направлены в разные стороны)

и увеличенное.

Если луч 1 падает на линзу под углом к главной оптической оси, то ход этого луча после линзы строят следующим образом. Параллельно этому лучу проводят прямую 2–2', проходящую через центр линзы. Через задний фокус F'

линзы проводят линию перпендикулярную главной оси. Точка пересечения этих линий и будет точкой, в которую попадет луч 1' после линзы.

1

2

1’

F

2’

Рис. 15. Построение хода луча, падающего на тонкую линзу под углом к оптической оси ОО'

2.9.2. Система тонких линз. Соприкасающиеся линзы

Если система состоит из двух соприкасающихся посредине тонких линз,

то можно считать такую оптическую систему тонкой линзой с оптической силой равной сумме оптических сил линз: Φ = Φ1+Φ2. Для построения изображения в такой системе используется процедура построения изображения в тонкой линзе.

2.9.3. Система тонких линз. Несоприкасающиеся линзы

Если же в системе тонкие линзы отстоят друг от друга на расстоянии d

по главной оптической оси, то оптическая сила такой системы определяется формулой (22). Процедура построения изображения начинается с определения положения Х, Х' главных плоскостей системы по формулам (23), (25). При этом

34

Х определяется относительно первой тонкой линзы, а, Х' – относительно второй тонкой линзы. Затем, по формулам (20) и (24) находят переднее и заднее фокусные расстояния, которые отсчитывают от плоскостей Х и Х',

соответственно с учетом знаков. После этого используют правила преобразования лучей в идеальной оптической системе.

Рис. 16. Построение изображения в системе двух тонких линз, между линзами расстояние d

по главной оптической оси, показатель преломления между линзами n

2.9.4. Толстая линза

В случае толстой линзы сначала находят положение главных плоскостей относительно передней и задней поверхностей линзы, затем находят положение фокусов системы с помощью выражений (20), (22)–(25) в параграфе 2.8. Для вычисления оптической силы системы используют выражение (22), в котором

Φ1 и Φ2 – оптические силы поверхностей линзы.

Используя найденные положения главных точек системы, строят изображение в соответствии с правилами преобразования лучей в идеальной оптической системе.

2.9.5. Система толстых линз

Каждую толстую линзу заменяют ее главными плоскостями, отмечают положения их передних и задних фокусов и применяют подход,

использованный в параграфе 2.8. Для вычисления оптической силы системы линз используют выражение (22), в котором Φ1 и Φ2 – оптические силы линз.

35

2.10. Оптические приборы

2.10.1. Глаз

Изображение в глазе формируется на сетчатке – задней поверхности глаза. Сетчатку можно условно представить как поверхность, покрытую светочуствительными клетками – «колбочками» и «палочками». Предметы,

дающие на сетчатке изображения, размерами равными двум размерам клетки,

воспринимаются как точки. Поэтому необходимо, чтобы разглядываемые детали объекта давали на сетчатке изображение как можно больших размеров,

только тогда они будут различимыми.

Роль линзы в человеческом глазе исполняет хрусталик. Его толщина меняется с помощью мышц глаза в зависимости от того как далеко находится рассматриваемый глазом предмет. Вместе с толщиной меняется и фокусное расстояние хрусталика, так чтобы изображение предмета образовывалось строго на сетчатке. Такое «настраивание» глаза называется аккомодацией.

φ

Рис. 17. Схема образования изображения предмета на сетчатке глаза

Как видно из рисунка, чем больше угол φ, под которым предмет виден глазом, тем мельче детали можно разглядеть. Для увеличения этого угла объект нужно приближать к глазу. Однако нельзя расположить предмет прямо перед хрусталиком. Из-за ограничений аккомодации существует так называемое

расстояние наилучшего зрения нормального глаза Lн.з., т.е. расстояния с которого предмет можно рассматривать без напряжения глазных мышц.

Принято считать это расстояние равным Lн.з = 25 см.

Некоторые мелкие детали уже могут быть неразличимы глазом на

расстоянии наилучшего зрения, потому что угол φ для них становится очень

36

малыми. Для увеличения угла наблюдения мелких деталей используются увеличительные оптические приборы. Увеличение определяется отношением

где φ' – угол, под которым предмет виден через прибор.

2.10.2. Лупа

Лупа представляет собой собирательную линзу с небольшим фокусным расстоянием. Лупу располагают так, чтобы предмет находился за передним фокусом линзы, в этом случае собирательная линза дает прямое увеличенное мнимое изображение. Глаз располагают в заднем фокусе линзы так, чтобы между ним и изображением было расстояние Lн.з..

y'

Рис. 18. Схема получения изображения в лупе

образом, увеличение лупы определяется отношением

2.10.3. Телескоп

Телескоп-рефрактор (зрительная труба) предназначен для разглядывания предметов, находящихся на большом расстоянии, так что их угловые размеры малы для наблюдения глазом. Телескоп состоит из двух собирательных линз:

линза, обращенная к предмету, называется объективом, она формирует

37

изображение от объекта, которое рассматривают через вторую линзу также как через лупу. Эта линза называется окуляром. В телескопических системах расстояние между объективом и окуляром такое, что задний фокус объектива совпадает с передним фокусом окуляра. Изображение в объективе располагается вблизи заднего фокуса объектива F1' (на рисунке изображение –y'

для наглядности показано дальше от фокуса).

Как можно видеть из этого выражения для большего увеличения телескопа необходимо, чтобы объектив имел большое фокусное расстояние.

Поэтому телескопы-рефракторы обычно имеют значительную длину.

2.10.4. Микроскоп

В микроскопе используются две собирающие линзы. Первую линзу,

расположенную ближе к объекту, называют объективом. Вторую линзу называют окуляром – через нее как через лупу рассматривают изображение,

созданное объективом. Между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра расстояние d. Его подбирают таким образом, чтобы действительное изображение А'В' объекта АВ после объектива попадало почти в передний

38